基于新课标的初中代数推理教学初探

【摘

要】在新时代背景下，如何培养学生的学科核心素养已成为教育教学的工作重点。《义务教育数学课程标准（2022版）》把推理能力作为核心素养在初中阶段的重要表现之一，进一步加强了对代数推理的要求。代数推理是数学中常见的推理类型，是一种符号化的运算与推理，以达到探究数学的本质的目的。教师应重视学生学科核心素养的培养，有意识地把推理能力的培养巧妙地融合在数学教学过程中。【关键词】新课标；初中；代数推理；教学新时代背景下，如何培养学生的学科核心素养已成为教育教学的工作重点。《义务教育数学课程标准（2022版）》（以下简称《新课标》）把推理能力作为核心素养在初中阶段的重要表现之一，进一步加强了对代数推理的要求。《新课标》“学业质量部分”对第四学段（7—9年级）的学业是这样描述的：“能从生活情境、数学情境中抽象概括出数与式、方程与不等式、函数的概念和规则，掌握相关的运算求解方法，合理解释运算结果，形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力；知道运动过程中的不变量、图形运动的变化特征，能运用几何图形的基本性质进行推理证明，初步掌握几何证明方法，进一步增强几何直观、空间观念和推理能力”。事实上，初中数学对推理与证明的要求除了几何推理还有代数推理。《新课标》“课程实施部分”的“教材编写建议部分”指出：“逻辑推理是数学思维的重要内容，学生的相关能力发展与心智水平密切相关：在小学阶段，学生只需要感悟数学的说理；到了初中阶段，学生要会用数学符号表达数学道理，并会基于这样的道理证明一些数学命题。”然而在实际的数学教学过程中，一部分教师更注重几何推理的教学，把代数的运算过程只作为单纯的计算进行教学，而不将其视为推理过程。那么，如何在教学中培养学生的代数推理思维呢？笔者对影响初中生代数推理的因素浅谈感想，并结合实际教学例举初中代数推理的教学。一、影响初中生代数推理的因素（一）个体差异从学生的个体差异来看，年龄、性别以及认知水平与风格等方面存在差异性，不同学生具有不同的理解能力、学习环境等，展现在数学方面的基础和学习能力也有所不同。根据初中生成长、认知和思维等特点，《新标准》课程内容特别强调代数推理的螺旋上升：七年级引导学生探究由特殊到一般的规律，培养学生代数推理思维；八年级利用图形结合代数推理，培养学生代数推理意识；九年级在学习函数的过程中，让学生学会分析法与综合法的使用，进一步掌握代数推理能力。对此，教师在实际教学过程中要根据学生的个体差异，结合学生的实际情况，选择易于学生接受的教学内容，采用符合生情的教学方法，开展具有针对性的教学工作。（二）问题设置从具体的问题设置来看，问题的情境、类型、难易程度、语言表述、问题中未知数的位置、问题的长度、图形的复杂程度等都影响着学生对代数推理的认知。《新课标》指出：“在教学过程中，要关注数学知识与实际的结合，通过生活中或者数学中的现实情境，引导学生理解数学符号，以及感悟数学符号表达事物的性质、关系和规律，经历从实际问题中抽象出等量关系，建立数学模型、求解模型、验证反思的过程，形成模型观念。”对此，教师在教育教学中要注意做到以下几点：第一，在备课时要选择贴近学生实际、生活化的问题情境，引导学生利用自己平时的生活经验和原有知识经验进行建模、求解、验证，从而深化对代数推理的理解；其次，教學中教会学生利用图形直观的特点，巧妙地将图形作为转化载体，展现相应的运算、推理方法，加强学生对代数推理的掌握能力；最后，在代数推理时，要直观地阐述相关结论，帮助学生厘清前因后果，从而促进学生对代数推理的思维过程学习。（三）解题过程从学生的解题过程来看，在实际教学中，尤其是讲解例习题时，学生经常会产生这样的困惑“老师，你是怎么想到的？为什么我想不到？”笔者结合个人实际教学发现，影响学生代数推理的因素主要包括以下几点：第一，读题能力弱，不能理解题意；第二，缺乏原有知识结构，不能建立知识间的联系；第三，习惯具体的数值化操作，不能将问题符号化；第四，计算能力弱，出现计算错误；第五，知识混淆，找不到正确的求解策略。对此，教师在教学中要注意培养学生从读题及从题目中获取数学信息的能力，分析时要呈现解题步骤、揭示代数推理思维的产生过程，有意识地培养学生的符号意识和多元表征的能力，确保学生在课前已具备学习新知所必需的先验知识，并在建模时对学生进行适当的引导，利用图式等策略，促进学生用结构和模型的思想解决代数推理问题。二、例举初中代数推理的教学从知识内容的角度来看，几何推理以图形为载体，形象直观，符合初中生的认知特点；而代数推理侧重于数与代数或代数表达式、方程、函数等的变形、性质、运算，还涉及部分图形证明等问题，相对而言比较抽象。下面笔者根据教学与学生实际，用几个例子谈谈初中代数推理的教学。（一）通过设计有针对性的推理任务，培养学生的逻辑推理能力代数推理相对几何推理来说比较抽象，因此，教学中教师应尽可能地通过设计更有针对性的推理任务，降低题目难度，让学生更容易达到推理目标。以《新课标》例66代数推理为例，原题如下：例66代数推理：（1）设一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可以被3整除。（2）研究两位数平方的规律。关于例66（1）设置如下问题串探究：（1）观察数373、456、511、728中，能被3整除的数有哪些？（2）小明猜想“能被3整除的整数，它的末位数一定是3”。小明的观点正确吗？如果不正确，请阐述你的猜想。（3）小颖认为“对任意的一个三位数，把它各位上的数字相加，如果个位的数字之和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除”。小颖的观点正确吗？若正确，请给予证明；若不正确请举出反例。（4）小亮继续思考“将（3）中的条件和结论互换，结果仍然成立”。小亮的观点正确吗？请说明理由。（5）你认为满足什么条件的三位数一定能被9整除？请说明理由。通过问题串，采用“观察—猜想—证明—结论—拓广”这一探究问题的一般方法，让学生掌握用符号表达与证明问题，感受代数推理的常见类型。关于例66（2）设置如下问题串探究：（1）任意写出3个个位数是5的两位数，观察它们平方的规律；（2）猜想任意两位数平方的规律；（3）当a为任意正整数时，上面结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例。通过问题串的设计，学生可亲历“观察—猜想—证明—结论—拓广”的完整探究过程，初步感知代数推理，会用符号表达和证明问题。渗透从特殊到一般的思想方法，让学生在探究中经历归纳、猜想与证明，进一步感知代数推理的几种类型。（二）通过渗透类比迁移的思想，培养学生的类比推理能力代数的学习注重知识间的衔接与联系，对此，在课堂教学中，教师要有意识地引导学生复习与新知相关的知识，做好知识衔接，完成知识迁移，帮助学生整合初中阶段的代数知识，建立完整的知识架构，确保学生清晰地了解代数知识的特征，深化学生的学习成果，进而促进学生代数思维的形成与提升。笔者查阅了北师大版、人教版和华师大版教材，发现三个版本的教材的“分式”内容均以问题驱动为原则建构教材，不同程度地渗透类比迁移思想；分层设计例习题，注重类比推理。以北师大版八年级数学下册第五章第三节“分式的加减”内容为例，教材的引入设计以问题串的形式，引导学生回顾小学同分母分数的加减运算，再将具体数值符号化，将知识迁移、螺旋上升，从而猜想、探究分式的加减运算法则，让学生亲历归纳推理，在潜移默化中培养学生的推理能力。实际教学中，教师可以根据学生实际，为学生安排相应的练习题帮助学生回忆旧知，以便更好地达到完成知识迁移的效果。（三）通过合作探究学习，培养学生的归纳推理能力初中生的代数学习经常出现算法熟练、算理不清的现象，即大部分初中生往往只把代数的运算过程看成一种计算而不看成推理过程。初中生在熟悉的知识背景下较容易发现题目中的数量关系，但若要将数量关系符号化或用数学语言表述则存在困难，并经常出现转化表征错误的现象；对陌生的或抽象的问题，就较难发现相关联的数量，更无法准确地阐述出它们之间的关系，在将问题中的数量关系和变化规律符号化的过程存在较大困难。在代数推理能力的计算方面，部分学生习惯于对具体的数字进行运算，不能主动和熟练地将实际问题数学化并用代数方法进行计算，而且还缺乏检验意识。因此，初中代数教学要培养学生的代数推理思维，就要求教师能引导学生开展代数推理论证活动，促进学生通过具体事例发现一般规律，并能用符号表达与论证；进一步提升符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯。数学符号表征是数学表达和进行数学思考的重要形式，但表征能力形成的过程不是一蹴而就的，良好符号意识的培养需要耐心地帮助学生理解符号的意义和正确表征的方法。代数推理要求论证的严密性，但初中生对代数推理论证严密性学习是一个从不严密到严密的过程，需要教师在教学中逐步进行培养。以《新课标》例67、北师大版九年级数学上册第二章第五节“一元二次方程的根与系数的关系”内容为例。教材“做一做”环节设计了三道一元二次方程的求解，让学生在求解方程、计算两根的和与积后进行合作讨论交流，在探究中经历归纳、猜想与证明，感知代数推理，培养符号意识，从而发展抽象思维和归纳