2021版《5年高考3年模拟》A版文科数学：十二 推理与证明（试题部分）

专题十二推理与证明

探考情悟真题

:真题探秘】

（2019课标全国II,5,5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、

丙二人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人箪测正确.那么一:人按

。江亳中融：咒有一TA.

成绩由高到低的次序为）

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲,丙、乙

❶核心考点2.找准解决M题的突破口.❷解答过程

合情推理.♦3.逐步分析.答案：A

解析：本题主要考查逻辑推理,通过对

❺知识延伸

❷知识储备“一带一路”知识测验成绩的预测.考

1.归纳推理：（I）数或式子的归纳.寻找相行了学生的推理论证能力；通过实际问

1.从生活实际中提炼出数学问题.

邻项及项与仔号的关系,常与数列结合考查;圈渗透了逻辑推理的核心素养.

2.严密的逻辑推理能力.（）形的归纳包括图形数目的归纳和图形变

2三人成绩互不相同且只有一个人顶测正

❸命题规律化规律的归纳.

确.布•以下三种情况：（1）若乙预测正

.类比推理：找出两类事物之间的相似性或一

I.号台内容：合情推理与演绛推理.2

致性.用一类事物类比另一类事物.常与解析确.则丙预测也正确.不A题意；（2）若

2.号在形式：常以选择题、填空题形式

几何、立体几何或等片、等比数列结合考查.丙预测正确.甲、乙预测错误,即丙成

出现,与数列、立体几何或与生活实绩比乙高.甲的成绩比乙低,则丙的成

♦际结合号食.

❻思路分析绩比乙和甲都高.此时乙债泅乂正确.

❹解题关键解答本题时紧紧固绕着“只守一个人债溶正确’与假设矛盾；（3）若甲预测正确,乙、

解决此类推理问题注意以下几点：来分析即可.可以先似定某人的顶浦正确.进丙预测借误,可得甲成绩高于乙.乙成

I.把握主要问题.行分析,看是否矛盾.依次类推.得出结论.绩育于丙.符合题堂.故选A.

【考情探究】

5年:考情预测

考点内容解读

考题示例考向关联考点热度

①了解合情推理的含义能^用归纳和类比等进行2019课标全国II5,5分合情推理

合情推简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;②2016课标全国H,16,5分合情推理—

理与演了解演绎推理的重要性、掌握演绎推理的基本模式，

绎推理并能运用它们进行简单的推理;③了解合情推理和2019课标全国145分合情推理

演绎推理之间的联系和差异

①了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法，

直接证

并了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解等差、等比数列.工人

明与间2018江苏,20,16分直接证明

间接证明的一种基本方法:反证法，并了解反证法的的综合应用

接证明

思考过程、特点

分析解读

本专题在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现.考查学生的逻辑推理能力,而演绎推

理多出现在立体几何的证明中:2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法、常以不等式、立体几何、解析几何、函数

为载体,考查综合法、分析法及反证法.本专题内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右.属于中档题;②证

明问题以解答题形式出现.分值为12分左右.属于中高档题.

破考点练考向

【考点集训】

考点一合情推理与演绎推理

1.(2019安徽六校教育研究会第一次素质测试⑻如图，第I个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形由正(n+2)边形扩展

而来，其中neN',则第n个图形的顶点个数是()

A.(2n+l)(2n+2)B.3(2n+2)

C.2n(5n+1)D.(n+2)(n+3)

答案D

2.(命题标准样题.14)甲、乙、丙、丁参加一比赛.赛前甲、乙、丙分别作出预测.

甲说:乙会获得奖牌：

乙说:丙会获得金牌：

丙说:丁不会获得银牌.

比赛结果有3人分别获得金牌、银牌和铜牌.另外1人没获得奖牌.如果甲、乙、丙中有一人获得了金牌，而且只有获得金牌的那个

人预测正确,则获得金牌的是.

答案甲

3.(2019广东珠海期末,14)某班级的四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测得冠军的是

A或B;历史老师预测得冠军的是C;政治老师预测得冠军的不可能是A或D;语文老师预测得冠军的是B.而班主任老师看了竞赛结

果后说以上只有两位老师都说对了厕得冠军的是.

答案C

考点二直接证明与间接证明

1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明:设a<b«,且a+b+c=0,求证:bLac<3c2,则证明的依据应是

()

A.c-b>0B.c-a>0

C.(c-b)(c-a)>0D.(c-b)(c-a)<0

答案C

2.(2020届河南许昌质量检测,7)用反证法证明命题“已知x,y£N*.如果xy可被7整除，那么x,y至少有一个能被7整除”时,假设的

内容是()

A.x,y都不能被7整除B.x,y都能被7整除

C.x,y只有f能被7整除D.只有x不能被7整除

答案A

炼技法提能力

【方法集训】

方法归纳推理与类比推理的应用

1.（2019江西吉安教学质量检测⑼斐波那契数列又称黄金分割数列.指的是这样一个数列:1J,2,358,13,21.34,55,89,….在数学上,斐

波那契数列｛an｝定义为ai=l,a2=l,an+2=an+an+l.斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合如根据Un+2=an+an+l可得an=an+2-an+i,所以

ai+a2+,•,+an=（a?-a2）+（a4-a3）+•••+（an+2-an+1）=an+2-a2=an+2-1,类比这一方法，可得好+a>…+Q：o=（）

A.714B.1870C.4895D,4896

答案C

2.（2018广东肇庆一模』4）观察下列不等式:1居」《也白$审卡号……•照此规律、第五个不等式

为.

++

答案1+444444<¥

22324252626

【五年高考】

A组统一命题•课标卷题组

1.（2019课标全国1,4,5分）古希腊时期.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比哈（亨”0.618,称为黄

金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外.最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是亭.若某人满足

上述两个黄金分割比例.且腿长为105cm.头顶至脖子下端的长度为26cm.则其身高可能是（）

A.165cmB.I75cm

C.185cmD.190cm

答案B

2.（2016课标全国11,165分）有三张卡片，分别写有1和2.1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙

的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是

5”，则甲的卡片上的数字是.

答案1和3

B组自主命题•省（区、市）卷题组

考点一合情推理与演绎推理

1.（2015陕西」6,5分）观察下列等式

母学+我小^

据此规律，第n个等式可为.

答案1-鸿%…琮"+2

2.（2016山东,12,5分）观察下列等式:

(s呜『+(si吟)Wxlx2;

6呜f+(si吟『+(si得『+(si噢)Wx2x3;

(si崂+(si吟)+(s\ny)+…+(sin手)寺3x4;

6呜）?+（si吟）之+卜［得）之+…+卜［吟）2+4*5；

照此规律.

.(.2nn

•••+(ISin-2_n+l-.

答案4〃(n+l)

3.（2017北京,14,5分）某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:

⑴男学生人数多于女学生人数；

（ii）女学生人数多于教师人数：

（市）教师人数的两倍多于男学生人数

①若教师人数为4.则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为.

答案①6②12

考点二直接证明与间接证明

（2018江苏.20,16分）设⑶｝是首项为ai,公差为d的等差数列,｛b“｝是首项为办公比为q的等比数列.

⑴设ai=0,bi=l,q=2,若|an-bn|Wbi对n=l,2,3,4均成立，求d的取值范围：

（2）若a尸片＞0,111£V同£（1,772］,证明:存在（1£1＜,使得阵力|）区人对n=2,3,…,m+1均成立，并求d的取值范围（用bi,m,q表示）.

答案⑴由条件知a„=（n-l）d,bn=2Z.

因为出-bnlWb］对n=l,2,3,4均成立，

即|（41期-2叫＜1对n=l,2,3,4均成立.

即1W1,1WdW3,3W2dW5,7W3dW9曙Wd号.

因此.d的取值范围为屋］.

(2)由条件知:an=bi+(n-l)d,bn=biqn”.

若存在d£R,使得an-bn|Wbi(n=2,3,…,m+1)均成立，

即|bi+(n-l)d-biqn/|Wbi(n=2,3,…,m+1).

即当n=2,3,…,m+1时、d满足^---bi^d^^--bi.

n-ln-l

因为②，

所以l〈qn-WqmW2,

从而*biWO雪biX),对n=2,3,…,m+1均成立.

因此，取d=0时Ja『bn|Wbi对n=2,3,…,m+1均成立.

下面讨论数列｛詈｝的最大值和数列｛富｝的最小值(n=2,3,…,m+1).

①当2WnWm时拄亡*="代代丁"2=M心严>寸+2

'nn-ln(n-l)n(n-l)'

当1<€)忘2记时.有411忘4"1忘2,

从而n(qn-qnl)-qn+2>0.

因此当2WnWm+l时.数列｛臂｝单调递增.

故数列［呼］的最大值为此.

②设f(x)=2x(］-x),当x>0时.f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0.

所以f(x)单调递减，

从而f(x)vf(O)=L

qn］

当2Wn〈m时，-^■二吟山W2W.

n-l

因此当2WnWm+l时.数列｛窘｝单调递减.

故数列拼｝的最小值为哈

因此.d的取值范围为［喈誓］

C组教师专用题组

考点一合情推理与演绎推理

1.(2016北京.8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒四虺国两个单项b匕赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其

中有三个数据模糊.

学生序号12345678910

立定跳远便位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.60

30秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65

在这10名学生中.进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒助移电夬赛的有6人.则()

A.2号学生进入30秒跳绳决赛

B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号学生进入30秒跳绳决赛

D.9号学生进入3()秒跳绳决赛

答案B

2.(2014课标1,14.5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A.B.C三个城市时.

甲说:我去过的城市比乙多，但没去过B城市：

乙说:我没去过C城市：

丙说:我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为.

答案A

3.(2014福建,16,4分)已知集合(a,b,c)={0」,2},且下列三个关系二①aW2;②b=2;③c#0有且只有一正确，则100a+10b+c等

于.

答案201

4.(2014江西.21,14分)将连续正整数12….n(n£N*)从小到大排列构成一个数百三万⑹为这个数的位数(如n=l2时、此数为123

456789101112.共有15个数字,F(⑵=15),现从这个数中随机取一个数字卬(n)为恰好取到。的概率.

⑴求p(100):

⑵当nW2014时.求F(n)的表达式；

(3)令g(n)为这个数中数字0的个数f(n)为这个数中数字9的个数小5)=(01)吆(11)3={帅(11)=1,11力00,11£心,求当nWS时p(n)的最

大值.

答案(1)当n=100时.这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=器.

1<n<9,

2n-9,10<n<99,

(2)F(n)=-

3n-108,100<n<999,

Un-1107,1000<n<2014.

(3)当n=b(lWbW9,b£N*)时,g(n)=O;

当n=IOk+b(lWkW9,OWbW9,k£N*,b£N)时,g(n)=k;

当n=IOO时,g(n)=l1,

(0,1<n<9,

即g(n)=bc,n=10k4-b,l<k<9,0<b<9,k£N*,b£N,

(11,n=100.

同理有f(n)

91<n<8,

平,n=+]WkW8,0WbW9,k£N，,b£N,

n-80,89<n<98,

V20,n=99,100.

由h(n)=f(n)-g(n)=l,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.

所以当nW100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.

当n=9时.p(9)=0;

当n视时，P(9。)嘴舒!若；

当n=10k+9(lWkW8.k£N*)时,p(n)=黑=3=痣左由于y=而?关于k单调递增，故当n=10k+9(lWkW8,k£N”)时,p(n)的最大值为

zu-zzufc+yzuK+y

P(89)脸

又煮脸所以当neS时,p(n)的最大值为春

n

5.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={04,2,…,q-1),集合A={x|x=xi+x2q+—+xnq-

⑴当q=2,n=3时用列举法表示集合A:

(2)设s,lWA,s=ai+a2q+…+anq叫i=bi+b2q+・「+bnqnL其中2仙£^1/=1,2尸・,11.证明:若an〈bn,则s<t.

答案(1)当q=2,n=3时,M={0,l},A={X|X=XI+X2•2+xj-22,XiGM,i=1,2,3).

可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

n1n-1

⑵证明:由sttA,s=ai+aiq+,*,+anq',t=bi+bzq+,,,+bnq,ai,biGM,i=1,2,,,,,n及an<bn,可得

s-t=(ai-bi)+(a2-b2)q+**,+(an-i-bn-i)qn-2+(an-bn)qn-1

W(q-1)+(q-1)q+…+(q-1同.刃向

二@1)。呻叫an-i

1-qM

=-l<0.

所以s〈t.

考点二直接证明与间接证明

1.(2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x3+左.x£[0,1].证明：

(l)f(x)>l-x+x2;

(2*f(x)g.

证明(1)因为Lx+x2-x3二黑二空.

由于XC01].有黑W击，

即1・X+X2-X3W击，

所以f(x)>l-x+x2.

(2)由OWxWl得x3Wx,

故f(x)=x404x+击尖嘴卢H

所以f(x)W/

由(1)得

又因为崂唠得

所以f(x)0.

综上R(x)(

2.(2016江苏,20,16分)记U=(12•••,100).对数列(an)(n6N*)和U的子集T,若T=。.定义5丁=0;若T={h,t2,…息),定义

$『£炉七+・・・+2%例如:T={1,3,66}时5尸2收3+266.现设履“(11£^)是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时,ST=30.

⑴求数列⑶}的通项公式：

⑵对任意正整数k()Wk近100),若TG{1,2,…,k},求证:Szak+i；

（3）设CcU,DcU,SC2SD,求证:SC+SCCD22SD.

答案（1）由已知得an=ai・3n-',nGN4.

于是当T={2.4}时,ST=az+a4=3ai+27ai=30ai.

又ST=30,故30al=30.即ai=l.

所以数列伯力的通项公式为an=3"-',nGN\

（2）因为T£{12…,k},an=3M>0,nWN二

所以STWa।+a?+,,,+ak=1+3+,,,+3k'1=^（3k-1）<3k.

因此,Si<ak+L

（3）下面分三种情况证明.

①若D是C的子集，则SC+SC、D=SC+SD2SD+SD=2SD.

②若C是D的子集，则SC+SCCD=SC+SC=2SC22SD.

③若D不是C的子集，且C不是D的子集.

aE=Cn（uD,F=Dn［；uC,

典1Er0户0,EDF=0.

于是SC=SE+SOD,SD=SF+SJD,进而由SCNSD得SE2SF.

设k为E中的最大数J为F中的最大数、则kN1,121,kWL

Mk

由⑵知,SE<ak+1.于是3=aiCSF<SE<ak+i=3,

所以1-lvk,即l〈k.

又kWl,故lWk-1.

从而SWai+az+…+昕1+3+…+33言&字=*竽

故SE22SF+1,所以SC-SC：、DN2（SD~SCCD）+1,即SC+SC“D22SD+1.

综合①②③得,SC+SCD22SD.

【三年模拟】

时间：45分钟分值:60分

一、选择题（每小题5分.共45分）

1.（命题标准样题,3）2013年华人数学家张益唐证明了挛生素数猜想的一个弱化形式.李生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23

个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数P，使得P+2是素数.素数对（p,p+2）称为李生素数.则由不超过20的素数组成的李生素

数共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案C

2.（2018广东六校第三次联考,10）自主招生联盟成形于2（X）9年清华大学等五校联考.主要包括“北约”联盟.“华约”联盟，“卓越

联盟和“京派”联盟.调杳某高中学校学生自主招生报考的情况彳导到如下结果：

①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟;②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟;③报考“卓越”联盟的学

生，都没报考“京派”联盟;④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.

根据上述调查结果，下列结论错误的是（）

A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生

B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样

C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟

D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟

答案D

3.（2019河北衡水第十三中学质检（四）,6）平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不

共点的直线各平面分成7部分.…….则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（）

A.I6B.20C.21D.22

答案D

4.（2020届宁夏大武口质量检测,4）大前提:奇函数的图象关于原点对称.小前提:f（x）W§奇函数，结论:f（x）=£的图象关于原点对称，则推

理过程（）

A.正确

B.因大前提错误导致结论错误

C因小前提错误导致结论错误

D.因推理形式错误导致结论错误

答案A

5.（2020届河南南阳质量检测,8）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角.这

是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中.已知第n行的所有数字之和为，口若去除所有为1的项,依次构成数列

2,3,3,4,6,4510,105…,则此数列的前56项和为（）

I1I3I3I1I

[1T4I6]411I

1|5I10I10I5I1

A.2060B.2038C.4084D.4108

答案C

6.（2019安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会第二次联考,12）设aABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题

正确的是（）

⑴若a?+b2<c2厕C甘;⑵若ab82,则C>1;

（3）若a3+b3=c3,J!yC4;（4）若2ab>（a+b）c,则C君；

（5）S（a2+b2）c2<2a2b2，!0IJC<^.

A.⑴⑵（3）B.⑴⑵⑸

C.⑴⑶（4）D.⑴⑶（5）

答案D

7.（2020届河南新乡质量检测,7）从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线.3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是

向三位司机咨询.司机甲说：“2号路线不堵车,3号路线不堵车司机乙说：“1号路线不堵车,2号路线不堵车司机丙说：“1号路

线堵车,2号路线不堵车.”如果三位司机中只有一位的说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）

A.1号路线B.2号路线

C.3号路线D.2号路线或3号路线

答