聚焦中考数学复习知识点第34课直线与圆的位置关系

第34课直线与圆的位置关系

基础知识题型分类要点梳理题型一判断直线与圆的位置关系基础自测题型二圆的切线性质题型三圆的切线判定易错警示25.忽视弦与圆心之间的位置关系

造成漏解知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.直线和圆的位置关系

(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线L的距离．直线和圆的位置图形公共点个数圆心到直线距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交____________交点_____2d<r割线要点梳理基础知识·自主学习知识点索引直线和圆的位置图形公共点个数圆心到直线距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相切____________切点_____相离

____________无无1d＝r切线0d>r要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(2)切线的性质：①切线的性质定理：圆的切线________经过切点的半径．②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过______．③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过______．(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线．垂直于圆心切点垂直于要点梳理基础知识·自主学习知识点索引(4)三角形的内切圆：和三角形三边都________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____________________________________，内切圆的圆心叫做三角形的

________，内切圆的半径是内心到三边的距离．相切三角形三条内心角平分线的交点要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.相关辅助线直线与圆相切的问题，常连接过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系．如下图是常添加的辅助线：基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(中考真题-邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝

30°，则∠C的大小是(

)A.30°B.45°C.60°D.40°基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析连接OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，且∠C＝∠OBC，基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(中考真题-邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝

30°，则∠C的大小是(

)A.30°B.45°C.60°D.40°A基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(

)A.1 B.1或5C.3 D.5B解析当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.基础自测基础知识·自主学习知识点索引3.(中考真题-哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是(

)A.30° B.25°C.20° D.15°解析∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO，∵∠ABD＋∠BDO＝∠AOC，∴∠ABD＝25°.故选B.B基础自测基础知识·自主学习知识点索引基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．∵正方形的边长为6，∴AB＝3，又∵∠AOB＝45°，∴OB＝3，基础自测基础知识·自主学习知识点索引B基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-广安)如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6.

若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现(

)A.3次 B.4次

C.5次 D.6次基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次．故选B.基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-广安)如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6.

若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现(

)A.3次 B.4次

C.5次 D.6次B题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-盘锦)如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC

＝10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与

BC的位置关系是(

)A.相交 B.相切

C.相离 D.无法确定题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引解析过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴以DE为直径的圆的半径为2.5，∵r＝2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交．故选A.题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-盘锦)如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC

＝10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与

BC的位置关系是(

)A.相交 B.相切

C.相离 D.无法确定A题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引探究提高根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系作判断，d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；d<r直线与圆相交．本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-德州)如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC

为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O、AB的交点，P

为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC、AD的长；

(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)①如图1，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，②∵CD平分∠ACB，∴AD＝BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，题型一判断直线与圆的位置关系题型分类·深度剖析知识点索引(2)直线PC与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图2，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∵∠PEC＝∠OAC＋∠ACE，CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，∴∠PCB＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠OCB＋∠OCA＝∠ACB＝90°，∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．题型二圆的切线性质

题型分类·深度剖析知识点索引【例

2】

(中考真题-扬州)如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连接DE，已知∠B

＝30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π.(1)求证：DE∥BC；

(2)若AF＝CE，求线段BC的长度．题型二圆的切线性质

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)证明：连接OD、OE，∵OD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，又∵弧DE的长度为4π，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝60°，∴∠EDA＝30°，∴∠B＝∠EDA，∴DE∥BC.题型二圆的切线性质

题型分类·深度剖析知识点索引(2)连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF＝90°，∴FD是⊙O的直径，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴BC＝60.题型二圆的切线性质

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解答．记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条件．本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于90°的圆周角对的弦是直径这一性质的灵活运用．题型二圆的切线性质

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(中考真题-丽水)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABH；

(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．题型二圆的切线性质

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)证明：连接OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH.题型三圆的切线判定

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】

(中考真题-新疆)如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且，连接AC、AF，过点C作

CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D.(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD＝2，求⊙O的半径．题型三圆的切线判定

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)证明：连接OC，如图，∵，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．∵，题型三圆的切线判定

题型分类·深度剖析知识点索引(2)连接BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝8，∴⊙O的半径为4.题型三圆的切线判定

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连接圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可．当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线．本题考查了切线的判定定理，也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．题型三圆的切线判定

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3

(中考真题-东营)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O

上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D.(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为