《直线和圆的方程》教学分析和教学建议

01章节的内容结构02课程标准的要求及分析03本章的教学建议04在教学中体现大单元设计思想05章节的地位与作用06落实四基四能六素养流程章节的内容结构框架章节的内容结构框架

本章在平面直角坐标系中探究确定直线、圆的几何要素，并利用坐标表示这些要素，进而得到直线、圆上任意一点的坐标所满足的关系式，建立直线的方程、圆的方程；通过它们的方程，用代数方法研究有关几何问题，包括两直线的位置关系，两直线交点的坐标，距离问题，直线与圆、圆与圆的位置关系等.章节的地位与作用

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线的方程（点的轨迹方程），从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.章节的地位与作用

在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的大小、形状和位置关系，这种方法通常称为综合法.

本章我们采用坐标法研究几何图形的性质.可以使学生体会解析几何方法的特点，感悟平面解析几何中蕴含的数形结合等重要数学思想.直线和圆的方程是最基本的曲线方程，是后继学习圆锥曲线及其它曲线方程的基础,也是学习导数、微分、积分等知识的基础..章节课程标准

本章的研究对象是直线与圆。根据课标要求，通过本单元的学习是学生在平面直角坐标系中认识直线和圆的几何特征.在此基础上，建立它们的标准方程，并用代数方法进一步认识它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何蕴含的数学思想.章节课程目标分析

本章首先需要研究平面几何中几何对象的表示形式，即在直角坐标系中用代数方法刻画直线的倾斜角与斜率、直线与圆.在此基础上，可以进一步研究它们的位置关系，在比较中体会坐标法的特点以及它在研究平面解析几何问题的普适性和重要性.确定几何要素（或特征）代数刻画检验完备性建立方程应用直观定性认知代数定量刻画应用链接高考年份试卷知识点题号分值20211卷直线的斜率

直线和圆的位置关系115分2112分20221卷直线和圆的位置关系115分145分20231卷直线和圆的位置关系65分本章的教学建议（一）课时分配，本章教学时间共计约需16课时章节主题建议课时2.1直线的倾斜角与斜率2课时2.2直线的方程3课时2.3直线的交点坐标与距离公式4课时2.4圆的方程2课时2.5直线与圆、圆与圆的位置关系3课时小结小结2课时（二）重难点突破及其策略本章教学建议本章重点：直线的方程、圆的方程，以及运用它们研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离，直线与圆、圆与圆的位置关系等.本章难点：用向量方法推导点到直线的距离公式，以及对直线与直线的方程,圆与圆的方程之间关系的认识,理解有关应用.（二）重难点突破及其策略本章教学建议1.对于“曲线的方程”与“方程的曲线”的理解

第一，要特别重视点斜式方程的教学，这里的关键是要加强对“在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一确定一条直线”的几何意义、代数意义的.第二，在求出直线的方程后，要“通过直线上任意一点的坐标都满足方程（纯粹性），且以方程的解为坐标的点都在直线上（完备性）”，再一次引导学生认识“唯一确定”的含义.（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

首先，将直角坐标系下两种确定直线位置的几何要素联系起来，在“同一对象的两种表示一定有内在联系，可以相互转化”的思想指导下把直线的倾斜角和直线上两点的坐标联系在一起，进而得到直线的方向向量.

其次，三个问题按照从特殊到一般、有具体到抽象顺次展开，而且“把角的分类”，“向量P1P2方向的分类”融入其中.这个过程非常简洁，但对学生的抽象思维要求很高，要联系向量、三角函数等相关知识，还要进行分类讨论，对培养学生的理性思维、发展逻辑思维、数学抽象、直观想象等素养都有作用.（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

问题：你能类比两点间的距离公式的推导，推出点 P到直线l的距离公式吗?先请说明一下思路，然后再动手完成推导.

法一：先求出垂足Q的坐标，再利用两点间距离公式求出点P到直线l的距离（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

（二）重难点突破及其策略本章教学建议2.注重引导学生对基础公式的推导

，加深对公式的理解

在点到直线距离公式的推导过程中，运用坐标法求点到直线的距离，计算思路与方法容易得到，但运算难度较大；

用向量方法推导点到直线的距离公式，将几何元素“向量化”并以投影向量为纽带，通过向量运算，可以非常简捷地推导出公式.

在教学中应充分发挥学生主体的作用，通过不同的推导方法，讨论、对比、优化、反思，可以使学生用联系的观点看待问题，加深对公式本质的认识及其蕴含的思想方法，发展学生的逻辑推理、数学运算等素养.（二）重难点突破及其策略本章教学建议3.注重数学问题和实际问题在“坐标法”中的应用

将实际问题坐标化是学生学习过程中的难点，为了突破这一难点，先通过问题引导学生思考如何根据问题的条件建立适当的坐标系，将问题代数化.，（二）重难点突破及其策略本章教学建议3.注重数学问题和实际问题在“坐标法”中的应用

用坐标法解决实际问题的基本步骤，得出“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（三）教法、学法建议本章教学建议

1.抓住一切机会渗透解析几何的基本思想.

本单元是解析几何的开篇，承担着从宏观上明确研究对象、构建研究框架、形成研究路径等任务.解析几何是方法论，解析几何课程的核心任务是使学生学会用代数方法研究几何问题.,所以在开篇伊始就注重解析几何基本思想、用坐标法解决问题的基本思路的渗透.（三）教法、学法建议本章教学建议

1.抓住一切机会渗透解析几何的基本思想.

首先，要注重章引言的学习，发挥章引言的先行组织者作用，使学生形成对坐标法思想的宏观认识.

其次，紧紧围绕坐标法，在每一个具体问题的研究过程中，都强调“先用几何眼光观察再用代数方法解决”，引导学生明确问题的几何意义、涉及的几何元素和几何关系，再用坐标法的语言进行转化，得出问题的代数表达，在此基础上进入代数运算求解.（三）教法、学法建议本章教学建议2.注重全面调动已有知识，特别是与三角函数、平面向量等知识的联系，在建立相关知识的联系中体现数形结合思想.

直线斜率的定义、判定两直线垂直的充要条件，点到直线的距离、以及解决一些与圆有关的简单问题，圆的参数方程的推导，都用到了平面向量、三角函数的有关知识。

运用坐标法通过代数运算解决几何问题过程程序化，但在具体操作过程中难免会遇到运算复杂的情况，简化运算的一个基本途径是调动已有的几何知识，数形结合地解决问题，这也是强调“先用几何眼光观察、再用代数方法解决”的坐标法思想的体现.（三）教法、学法建议本章教学建议3.注重“曲线和方程”的内在逻辑关联，帮助学生在一般观念引领下构建和把握曲线方程的整体结构.

曲线与方程之间一一对应的关系是解析几何的基石.虽然教科书正文中没有明确提出曲线与方程的关系，但是两者的对应关系在直线的点斜式方程、圆的标准方程的建立过程中有所体现.从大的范围看,曲线与方程之间的一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系.有了这种关系，就可以用方程表示曲线，对曲线进行“运算”；建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”，进一步体会数形结合的思想.（三）教法、学法建议本章教学建议4.在教学中渗透分类讨论思想方法，培养学生的逻辑思维能力.直线倾斜角的定义、直线斜率的定义、如何用直线的点斜式和斜截式设直线方程、过圆外一点求圆的切线方程的注意事项、由截距相等设直线的截距式方程时的注意事项、用斜率就要讨论斜率等.（三）教法、学法建议本章教学建议5.充分注意各种曲线线方程的“个性”，归纳“共性”，培养学生思维的严谨性.

每一种曲线方程都有自己的特殊意义，反映了确定曲线位置的特殊条件.直线的方程都是二元一次方程，圆的方程都是二元二次方程，进而可以拓展到圆锥曲线的方程也是二元二次方程.在直线各种形式的方程中，当斜率存在或表达式有意义时，一般式方程与其他形式的方程可以互化.圆的一般方程与标准方程虽然形式不同，但本质上是一致的，两者形式之间可以互相转化.（三）教法、学法建议本章教学建议6.在求轨迹方程时，注意步骤的严谨性和完整性.

以建立曲线方程的一般步骤为指导提出问题,以坐标法思想统领整个研究过程，

让学生经历求曲线方程的完整过程.（三）教法、学法建议本章教学建议7.加强与综合法、向量方法的比较，使学生体会坐标法的特点.

综合法是不借助其他教学工具，用逻辑推理的方法，通过抽象思维解决问题；

坐标法以平面直角坐标系为媒介，用方程表示直线与圆，通过代数运算解决几何问题，具有程序性；

向量方法以向量为工具，发挥向量集数与形于一身的优势，用向量及其运算来表示几何元素及其关系，再通过向量运算得出结果.（三）教法、学法建议本章教学建议8.重视基础知识，基本技能，注重揭示研究方法.课本101页的9个问题（三）教法、学法建议本章教学建议

9.设计专题训练，结合解题过程，加强方法的总结，落实解题技能.（三）教法、学法建议本章教学建议

9.设计专题训练，结合解题过程，加强方法的总结，落实解题技能.（三）教法、学法建议本章教学建议

9.设计专题训练，结合解题过程，加强方法的总结，落实解题技能.（三）教法、学法建议本章教学建议

9.设计专题训练，结合解题过程，加强方法的总结，落实解题技能.17.已知0<x<1，0<y<1.求证：并求使等式成立的条件；说明上述不等式的几何意义．（三）教法、学法建议本章教学建议

10.强化“书写规范、运算准确、过程完整”的要求，为进一步学习圆锥曲线打下基础.如何体现大单元教学设计思想（一）大单元教学设计实施框架如何体现大单元教学设计思想

①有机整合几何知识：将直线与圆的方程与其他相关的几何知识点进行整合，比如点与直线的关系、直线与平面的关系等，帮助学生建立全面的几何知识体系。通过对不同几何知识点的联系和区别进行比较和分析，促进学生综合思维的发展。②引导学生跨越思维：通过引导学生分析和解决一些相对复杂的问题，帮助他们跨越不同几何知识点之间的思维鸿沟。③提供综合运用的练习和问题：设计综合性的练习和问题，让学生运用所学的直线与圆的方程知识来解决实际问题。这些练习和问题可以涉及到实际生活中的应用场景，也可以涉及到其他学科领域的知识点，帮助学生将所学的知识与实际应用相结合，培养问题解决能力。（二）大单元教学设计理念（三）确定大单元教学目标如何体现大单元教学设计思想

大单元目标应体现核心素养的综合性、发展性和实践性.大单元目标和学业要求：大单元目标是学生应当知道、理解或能够做的事情，它是完成某项活动或学习任务的结果.（四）探究大单元教学实施策略如何体