《现代控制理论》第3版(刘豹唐万生)课后习题答案

《现代控制理论参考答案》

第一章答案

1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图

解：系统的模拟结构图如下:

系统的状态方程如下:

*

项

---占

X2-]3

J2

%4=七

*

X5=一用工3+乂、6

令0(s)=y,则y=xl

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

010000

oo40

王000X|

0

人2x

K2

*p__LLLLL0

00——人

元3=IJ3

*JJ34-0H

X.001000*4

人40

X5

00—K100Kl《

八5

*-旦0000-&.x0.3

.%6.KK—

LPnpJ

x2

与

y=[i00000

*4

人5

一

1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2

上的电压作为输出量的输出方程。

U

图1-28电路图

解：由图，令=的/2=%2，/=%3，输出量丁=衣2工2

R/1+Li当+%3=〃

*；-占2+4

有电路原理可知：LX2^-Rx2=犬3既得2

22L2L2

=x2+Cx3

y=

写成矢量矩阵形式为:

1

金1

Jr

1

0—X,+0M

L2

|_尤30

1

0

玉

y=[0R20：x2

_*3

1-3.图1—29机械系统。M、M?受外力

作用工人作用，求加1加2运动速度输出的

状态空间表达式。

解：微分方程

MJ】=fl-K](cl-c2)-Bl(y1-y2)

M?%=fl~K2c2-B2y2+K](C[1。2)+5](必—%)

设状态变量X=[qc2必为].

V山1%丫,u=[fi

令再=q,x2=c2,七=必，x4=y2

X=x3

XT=x4

KK、BiB11

X,=----}-x.d----x,----x,d——-x,+——r/,

141

M}Mx'M}MjMx

其中，ci,C2表示位移,yl,y2表不速度。

所以x=Ax+Bu

y=Cx

其中：

0010

0001

K.1K1]B1、B、1

AA—

跖监

K、K[+K]B、B、+B)

MM2M2M2

~00­

00

1[0010]

B=——0c=

M0001

i

0——

A/J

1-4两输入小,M2,两输出力,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

►

y

%

%

图1・30双输入一双输出系统模拟结构图

解：系统的状态空间表达式如下所示:

0

0

0

10

00

0100-o

a0a

W-\~61000

A=B=A

100100010

0~a5~a\~ai_0L

s—100

为s+旦0%

(si--A)—216

-10s-1

0%4S+“3

-1

s—-10o--oo-

a〉s+a0b10

W(s)=(sI-AY'B=x

llx-10s-100

。3

0a"5%_0b2_

-1一

s--10000

-、

-100oa2s卜q0综b0

仍

Fuy(s)=C(sl-8

_0010_-10s-100

0%羯S+4_0b2

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

(1)尸+5/+79+3y="+2”

解：相当于传递函数中有零点供兄。

即一s亡+2——

53+552+75+3

即：《)=3<7]=7a2=

瓦=2,4=1,b?=0,b3=

所以

o1oiroi

°。=[(4-她)…(如-娟]

B=0

1=[210]

冏

或者々b2

Ai4

a2So,

'100oYo^i

-510oo0

一52-7-51011

2

,70-125-35-7-51人2J\一3,

B=W仇A))r=(o1-3)7

C=[l00]

(2)y+5y+7y+3y=〃+3〃+2M

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令X]=y,x2—y,x3—y,则有

01

=00

-3-7

y=[23f

相应的模拟结构图如下:

1

6(s+1)

1-6(2)已知系统传递函数W(s)=，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

S(S+2)(S+3)2

101

6Q+D_4।-3।3।3

解:印⑸=

s(s+2)(s+3)~(s+3)-,v+3.v+2s

10

-30

0-2

00

10

y-43

33

“4

1-7给定下列状态空间表达式

X,0100

x0——2—30+1u

_xj[-11

3-32

[王

y=[001x2

（1）画出其模拟结构图

（2）求系统的传递函数

解：

5-10

(2)W(5)-(si-A)-25+30

1-1s+3

\sl一刈=s(s+3)2+2(s+3)=(s+3)(5+2)(.v+1)

(s+3)?s+30

1

(s/-A尸—2(5+3)s(s+3)0

(5+3)(5+2)(5+1)

_$-55-1(5+1)(5+2)

(s+3)?s+300

W,“(s)=(s/-A)T3=-2(5+3)s(s+3)0I

(s+3)(5+2)(5+1)

-5-5s-1(s+1)(5+2)2

(s+3)

1

s(s+3)

G+3)(s+2)(5+1)

(2s+1)(5+3)

(s+3)

1

叱„(s)=C(s/-A)-'B=[001s(s+3)

(s+3)(5+2)(5+1)

(25+l)(s+3)

(2s+1)

(s+2)(5+1)

1-8求下列矩阵的特征矢量

-2tJO

3

…川AlHio

-2

V;

6-3

(3)A=302

-12-7-6

A-10

解：A的特征方程|2Z-A|=-32-2=Z3+622+lU+6=0

127A+6

解之得：4=_1,小=_2,4=_3

01

当4=一1时，30

-12-7

解得：，2i=，3i=-Pu令Pn=l得

（或令P”=一1，得片

0

当4=-2时,30

-12-7

P\22

解得：“22=一2〃|2，〃32=/P12令化2=2得P?-P22=-4

_〃32__1

（或令P12=1，得鸟

0

当4=一3时,3

-12

解得：P23=—3〃13,P33=3〃|3令P13=1

Q

1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

I夕D%]dii]

「％】

1

(2)

120

必011

2-4-12

解：A的特征方程|2/-A|=-1A-2=(/1-1)(2-3)2=0

12-3

4.2=3,4=1

41

当4=3时,10

1-1

解之得必1=。31=。11令p“=l得

41

当4=3时,10

1-1

解之得82=。22+1，〃22=〃32令"12=1得

41

当4=1时,10

1-1

解之得83=°，〃23=2〃33令以3=1得

12

-2

-1

0-12318-1

广名=11-227-52

01-153-34

I10

120314

CT102

011203

01

约旦标准型

3108-1

X4,=030x+-52u

001-34

314

x

y203

1-10已知两系统的传递函数分别为Wi(s)和W2(s)

叱G)

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果

解：(1)串联联结

(2)并联联结

1111

W(s)=叱(s)土叫(s)7+7s+2+5+35+4

s+11

00

5+2S+1

1-11(第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为

1

s10

叱(S)1

001

5+2

求系统的闭环传递函数

解：

1

1

叱⑸%(s)=s+1sd-5o+1s

101

0

s+2_s+2

1£s+2

1o-

I+W(s)W(s)=/+5+1s=5+1S

]1s+3

0010

s+2_s+2_

s+315+1s+l

5+1

[/+”(S)%(S)『二s+2s=s+2s(s+3)

s+3s+2s+2

00

s+l]s+3.

4+321」■

+L5+2ss+1s

W(s)=[/+M<(5)W2(5)]-'W,(5)=-

3091

+s----

L5+11s+2_

-s+315+1

5+1(s+2)(s+l)ss+2s(s+3)

s+3

o—o-

s+Ls+3

1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为

1

Wt(s)=s+1J=

2—^―

,5+2.

求系统的闭环传递函数

解：

11一11-

10

叱(s)叱(s)=5+1s5+1s

1O11

22

s+2_s+2_

11-s+21'

5+110

I+Wl(s)Wl(s)=ss+ls

1O1s+3

22

s+2_s+2_

7+31

s+2s

cs+2

2

5+1

s+3111

W(s)=[iCW(s)=KUs+2s+2s

s+21

-2

5+1s+2

s+32s+31

--------------1--------------

S(S+1)(S+2)2Ss(s+2)s(s+2)

+5s+2212(5+2)21

-------1---------

5+25+1S5+1

(s+1)2(3s+8)5+1

($+2)2(1+5S+2)s~+5s+2

$3+6$2+6s5+2

(5+2)(s~+5s+2)s~+5s+2

1-12已知差分方程为

y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)-2u(k+1)+3〃(女)

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为

1

(1)b=

1

解法1：

2z+311

W(z)=---------1----------

z~+3z+2z+1z+2

-10

x(k+1)%(左)+]〃(女)

0-2

y(左)=[1l]x(Z)

解法2：

+1)=x2(k)

x2(k+1)=一22(左)一3%2(%)+w

y(攵)=3M(攵)+2/伏)

-01I「b

x(k+1)=23x(Z)+]u(k)

y(Q=[32k伏)

.111-

求T,使得广g=得L=所以T=

0101

11011-1--40

T-'AT=

01-2-301-5-1

所以，状态空间表达式为

-401

z(Z+l)=z(k)+u(k)

—J—11

y(左)=[3-l]z(k)

第二章习题答案

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数e*'。

A=r1

(2)

(41J

解：第一种方法：令|2/-^|=0

则即(九_1)2_4=0。

求解得到4=3,4=-1

当4=3时，特征矢量Pl=P”

\_P21

3Pli

由AP|=4R,得

141」53P21

Pu+幺=3Pii1

，可令Pl=

4〃U+〃2I=3〃2I2

Pl2

当4=-1时，特征矢量P2=

P22

由Ap2=/l2P2，得彳

P\2^P22=-P\2

可令p2=

4P12+P22=-P22

11,24

则T=,T-1*

2-21]_

4

44

2

第二种方法，即拉氏反变换法:

-1

si-A=

5-1

1

L」(s-3)(s+l)14s—1

s—1]

(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)

4s—1

(5-3)(5+1)(5-3)(5+l)

13,1.

—e—e

2244

13,1

-e+-e

22

第三种方法，即凯莱一哈密顿定理

由第一种方法可知4=3,4=—1

1+L

2244

22

2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

1

-(e-'+e.3/-\-e~'+e.3/

2e~2'-2e~'2、4'

(3)o)(r)=(4)①⑺

-e'+ey,e~'+e31

2

10

解：（3）因为①（0）=/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

01

-2e-,+2e"2'-AeT2'+2"'0-2

A=C>

(OL-e'+-4e~2'+e''1-3

/=0

10

（4）因为①（0）=/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

01

1-,^33,1-,^33,

-e+—e

22Z4_fl1

e-"+3e3'

2-6求下列状态空间表达式的解：

'oiiro'

X=x+u

0ojL1.

y=(l,0)x

初始状态x(0)=J,输入“(r)时单位阶跃函数。

「01]

解：A=

00

si-A=

0s

ss

0-

s一

①(，)=e"'=〃'[("-A)-[=:；

因为8=；,

x(f)=①+J。①(f-⑺dr

-t2+t+\

2

t+l

y=[l0]x=—r+Z+1

2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=O.ls和1s,而坊和4为分段常数。

U2

图2.2系统结构图

解：将此图化成模拟结构图

U2

U1-----►[K|—HX)—--n—-------X2a]----------------------►

1L___________I

+

----------------------A2j----------1

列出状态方程

x}-ku}—x]

x2=x1-u2

y=W+2%

-101[k0]「〃」

x=尤+

_ioj[°-IJLW2_

v=[2r

则离散时间状态空间表达式为

x(4+l)=G(T)x(Z)+”(T)〃(Z)

y(左)=cr(k)+£>〃伏)

由G(T)=*和H(T)=^eA'dtB得：

「—10]「左0]r「2]

4=B=CT=

_iojL0-1jL1.

〜，8町，卜哨:胆二,二]

k(\-e-T]0

k(T-]+e-'r)-T

/、「/o]/、「M-T)o],、

当T=1时(k+l)=~T1x(5Q_1"(%)

y(k+l)=[21卜伙)

e~0'

当T=O.l时x(女+1)

l-e-0A

y(k+\)=[21卜伏)

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取

值条件如何？

解：由图可得：

xx=-ax{+u

*

x2=-bx2

=~CX3+X2+Xy=%1+x2-cx3

x4=x3-dx4

状态空间表达式为:

00

0-b0

11

00

01OJA-

由于勺、与、匕与“无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与看有关，因而系统为不完全

能观的，为不能观系统。

(3)系统如下式：

玉-11

x20-1

00

c0d

X

y=000

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行

元素不能为0，故有。工0,。大0。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有cw0,dH0。

3-2时不变系统

-3111

XX+u

1-311

11

y=X

1-1

试用两种方法判别其能控性和能观性o

解：方法一:

-31I111

A,B,c=

1-3111-1

11-2-2

M=[BAB]

1-2-2

rankM=1<2,系统不能控。

11

C1-1

N

CA-2-2

-44

㈤成N=2,系统能观。

方法二：将系统化为约旦标准形。

2+3-1

|2I-A|=(Z+3)2-l=0

-12+3

4=—2,4=-4

则状态矢量：AR=4R=>P[=

A2P2=4P2n02=

1

--

TT22

--11

-^

22

11

--320

2

r2-

1AT-1o

-1

22-4

11

--

22

r-

'B-1oo

-

2

2o

C-=

To2

T」B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。

3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数％和分

a11「i

(DA],b=i，c=[i-i]

0a2

解：构造能控阵:

M-\bAb\

要使系统完全能控,贝ij21+1wa2，即%一°2+1。°

构造能观阵:

C1-1

N

CA1—%

要使系统完全能观,则1—OC]w-iZ|,即%—ct-,+1工0

3-4设系统的传递函数是

y(s)=s+a

“(s)s3+10.v2+275+18

(1)当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？

(2)当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

(3)当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

S+Q

解：（1）方法1：W（s）y(s)

u(s)(s4-l)(s+3)(s+6)

系统能控且能观的条件为W（s）没有零极点对消。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

方法2：

a-1a-3a-6

)'(s)5+Q应工+E

〃(s)(s+l)(s+3)(s+6)s+1s+3s+6

4=-14

-10

X0-3

00

a-1

y7(r

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=l,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型

-010'0

X=001x+0

-18-27-101

y=[al0]x

（3）根据对偶原理,当a=l,a=2或a=4时，系统的能观标准n型为

00

x=10

01

y[00

3-6已知系统的微分方程为：y+6y+lly+6y=6〃

试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解：aQ—6,%=11,a,=6,ay=3,%=6

系统的状态空间表达式为

01

x=00

—6-11

y=[600]

传递函数为

W(s)=Qsl-A)-1B=[600]0

6

其对偶系统的状态空间表达式为:

'00-6'-6'

X二10-11x+0

01-60

y=[00l]x

6

传递函数为W(s)=

53-652-115+6

3-9已知系统的传递函数为

+6s+8

J=

52+4s+3

试求其能控标准型和能观标准型。

...6s+82s+5

解：W(s)=—.......=I+F----------

52+45+352+45+3

系统的能控标准I型为

y=[52]x+u

能观标准II型为

0-31「5一

X=X+u

1-4j|_2_

y=[0l]x+u

3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

0100

解：A=-2-30,b=1,C=[o01]

-11-32

01-3

M=\l)AhA2b\=1-27

2-511

rankM=2<3,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型

rcmkN=3,系统为能观系统，可以变换为能观标准型，

3-11试将下列系统按能控性进行分解

0-1-4

AbA2Z?]=000