高考数学 热点专题复习热点四 数列 理科试题

热点四数列【考点精要】考点一.等差、等比数列的定义.等差数列的前项和在公差不为0时是关于的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和.则数列为等差数列的充要条件是；在等差数列中,也是等差数列.在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注.如是等比数列，则就不一定是等比数列.考点二.数列的递推关系.解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行转换.把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理.转化的常用方法有：(1)待定系数法.如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列.(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为.(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等．解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、注意的取值，不能出错．考点三.分段数列.通过考查分段函数进而明晰数列在不同的范围内赋予不同的意义.如：数列中，=求.考点四.数列的通项公式以及前n项和.数列的通项公式以及前项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性.高考中诸多题目均能涉及.数列求和的常用方法：（1）公式法：（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）（2）分组求和法：（答：）（3）倒序相加法：＝______（答：）（4）错位相减法：（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）.（5）裂项相消法：（1）求和：（答：）；（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）（6）通项转换法：求和：（答：）如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.考点五．等差数列前n项和最值的求法：⑴；⑵利用二次函数的图象与性质.考点六.考查数列（其中均为常数，.一般地，要先在原递推公式两边同除以，进行化简求解.巧点妙拨1．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；掌握数列通项与前n项和之间的关系.2．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和，（4）利用数列的周期性求和，（5）利用正整数的方幂和公式求和等.3．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.4.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项.5.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式.6.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向.【典题对应】例1.(2014·山东理19)已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.（=1\*ROMANI）求数列的通项公式；（=2\*ROMANII）令=求数列的前项和.命题意图：本题主要考查数列的通项公式，前n项和公式，分情况讨论求和，考查学生的衍生数列的应对策略以及分类讨论思想.解析：（I）解得（II）名师坐堂：数列求和的方法较多，运用何种方法关键是分析好通项公式，当通项公式中含有时要进行讨论.例2．(2012·山东理20)在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和S命题意图：主要考查等差数列中等差中项的性质及数列求和的方法.解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，，于是，即.（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，即，而，由题意可知，于是，即.名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力.例3．（2013·山东理）设等差数列的前n项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列前n项和为,且(为常数).令.求数列的前n项和.命题意图：主要考查等差数列的前项和以及等差数列的通项公式，考查学生运用错位相减法求和的能力.解析:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,由,得,解得,,因此(Ⅱ)由题意知:所以时,故,分所以,则两式相减得整理得.所以数列数列的前n项和.名师坐堂：将一个数列通过某种运算得到另一个数列并求其和，此类问题往往转化成列项求和、分组求和、错位相减等，此类问题的关键是能看透新生数列的特性.例4.（2011·全国大纲理20）设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设命题意图：主要考查等差数列与不等式的结合应用.解析：（I）由题设即是公差为1的等差数列.又所以（II）由（I）得， 名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰简单的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用将相邻的两项相消，求出数列之和，由n的范围证出不等式.【命题趋向】1.数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”.但实际上，从近两年各地高考试题来看，主要加大了对“递推公式”的考查.2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题.4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点.今后在这方面还会体现的更突出.7.在题型设计方面、选择题和填空题主要考查数列的概念．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.等差与等比数列的基础知识与基本技能，突出“小、巧、活”的特点；解答题常把数列、函数、不等式等知识结合．在知识交汇处命题．综合考查应用意识、推理能力和数学思想方法.【直击高考】1.如果数列满足，，且(≥2)，则第10项等于()A. B. C. D.2.已知是由正数组成的等比数列，表示数列的前项的和，若，，则的值为()A． B．69 C．93 D．1893.在数列中，已知，则等于()A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和是,若三点共线,为坐标原点，且(直线不过点)，则等于()A. B. C. D.5.数列的首项为，为等差数列且.若则，，则()A．0 B．3 C．8 D．116.函数满足=（n∈N*）且，则为()A．95 B．97 C．105 D．1927.知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当时，.8.有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为________．9.已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.10.设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.11.已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝3，eq\f(an＋1＋an,n＋1)＝eq\f(8,an＋1－an)(n∈N*)，设bn＝eq\f(1,an)，Sn＝beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：Sn<eq\f(1,4).12.设数列的各项都是正数，且对任意，都有,，其中为数列的前n项和.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设(为非零整数，)，试确定的值，使得对任意，都有.

热点四数列【直击高考】1.解析：由得：，所以｛｝为等差数列，故应选D.2.解析：因为，所以，，所以，故选C.3.解析：，，.4．解析：B.5.解析：由已知知由叠加法既得.选B。6.解析：Bf（n+1）－f（n）=相加得f（20）－f（1）=（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．7.解析：函数是奇函数，图像关于原点对称，等差数列有27项，若，则必有，。8.解析：[答案]426第1斜行有一个数字，第2斜行有2个数字，…第n斜行有n个数字，第20行从左向右数第10个数字在第29斜行，为倒数第10个数字，∵eq\f(29×29＋1,2)＝435，∴第20行从左向右数第10个数字为435－9＝426.9.解析：（1）点都在函数的图像上，,当时，当时，满足上式，所以数列的通项公式为（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：.（3）,.又，其中是中的最小数，是公差是4的倍数，又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为.10．解析：(1)由题意可得：①时,②①─②得，，是首项为，公比为的等比数列，（2）由(1)知若为等差数列，则成等差数列,得又时，，显然成等差数列，故存在实数，使得数列成等差数列.11.解析：(1)∵eq\f(an＋1＋an,n＋1)＝eq\f(8,an＋1－an)，∴aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝8(n＋1)，∴aeq\o\al(2,n)＝(aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1))＋(aeq\o\al(2,n－1)－aeq\o\al(2,n－2))＋…＋(aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1))＋aeq\o\al(2,1)＝8[n＋(n－1)＋…＋2]＋9＝(2n＋1)2，∴an＝2n＋1.(2)beq\o\al(2,n)＝eq\f(1,a\o\al(2,n))＝eq\f(1,2n＋12)<eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))∴Sn<eq\f(1,4)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,n