2023-2024学年辽宁省沈阳市实验中学重点高中联合体高三上学期期中考试 数学(解析版)_第1页
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2023-2024学年度(上)联合体高三期中检测数学(满分:150分考试时间:120分钟)审题人:22中学张海丽注意事项:1.答题时,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上,写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.复数在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若全集,,则()A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为,且,则()A.21 B.18 C.14 D.124.若,,,则()A. B. C. D.5.已知单位向量,,且,则()A B. C. D.6.已知直线是曲线的一条切线,则实数()A.2 B.1 C. D.7.已知为锐角,且,则()A. B. C. D.8.已知定义在上的函数满足,且函数是偶函数,当时,有,则()A. B.2 C. D.10二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题所给的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9已知向量,,则()A. B.向量,的夹角为C. D.向量与垂直10.函数的部分图象如图所示,则()AB.C.点是函数图象的一个对称中心D.直线是函数图象的对称轴11.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的可能取值是()A.0 B.1 C.2 D.312.已知正实数x,y满足,则()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题“,”为真命题,则实数的取值范围是________.14.已知在中,角,,的对边分别为,,,若向量,,且,则角的度数为________.15.已知等比数列中,,则满足成立的最大正整数的值为_________.16.已知偶函数是在上连续的可导函数,当时,,则函数的零点个数为______.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数.(1)求最大值及相应的取值;(2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象,求在上的单调递增区间.18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.(1)求角;(2)若,求的面积.19.已知是公差不为的等差数列的前项和,是与的等比中项,.(1)求数列的通项公式;(2)已知,求数列的前项和.20.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入函数为(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数及利润函数的最大值;(2)为了促销,如果每月还需投入500元的宣传费用,设每台产品的利润为,求的最大值及此时的值.21.设函数,其中,曲线在点处切线方程为.(1)确定,的值;(2)若过点可作曲线的三条不同切线,求的取值范围.22.已知函数.(1)当时,证明:;(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值.

2023-2024学年度(上)联合体高三期中检测数学(满分:150分考试时间:120分钟)审题人:22中学张海丽注意事项:1.答题时,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上,写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.复数在复平面内对应点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照复数的定义展开即可.【详解】,所以该复数在复平面内对应的点为,在第二象限故选:B.2.若全集,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合补集的定义计算求解即可.【详解】,.故选:A.3.已知等差数列的前项和为,且,则()A.21 B.18 C.14 D.12【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质,,,可求值.【详解】等差数列中,,得,则.故选:C4.若,,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质,得到,,即可求解.【详解】由指数函数的性质,可得,又由对数函数的性质,可得,所以.故选:D.5.已知单位向量,,且,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直,可得其数量积为0,进而可求出,根据向量的夹角公式即可求出其夹角.【详解】因为,所以即,又因为向量,为单位向量,所以,所以,所以,故选:A6.已知直线是曲线的一条切线,则实数()A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用切线的斜率,求解切点坐标,代入切线方程求解即可.【详解】曲线,可得,直线是曲线的一条切线,设切点横坐标为:,则切点纵坐标为,则,解得,.故选:D.7.已知为锐角,且,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出,从而可求得,然后再利用正切的二倍角公式求出,再利用两角差的正切公式可求得结果.【详解】因为锐角,所以.由可得,则,又,故,故选:A.8.已知定义在上的函数满足,且函数是偶函数,当时,有,则()A. B.2 C. D.10【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合可得为周期函数,且周期为4,进而根据周期即可求解.【详解】由于为偶函数,所以,故,又,所以,因此,进而可得,所以为周期函数,且周期为4,,故选:B二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题所给的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知向量,,则()A. B.向量,的夹角为C. D.向量与垂直【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的数量积,模,夹角,验证向量垂直,逐项判断即可得结论.【详解】对A,,,,故A错误;对B,,又,向量,的夹角为,故B正确;对C,,,故C错误;对D,,,故D正确.故选:BD.10.函数的部分图象如图所示,则()A.B.C.点是函数图象的一个对称中心D.直线是函数图象的对称轴【答案】ACD【解析】【分析】A选项,根据图象得到函数最小正周期,进而得到;B选项,将代入解析式,求出;C选项,,C正确;D选项,计算出,故D正确.【详解】A选项,设的最小的正周期为,由图象可知,,解得,因为,所以,A正确;B选项,将代入中得,,故,即,因为,所以只有当时,满足要求,故,B错误;C选项,,故,故点是函数图象的一个对称中心,C正确;D选项,,故直线是函数图象的对称轴,D正确.故选:ACD11.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的可能取值是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】【分析】先求得函数的极小值点,再根据函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值求解.【详解】解:因为函数f(x)=3x-x3,所以,令,得,当或时,,当时,,所以当时,取得极小值,则,解得,又因为在上递减,且,所以,综上:,所以实数a的可能取值是0,1,2故选:ABC12.已知正实数x,y满足,则()A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式可知,,即,所以选项A正确;而可判断B错误;将展开并结合可知C错误;观察D项分母可知,利用基本不等式“1”的妙用求最值,即可知D正确.【详解】对于A,基本不等式可知,即,所以,即;当且仅当时,等号成立,故A正确;对于B,根据不等式,当且仅当时,等号成立;所以B错误;对于C,,当且仅当时,等号成立;故C错误;对于D,根据,观察分母可知为定值,则,当且仅当时,等号成立;故D正确.故选:AD.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题“,”为真命题,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】,即转化为,恒成立,只需即可得解.【详解】由题意,为真命题,即,恒成立,令,,对称轴为,所以函数在上递减,在上递增,结合对称性可得,即可,实数的取值范围是.故答案为:.14.已知在中,角,,的对边分别为,,,若向量,,且,则角的度数为________.【答案】【解析】【分析】由向量共线的坐标运算和余弦定理求解.【详解】向量,,由,有,即,由余弦定理,,由,则有.故答案为:15.已知等比数列中,,则满足成立的最大正整数的值为_________.【答案】4【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项,得出数列是等比数列,并求出其首项,公比和前项和,即可求出使不等式成立的最大正整数的值.【详解】由题意,,在等比数列中,,设公比为,∴,解得:,∴,∵,∴数列是以为首项,公比为的等比数列,∴,∴当时,,即,解得:,∴最大正整数的值为,故答案为:4.16.已知偶函数是在上连续的可导函数,当时,,则函数的零点个数为______.【答案】2【解析】【分析】由题意,方程等价于,令,,求导得函数的单调性,再结合奇偶性画出函数的大致图象,由图可得答案.【详解】解:显然不是的零点,∴方程等价于,令,,则,∴当时,,则在上单调递增,∵为偶函数,∴为奇函数,∴在上单调递增,由图象可知与有两个交点,故函数的零点个数为2,故答案为:2.【点睛】关键点点睛:本题主要考查利用导数研究函数的零点个数问题,解题关键是将等价于,构造函数,,然后利用导数研究函数的单调性,画出大致图象,借助图象解出答案.本题考查了学生的转化与化归能力,考查了数形结合思想,属于中档题.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数.(1)求的最大值及相应的取值;(2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象,求在上的单调递增区间.【答案】(1)时,取得最大值.(2)【解析】【分析】(1)化简函数,然后结合三角函数函数的性质判断函数最值;(2)根据“左加右减”平移函数图像,然后整体代入求解函数的单调递增区间;小问1详解】因为所以当,即时,取得最大值.【小问2详解】,由,得:,取得:在上的单调递增区间为18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.(1)求角;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据平方关系可求得,,进而结合两角和的余弦公式即可求解;(2)根据正弦定理可得、的值,进而结合面积公式即可求解.【小问1详解】因为,所以,,又,所以,即,所以,所以,又,故.【小问2详解】由正弦定理得,即,所以,,所以的面积为.19.已知是公差不为的等差数列的前项和,是与的等比中项,.(1)求数列的通项公式;(2)已知,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由等比中项及等差数列通项公式列方程得,由等差数列前n项和可得,进而求基本量,写出通项公式即可;(2)应用错位相减法、等比数列前n项和公式求.【小问1详解】设数列的公差为d,由是与的等比中项,则,所以,且,整理得①,又,整理得②,由①②解得,,所以.【小问2详解】由(1)知,,则,所以两式相减得,所以.20.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入函数为(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数及利润函数的最大值;(2)为了促销,如果每月还需投入500元的宣传费用,设每台产品的利润为,求的最大值及此时的值.【答案】(1)利润函数,最大值为(元)(2)当台时,每台产品的利润取到最大值1900元【解析】【分析】(1)根据题意得到的解析式,再利用二次函数的性质即可求得的最大值;(2)根据题意得到的解析式,再利用基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意知,,易得的对称轴为,所以当或时,取得最大值为(元).所以利润函数,最大值为(元);【小问2详解】依题意,得(元).当且仅当时等号成立,即时,等号成立.所以当台时,每台产品的利润取得最大值元.21.设函数,其中,曲线在点处的切线方程为.(1)确定,的值;(2)若过点可作曲线的三条不同切线,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据切线方程可知,进而求出(2)先设出切点,再写出切线的方

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