2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章-相似章节训练练习题

人教版九年级数学下册第二十七章-相似章节训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，ZC=9O°,BC=6,D,E分别在A3、AC上，将AABC沿折叠，使点A落

在点4处，若4为CE的中点，则折痕DE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

2、根据下列条件，判断△/阿与B，C能相似的条件有（）

①NC=NC'=90°,ZA=25°,NW=65°；

②NC=90°,4c=6cm,6C=4cm,ZC=9O°,〃U=9cm,B'C'=6cm；

③/6=10cm,BC=12cm,AC=15cm,AfB'=150cm,B'Cr=180cm,A'Cf=225cm；

④与6'C是有一个角为80°等腰三角形

A.1对B.2对C.3对D.4对

3、甲、乙两城市的实际距离为500痴，在比例尺为1：10000000的地图上，则这两城市之间的图上距

离为（）

A.0.5cmB.5cmC.50cmD.500cm

4、在中，AB=AC,N/=36°，BD平分/ABC,交AC于点、DBC=8,贝U47=()

A.46+4B.475-4C.16D.12

5、已知△ABCSAD.，且相似比为1：2,则AABC和尸的周长比为（）

A.1：4B.1:72C.2：1D.1：2

6、已知点P是线段47的黄金分割点，AP>PB.若力6=2,则"的长为（）

A.V5B.3-V5C.V5-1D.75-3

7、如图，在AABC中，AB^AC,点。为8c边上一点，将△板）沿直线49翻折得到V4TD,A"与

8c边交于点£,若AB=3BD,点E为C£>中点，BC=6,则A8的长为（）

B

8、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板娇测量树的高度/昆他调整自己的位置，设法使斜边

加保持水平，并且边应与点6在同一直线上，已知纸板的两条直角边。E=60cm,所=30cm,测得边

加7离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,则树高力6为（）

H

A.4mB.5mC.5.5mD.6.5m

9、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm,那么它的宽是（）cm

A.26君+26B.26石-26C.13后+13D.13班-13

10、如图，在△46。中，点〃在边上，若/ACD=/B,49=3,初=4,则/C的长为（）

A.2+B.721C.5D.2近

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系中，等边△/国与等边43座是以原点为位似中心的位似图形，且相似比

为：，点46、〃在x轴上，若等边△觎'的边长为6,则点C的坐标为_____.

2、如图，菱形ABC。中，AB=5,S版ABS=24,E为A£>上一点，且AE=1,连接BE、AC交于点尸，

过点F作FG,3c于点G,则FG的长为

3、在△?!阿中，点、D、£分别在4?、“上，ZAED=ZB,如果4?=2,△/庞的面积为4,四边形及物

的面积为5,那么4F的长为.

4、已知点C是线段AB的黄金分割点，到果AC>BC,BC=2,则AC=.

5、如图，在△?!比中，ZABC=45°,过点。作力，/16于点〃过点6作剧/±4。于点必连接,跖，过

点。作ZWLM,交BM于点N.口与阳相交于点区若点后是"的中点；下列结论：①/川0=45°；

②NE-EM=MC；③EM：MC：NE=k2：3;④S△/必=28"吻.其中正确的结论有.（填写序号即

可）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，中，NACB=90。，AC^BC,P为AABC内部一点，且ZAP3=/BPC=135。.

(1)求证：APAB〜APBC；

(2)判断以和PC数量关系，并说明理由.

2、在等边三角形4%中，点〃是边46的中点，过点〃作庞〃比1交〃1于点瓦点/在宽边上，连接

DF,EF.

(1)如图1,当〃尸是N叱的平分线时，若如"=2,求站的长；

(2)如图2,当加工班1时，设1£=a,则跖的长为(用含a的式子表示).

3、【教材呈现】

(1)如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形48。和〃'G摆放在一起，力为公共顶点，

/胡C=NG=90°,BC=6,若固定不动，将绕点/旋转，边"'、47与边比'分别交于点

D,6(点〃不与点6重合，点£不与点C重合)

①求证：A^=DE・BE；

②求瓦'•"的值;

【拓展探究】

2

(2)如图2,在△/!比1中，ZC=90°，点〃，后在边8C上，/B=/DAE=30°,且AO=[AE,请直

接写出差DF的值.

4、如图，在中，8c=120,高4庆=60,四边形瓯R一边在6。上，点£,6分别在初然上,

在交所于点小

(1)如图1,若四边形跖阳是正方形，求助'的长度；

(2)如图2,若四边形牙'G〃是矩形，则分/的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？

A

A

BHDGCi

B7DGC

图1图2

RC

5、如图，在灯中，ZACB=90°,—==；,于点〃，点£是直线4C上一动点，连接

AL

DE,过点、D作FDJLED,交直线6c于点色

(1)探究发现：

DF

如图1,若勿=〃，点后在线段上，则株=_______;

Dr

(2)数学思考：

DF

①如图2,若点6在线段4c上，则当=(用含/，〃的代数式表示)；

②当点少在直线4C上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明;

(3)拓展应用：若AC=布,BC=2亚,DF=4及,请直接写出磔的长.

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

由折叠的特点可知AE=AT,ZD£4=ZD£4,=90°,又NC=90。，则由同位角相等两直线平行易证

DE〃BC,故ISACB4ED,又从为CE的中点可得AE=AE=AC=gAC,由相似的性质可得

CE=gBC求解即可.

【详解】

解：•.•AA3C沿OE1折叠，使点A落在点H处，

.•.ZDE4=Zr>E4,=90°,AE=A!E,

又「ZC=90°,

DE//BC,

・・.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

/./^ACB^AAED,

又4为CE的中点，AB-AE

：.AE=A,E=A,C=-AC,

3

.EDAEI

一~BC~~AC~39

即片4

oJ

:.ED=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“"’字形三角形相似的判定和性质为解题关

键.

2、C

【解析】

【分析】

根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案.

【详解】

解：(1)'：AC=AC=90°,ZA=25°.

.*.Z5=65°.

,：ZC=ZC/,NB=/B'.

：.AABCSAAEC.

(2)'：ZC=90°,AC=6cm,BC=4cm,ZC=90°,AfC=9,B'O=6.

•AC_BC_2

••记一后3'-

：.AABCSAAB'C.

（3）,.16=10cm,6C=12cm,4C=15cm,A7B'=150cm,B'C'=180cm,C=225cm；

.AB_ACBC_\

"AV-BV_15'

^ABC^^A'B'C.

（4）..•没有指明80°的角是顶角还是底角.

•••无法判定两三角形相似.

共有3对.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两

边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应

相等的两个三角形相似.

3、B

【解析】

【分析】

先将千米换单位为厘米，然后设这两城市之间的图上距离为xcm,根据比例计算即可得.

【详解】

解：500A?”=50000000。”，

设这两城市之间的图上距离为xcm,

则・——-——=——-——，

1000000050000000

解得：x-5cm,

故选：B.

【点睛】

题目主要考查比例的计算，理解题意，注意单位变换是解题关键.

4、A

【解析】

【分析】

根据两角对应相等，判定两个三角形相似.再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出的长.

【详解】

解：'：AB=AC,N4=36°,

180°-36°

：.AABOAC==72°,

2

■:BD平■分4ABC,

:./AB庐NDB06°,

:.乙BDO4AB5乙於72°,

加俏N仅72°,

：.AD-BI>BOS.

•:/A=/DBO36°,NC公共角,

“ABCs/XBDC,

.BCAC„8AC

..-----=------,KJn-----------=------,

CDBCACS8

整理得：4G84364=0,

解方程得：4年4+4百，或力信4-4石（舍去），

故选：A.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的

性质对应边的比相等进行计算求出ZC的长.

5、D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质可直接进行求解.

【详解】

解：•:△ABCs^DEF,且相似比为1：2,

ANC和“郎的周长比为1：2；

故选D.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

6、C

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的定义，知钎是较长线段；则=代入数据即可得出AP的长度.

2

【详解】

解：由于尸为线段=的黄金分割点，

且AP是较长线段；

则AP=2x立匚=百-1.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.

7、A

【解析】

【分析】

由折叠的性质可得=BD=B'D,AB=AB',然后证明,得到

丝=丝=丝，设即=B7)=x，AB=AC=AB'=3x,即可推出B'E=：CE，从而得到

AECECA3

DE_CE_CE_1

AE=ABf-BfE=3x-^CE,则罚=6二一从而得到。£=京乙再由

33X--CE10

99

BC=BD+DE+CE=x+—x+—x=6,求解即可.

1010

【详解】

解：由折叠的性质可得ZAB7)=Z/⑻),BD=B!D,AB^AB',

'：AB-AC,

后NC,

ZAB'D=ZACE,

又：NBED=NCEA,

：.AB'ED^ACEA,

.DEB'EB'D

••-~,

AECECA

,:E是缪的中点，

:.D&CE,

r

设3£>=3'£>=x,AB=AC=AB=3xf

.DEB'EB'D1

••===—f

AECECA?>

：.B'E=-CE

3f

，AE=AB,-B,E=3x--CE

3f

DECECE1

AEAE3x--CE

3

9

,•3武,

99

.・.BC=BD+DE+CE=x+—x+—x=6,

1010

解得X=*

45

AB=3x=——,

7

故选A.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟

练掌握相似三角形的性质与判定条件.

8、D

【解析】

【分析】

根据乙DEFS^DCB即可求得BC的长，进而求得树高AB

【详解】

解：依题意NEDF=NCDB,FE1DE,BCLDC

;.NDEF=NDCB

'''Z^DEFs/\DCB

.DEEF

"^C~~BC

vD£=60cm,EF=3()cm,CD=10m,AC=1.5m,

/.AB=AC+BC=1.5+5=6.5m

故选D

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键.

9、D

【解析】

【分析】

根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长=（与;1,由此求解即可.

【详解】

解：♦.•一种数学课本的宽与长之比为黄金比，

宽：长=「告』：1，

•.•长是26cm,

.•.宽=^11x26=13石-13,

2

故选D.

【点睛】

本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例.

【解析】

【分析】

求出4?,通过44证推出F=y代入求出即可.

ABAC

【详解】

解：：A9=3,BD=4,

."8=7,

乙ACD=4B,

：./\ACD^/\ABC,

.ACAD

,•益一就‘

：.A(f=ADXAB=21,

：.AC=42\,

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，关键是推出并进一步得出比例式.

二、填空题

1、(2,扬

【解析】

【分析】

作内力6于R根据位似图形的性质得到比〃加'，根据相似三角形的性质求出物、AB,根据等边三角

形的性质计算，得到答案.

【详解】

解：作CEL46于F,

y

・・,等边△/回与等边△位应是以原点为位似中心的位似图形,

：.BC//DE,

:AOBCSRODE,

.BCOB

^~DE~'OD'

与△板的相似比为g,等边△切乃1边长为6,

.BCOB1

OB+6~3'

解得，BO2,如=3,

Z.614=1,

,:C忙CB,CF工AB,

：.AR=\,

由勾股定理得，CF=yjAC2-AF2=^,

：.02OA+A六2,

.•.点C的坐标为（2,岔）

故答案为：（2,百）.

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质、等边三角形的性质、掌握位似变换的概念、相似三角形的性质

是解题的关键.

2、4

【解析】

【分析】

过点A作根据菱形的面积和边长求得A”,则AH//FG,可得AAHCSA尸GC,可得

FGFCAF1

言=生，根据菱形的性质可得M//8C,进而证明△田列出比例式求得黑=：,进而可

AHACBC5

得41=1,代入筹=§即可求得FG的长

AF6AHAC

【详解】

解：如图，过点A作

•.•四边形ABC。是菱形，AB=5,S菱形人8CQ=24,

Z.AE//BC,

,AAEFs^CBF

vAB=5,AE=i

.AE-AF-1

**BC-FC-5

,FC_5

,7F-6

・・・AHIBC,FGIBC

：.AHUFG

：.AAHCS^FGC

.fGFC_5

,,AH~AC~6

524

：.FG=­x—=4

65

故答案为：4

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

3、I

【解析】

【分析】

由ZAEZ)=ZB,乙4是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得又由相似

三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到结论.

【详解】

解：•.•ZA=ZA,ZAED=NB,

：.^ADE~^ACB,

SAG')

除ACBla'

■^ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,

.△ABC的面积为9,

AE[42

V-V9-3,

AE=~,

3

故答案为：I4

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于

相似比的平方定理的应用是解题的关键.

4、6+1##1+逐

【解析】

【分析】

根据黄金分割比可直接进行列式求解.

【详解】

解：•.•点C是线段的的黄金分制点，且心园BC=2

--.--B--C--~--7--5----1-

AC2

2BC_4G

故答案为：石+1.

【点睛】

本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短

线段的比例中项，黄金分割比为叵口.

2

5、①②③

【解析】

【分析】

①利用力必证明加丝△⑺％再证明△而你是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点〃作

DF1MN于点F,则/加方=90°=NCME,可利用力/S证明△%侬△㈤/,即可判断结论②正确；③先

证明△应/昭，可得出黑=gg=2,进而可得。/=2项,怙=3£力，即可判断结论③正确；④先

EivIDE

证明△比速3夕1）,可得SABED=SACAD,再证明BAVM；可得S△应W<S△%M进而得出

S△出X2s△加自，即可判断结论④不正确.

【详解】

解：①•.•切_1_/16,

:./BDO/ADO9Q。,

VZAB（=45°,

：.BD=CD,

,：BMVAC,

:.NAMB=/ADC=9Q°,

...N4+N的邑90°,N4+N〃C沪90°,

：.4DBN^4DCM,

,：DN1MD,

.,./0游/口沪90°,

,.•/々ZA4/应平90°,

：.4CD后乙BDN,

:NDN^ACDMQASA）,

：.DN^DM,

阶90°,

△〃㈱是等腰直角三角形，

•.N〃淤45°,

.•.N4价90°-45°=45°,

故①正确；

②如图1,由（1）知，D2DM,

过点〃作的L外于点兄则陷90°=ACME,

■:DN1MD,

:.D六FN,

♦.•点£是⑺的中点，

际CE,

在△颇和△金M中，

,NDEF=NCEM

-NDFE=NCME,

DE=CE

:,△DEF^XCEM(/MS),

:.M序EF,C庐DF,

：.F^CM,

'：NE-EI^FN,

:.NE-E后MC,

故②正确；

③由①知，4DBN-4DCM,

又,：NBEANCEM,

:ZDEsMCME,

•丝=处=9

**EMDE'

:.C困2EM,N&3EM,

:.EM：MC：N及1：2：3,

故③正确；

④如图2,

'：CDVAB,

:.NBD人CDA=9Q°,

由①知：ADB^ADCM,BD=CD,

△应旌（A£4）,

'.SABED^SACAD,

由①知，XBDN3XCDM,

,ZC拒FN,

：,BN=FN,

：.BN<NE,

:.SABDNVSADEN,

：.SABED<2SADNE.

：.SAACD<2S^DNE.

故④不正确，

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积

等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.

三、解答题

1、(1)见解析；(2)=2,见解析

【解析】

【分析】

(1)利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出/阳信N必6,进而得出结

论；

(2)由(1)的结论得出一=进而得出——=0，即可得出结论.

【详解】

(1)证明：•.•/力。?=90°,A(=BC,

：.ZAB<=45°=/PBA+4PBC,

又Nd必=135°,：.ZPAB+ZPBA=45°,

:./PB0乙PAB,

又.：NAP斤4BPO135°,

:.丛PABs丛PBC.

(2)E4和PC数量关系是=2

理由如下,/XPABs4PBC,

•—

••—―=,

在心△/a'中，B(=AC,

/•=\[29

—=—=V5，

•<*=\[2，=\[2，

/.=2.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点是解题

关键，综合性较强，有一定难度.

2、(1)E六2(2)

2

【解析】

【分析】

(1)根据DE//比证明△/庞是等边三角形,再根据〃是中点，可证明△是等边三角形，在证明

△庞广是等边三角形，从而求得上2,

(2)过点4作4V垂直比于点M,可证△DBFs”BM,由相似可求出〃六且a,在利用勾股定理即可求

2

出EF.

【详解】

解：(1)：A4园是等边三角形，

AZ/=Z5=Z^60°,

'：DE//BC,

:.NADE=/AB06Q°,

AZA=ZAD^6Q°,

龙是等边三角形，

：.AD=DE=2,

♦〃是46中点，

:.BD=AD=2,

,:DF平■分4BDE,

:.NBD六NEDe^/BD即三(180°-60°)=60°

又户60°,

△〃“是等边三角形，

游盼2,

■:D户际2,/ED户6G,

△颐是等边三角形，

:.E芹D拄D22;

(2)过点4作4”垂直BC于点、M,

'：DE//BC,DF1DE,

:./BF2/FDI沁。。,

•：4DFF/AMB=90°,

又•：

・\△DBFs△ABM,

•.•。为4?中点，

.DB_DF_1

-2'

:.D*AM,

•••4”是等边三角形6c边上的高，

〃是比1的中点,

：.BM=^BOa,

；•4沪\lAB2-BM2=7（2a）2-a2=>/3a，

:.D六WA2旦a,

22

...在Rt^DEF中，EGDE'DF"J/+（近"）2=近q.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本

题的关键.

3、（1）①证明见解析；②18；⑵耳—2

18

【解析】

【分析】

（1）①只需要证明△/!应's△的其得到一=—，即可推出2=；

②先证明N/陷N为。，则可证△/如△的C,推出^=^,然后利用勾股定理求出

==36,即可得到,=•=18；

⑵设=3,=4,先证明△力班s△皿巩推出一=—=-f设=3,=

4,得到=—：—=—,求出=2,,则=-（2/3-3）

在直角⑦中，2=?+2,则92=（25行2+42,即可推出;=经产，由此

求解即可.

【详解】

解：（1）①•••△/a'和都是等腰直角三角形，/协建/年90°,

：.ZB=ZC=ZGAf^45°,

又Y/AE2/NEA,

:.XABEsXDAE,

••一，

;

②*：/DAO4DA计4CAE,^AEB=ZC+ZCAE,N年/物层45°,

：.4AEB=/DAC,

又•••/庐NC,

:AAEBSADAC,

•__

••一,

/.=•,

"：AB=AC,/的090°,BO6,

/.2+2—2=36,即22=36,

•**==3\[29

/.•=•=18\

3

(2)VAD=^-AE

4f

，可设=3,—4,

•IN庐N加尺30。,/AD&/BDA,

:.△ADESXBDA,

•

••—―,

,__一__[二

••―4,

可设=3,=4,

・2

••^------=13,

VZ5=30°,ZACB=90°,

•一2—9

・・-5一/'

=V至=2\[3，

•*•=-^2\1~3-3)

在直角△力切中，2=2+2,

：.92=(26一靖2+42,

・225-1243

♦•—―---------------，

29

•—y[32y[325-124325/3

,•——―'p—=————x-----=-----2*n

2^3222918

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，

勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.

4,(1)20；(2)30,1800

【解析】

【分析】

(1)设正方形牙6〃的边长止0x,易证四边形反〃W是矩形，则。忙筋根据正方形的性质得出

EF//BC,推出根据相似三角形的性质计算即可得解.

(2)由得出比例式得出跖得出长方形的面积y是x的二次函数，再利用二次函数的

最值问题进行求解即可.

【详解】

解：(1)设正方形硒的边长小止X,

•.•四边形品明是正方形，

.•.N/ffi户/曲小90°,EF//BC,

:.XAEFsXABC,

•.3〃是的高，

.•.N做390°,

.•.四边形胸，是矩形，

：,D^EH=x,

■:XAEFs丛ABC,

7^6=120,4分60,

.•.4A&60-X,

.60-

''~60~=而’

解得：产40,

.\AAt60-A=60-40=20.

(2)设吩x,贝！|A女x

由得——=——,

.•.诉120-2x,

:.S矩形EFG由EF、E+x(120-2x)=-2(『30)2+1800,

...当/30时,S有最大值为1800,

即当的30时，矩形〃物的面积的最大值是1800.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质.解题的关键是掌握相似三角形的判定和性

质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似

比.

5、(1)1；—；(2)①一；②一；(3)CE=2百或CE=

mmm5

【解析】

【分析】

(1)先用等量代换判断出ZAZ)E=/CDF,ZA=NDCB,得到AADESACDf，再判断出AAOCS/XSJ

即可；

(2)方法和⑴一样，先用等量代换判断出ZA£)E=NCZ)F,