课件工科高等数学1第五章

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定积分的概念与性质微积分基本定理定积分的换元法与分部积分法反常积分定积分的应用G.F.B.Riemann(1826-1866)第五章定积分（TheDefiniteIntegral）abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）5.1.1三个引例5.1定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）解决步骤:1)

化整为零.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线

将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;分割2)局部以常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得近似3)积零为整.4)取极限消除误差.令则曲边梯形面积求和取极限实例2

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值(2)近似实例3

（求非均匀细棒的质量）（1）分割（3）求和（4）取极限质量的精确值(2)近似上述三个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限定义5.1.2定积分的定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：例1

利用定义证明解定理1常用到的一些结论定理2例2

利用定义计算定积分分析：由定积分的定义知解定理4定理31

对可积函数变动有限个点的值,可积性不变,积分值不变.2

定理4的条件不是必要条件.注例黎曼函数当为既约分数时，当为中的其它点时黎曼函数在[0,1]上所有有理点处不连续;结论：而在[0,1]上所有无理点连续,但可以证明R(x)在[0,1]上可积.则R(x)

有无限个不连续点，例3

证明定积分证明由定义知该定积分不存在曲边梯形面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义故利用定积分几何意义计算积分例4解令小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：求和积零为整取极限精确值——定积分化整为零分割直（不变）代曲（变）近似思考题将和式极限：表示成定积分.思考题解答

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