人教版-数学-高一-必修一-1.3-7-一元二次不等式与分式不等式的解法

一元二次不等式及其解法含有一个未知数，且未知数最高次数为2的不等式。一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。常见形式：1,

＞0(a＞0)2,

＜0(a＞0)

3,

＞0(a＜0)4,＜0(a＜0)回忆：一元一次不等式的解法依据一次函数y=2x-8的图象，填空：当x时，y=0；当x时，y>0；当x时，y<0.解2x-8>0=4>4<4画图——求根——定范围1.函数y=x2-5x(1)画出函数的图像(2)当x取何值时，y=0;当x取何值是,y>0;当x取何值时，y<0?05xy二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象：大于取两边小于取中间a＞0，＞0画图——求根——定范围①由a的正负定开口画出对应函数y=ax2+bx+c的图象；对于ax2+bx+c>0〔a≠0〕②求对应方程ax2+bx+c=0的根；③由不等式ax2+bx+c>0的“不等号>”选择x轴上方图象，写出对应的x的范围。(△)(a)②三个“二次”形式上的统一.例1：求不等式x2-4x+3>0的解集.【注】①化为一般式ax2+bx+c>0(a≠0)；【练习】解不等式：〔1〕3x2-7x≤10〔2〕3x2+5x>0(△)(a)求根——画图——定范围例2：求不等式4x2-4x+1>0的解集.②三个“二次”形式上的统一.【注】①化为一般式ax2+bx+c>0(a≠0)；【练习】解不等式x2-x+1<0(△)(a)求根——画图——定范围判别式=b2-4ac>00<0二次函数y=ax2+bx+c（a>0）一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+c<0的解集有两个相异的实根x1，x2x1<x2有两个相等实根x1=x2没有实根{x|x>x2或x<x1}

R{x|x1<x<x2}{x|x≠}xyx1x2xyx1=x2xy(△)(a)求根——画图——定范围小结：假设ax2+bx+c=0〔a>0〕有两不等实根x1<x21、对于ax2+bx+c>0〔a>0〕,则取两边；2、不等式ax2+bx+c>0解区间端点恰好是对应方程的根；对于ax2+bx+c<0〔a>0〕,则取中间.假设方根有“一根”或“无根”，则用“图象法”解不等式，应留意“三个二次”形式上的统一.大于取两边，小于取中间2.假设关于x的一元二次方程x2-(m+1)x-m=0有两个不等实根，求m的取值范围.-12-2解一元二次不等式的根本步骤〔2〕求根——解对应一元二次方程；〔3〕定范围——依据对应的二次函数的大致图象及不等号的方向，写出解集.〔1〕化正——把二次项系数化成正数；对于不等式恒成立问题，主要考虑六条图象，通过交点数△和开口方向a去刻画.注：最高次项系数未定时,分”等于0”和”不等于0”两种状况.1.已知不等式＜0的解集为

,求的解集.＞0{x|2＜x＜3}2.一元二次不等式ax2＋bx+6>0的解集为{x│－2＜x＜3},求a－b的值.3.已知关于x的不等式＜0的解集为R，求实数m的取值范围4.解关于x的不等式x2-8ax+7a2﹤0(a∈R)作业：1.求以下不等式的解集〔1)＞15(2〕＜0〔3〕〔4〕2.不等式的解集为,解不等式＜03.假设不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．分式不等式定义分子、分母都是整式，并且分母含有未知数的不等式叫做分式不等式.试解不等式：分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立.因此或不等式组(1)的解集是，不等式组(2)的解集是

所以，原不等式的解集为试解不等式：分析：当且仅当分子与分母同号时， 上述不等式成立，而两个数的商与积同号.因此，上述不等式可转化为所以，原不等式的解集为整式不等式试解不等式：分析：当且仅当分子与分母同号时，上述不等式成立.因此，上述不等式可转化为整式不等式解法比较分类争论转化〔化归〕繁简需要解两个不等式组，再取这两个不等式组解集的并集通过等价转换，变成我们生疏的、已经因式分解好了整式不等式C?思考：不等式的解所以，原不等式的解集为解：分式不等式分式不等式的等价变形：

>0f(x)·g(x)>0，≥0

1.4含确定值的不等式解法先看含确定值的方程|x|=2在数轴上表示如图：方程的解是:x=2或x=-2再看相应不等式|x|〈2与|x|〉2在数轴上表示如图：不等式|x|〈2的解集是：{x|-2<x<2}-202-202不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a}

不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a,或x<-a}不等式|x|〉2在数轴上表示如下：不等式|x|〉2的解集是：{x|x<-2}

{x|x>2}={x|x<-2,或x>2}-202例解不等式|x-500|≤5解：由原不等式可得-5≤x-500≤5各加上500，得495≤x≤505所以，原不等式的解集是{x|495≤x≤505}495500505练习：解以下不等式：(1)|x|<5;(2)2|x|≤8;(3)|3x|<12;