【高中数学】用空间向量研究位置关系课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.

因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.1.4.1用空间向量研究位置关系1思考1.如何用向量表示空间中的一个点？

在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.思考2.

我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线

l？

如图，

是直线l的方向向量，在l上取

，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得

即

进一步地，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.将

代入①式得空间中直线的向量表示：已知直线上两点，如何求直线的方向向量？

一般地，若已知直线上两点

，则直线的一个方向向量为练习：

已知直线l上两点A(1，4，3)，B(2，2，5)，请写出直线l

的一个方向向量___________练习思考3.一个定点和两个定方向能否确定一个平面？空间中平面的向量表示：

这样，点O与向量

，

不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.

我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为

和

，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(x，y)，使得.

进一步地，如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y使

，也即

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

我们知道，给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于l的平面是唯一确定的.由此，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.如图，直线l⊥α，取直线

l的方向向量，则向量叫做平面的法向量.

给定一点A和一个向量

，那么过点A，以向量为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合.注意：1.法向量一定是非零向量2.一个平面的所有法向量都互相平行思考4.进一步地，一个定点和一个定方向，能否确定一个平面？如何求平面的法向量？(1)设出平面的法向量为

(2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标

(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量.例1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.(1)求平面BCC1B1的一个法向量；(2)求平面MCA1的一个法向量.练习巩固练习巩固

我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.

那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？直线与直线的平行

如图，设

，

分别是直线

l1，l2的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以直线与平面的平行

如图，设

是直线l的方向向量，

是平面α的法向量，

，若l与α平行，则ABCDD1A1B1C1xyzP建系设点取向量列方程组取解得法向量ABCDD1A1B1C1xyzP

练习巩固解:存在点E使CE∥平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),练习巩固平面与平面的平行

如图，设

，

分别是平面α，β的法向量，若α与β平行，则练习1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F.练习巩固证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,则(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),练习巩固练习巩固

类似空间中直线、平面平行的向量表示

在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？直线与直线的垂直：

如图，设

，

分别是直线

l1，l2的方向向量.若

l1与

l2垂直，等价于它们的方向向量垂直，即直线与平面的垂直：

如图，设

是直线l的方向向量，

是平面α的法向量，若l与α垂直，则

练习：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD中点，求证：D1F⊥平面ADE.

解析：要证明线面垂直：①根据判定定理转化为线线垂直．②证明直线的方向向量与平面的法向量平行．例4.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1