等比数列的前n项和的性质

刘俊斌模板之5等比数列的前n项和的性质平罗中学刘俊斌ljb1004@126.com忆一忆知识要点从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)

公比

q忆一忆知识要点课前练习A.任意一项都不为0D.可以有无数项为0C.至多有有限项为0B.必有一项为0DD等比数列前n项和的性质一：这个形式和等比数列等价吗？类似结论：相反数合作探究形成规律我们知道，等差数列有这样的性质：等比数列前n项和的性质二：那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？怎么证明？推导过程:等比数列前n项和的性质三：推导过程:怎么证明？等比数列前n项和的性质四：(资料P31:性质5）数列与函数等比数列前n项和的图象：例题讲解系数和常数互为相反数提示：变式练习解：解：3、任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（）DA．X＋Z＝2YC．Y2＝XZB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)D．Y(Y－X)＝X(Z－X)260变式训练4、书上第58页，第2题。21080解：5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？变式训练提示：小结：等差数列前n项和的性质：①②③④课后作业课本第62页，习题2.5B组，第2题、第5题。

已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.(1)求{an}的通项公式；1、课后练习：(2)求{an}的前项和Sn.变式训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和．2、已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式.

根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组.

解

方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，

a2=a4=a3q=2q，

∴+2q=

解得q1=，q2=3.①当q=时，a1=18，∴an=18×（）n-1==2×33-n.②当q=3时，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，a2=a2=6a4=6a4=解得或.①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.

例3、（2009·全国Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,

已知a1=1，Sn+1=4an+2.

（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.

（1）证明由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.

又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,

于是an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn.

因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.(2)解由（1）知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=3×2n-1,于是因此数列是首项为,公差为的等差数列,所以an=(3n-1)·2n-2.4、在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且

=2,求a3.

（1）由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3.

（2）也可利用性质=a1·a5=a2·a4直接求得a3.

解方法一设公比为q,显然q≠1,∵{an}是等比数列，∴也是等比数列，公比为.思维启迪∴=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得∴=4.∴a3=±2.由已知条件得变式练习已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等