考点02 一元二次方程的6大解法-解析版

考点02一元二次方程的6大解法1，直接开平方法的方法如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。2，配方法的用法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。3，公式法的用法一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。4，因式分解法的用法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。5，换元法的用法1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.,6，十字相乘法的用法十字相乘法，形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程可变形为(x+a)(x+b)=0.例如x²+5x+6=0解：(x+2)(x+3)=0,解得x1=-2,x2=-3.用十字相乘法解一元二次方程X2x3步骤：①因式分解竖直写；3x+2x=5x②交叉相乘验中项；(x+2)(x+3)=0③横向写出两因式。考点1直接开平方法考点2配方法考点3公式法考点4因式分解法考点5换元法考点6十字相乘法考点1直接开平方法1．（2023春·海南海口·八年级海师附中校考期末）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)或【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；（2）用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，移项得：，开平方得：或，解得：，；（2）解：，移项得：，配方得：，即，开平方得：或，解得：或．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，准确计算．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：．【答案】【分析】利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：，或，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，形如或的一元二次方程可采用直接开平方法的方法解一元二次方程．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【详解】（1）解：，，∴，∴；（2）解：，，，．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，正确计算是关键．4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解方程．【答案】，．【分析】根据直接开平方法即可得方程的解．【详解】解：，整理得，∴，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．考点2配方法5．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）用配方法解方程：．【答案】，【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：原方程化为，∴，∴，即，∴，解得：，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：（配方法）．【答案】，【分析】先移项，再把方程两边除以2，然后利用配方法得到，最后再利用直接开平方法进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，准确进行计算．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）解方程：（配方法）．【答案】，【分析】先把方程化成，它的二次项系数为，为了便于配方，需要把二次项系数化为．【详解】移项，得．二次项系数化为，得．配方，得，．由此可得，，．【点睛】本题主要考查采用配方法解一元二次方程，牢记配方法的定义（通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法）是解题的关键．8．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）配方法解方程．【答案】．【分析】先将方程整理为一般式，再进行配方求解即可．【详解】解：整理，得：，∴，则，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．考点3公式法9．（2021秋·广东深圳·九年级深圳市高级中学校联考开学考试）【答案】【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：即，∵，，∴，解得：【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．10．（2023春·广西梧州·八年级统考期末）解方程：【答案】，【分析】根据公式法解一元二次方程即可．【详解】解：因为，，所以，所以，所以，．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．11．（2019秋·广东中山·九年级校考开学考试）用公式法解一元二次方程：．【答案】，【分析】直接利用公式法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：，，，，，，解得：，．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键．12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用公式法解方程：．【答案】【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：．变形得：．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，牢记公式是解题关键．考点4因式分解法13．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）解方程：．【答案】，【分析】方程移项变形后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：，分解因式得：，，可得或，解得：，．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分解因式法解答即可；（2）原方程整理成一般形式后，再利用分解因式法求解．【详解】（1）原方程即为，∴或，∴；（2）原方程整理得，即为，∴或，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握分解因式法解方程的方法是解题的关键．15．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）首先整理成一般式，然后利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：，∵，，∴∴解得，；（2）解：整理成一般式，得：，则，∴或，解得，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）解方程：．【答案】，【分析】移项，应用因式分解法解答即可．【详解】解：移项，得，方程左边因式分解，得，整理，得所以，，或，解得，．【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解答关键是分析方程特征，选择适当方法进行分解．考点5换元法17．（2023·全国·九年级假期作业）已知，求的值．【答案】3【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可．【详解】解：令，则原等式可化为：，解得：，，，即．的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是，，，．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：；(2)已知实数，满足，试求的值．【答案】(1)，，，；(2)【分析】（1）设，则，整理，得，解关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可求解；（2）设，则，整理，得，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设，则，整理，得，解得，，当即时，解得；当即时，解得；∴原方程的解为，，，；（2）设，则，整理，得，解得，舍去，．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．19．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：(1)配方法：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据换元法解一元二次方程，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：∴即∴∴，解得：（2）解：设，则即解得：∴或由得解得：由，，方程无实根，∴原方程的解为．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．（2023·青海·统考一模）提出问题为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．当时，，，∴；当时，，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题（1）运用上述换元法解方程．延伸拓展（2）已知实数m，n满足，求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．【详解】解：解决问题：（1）设，∴原方程变形为，解得，，，当时，，故舍去；当时，，解得，，；综上所示，原方程的解为，．延伸拓展：（2）∴，∴原式变形为，∴，设，∴，则，解得，，即，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．考点6十字相乘法21．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：将原方程的左边进行因式分解得：则或所以，【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是对二次三项式进行正确的因式分解．22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）解一元二次方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；（2）用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：配方得：，开平方得：，∴，；（2）解：分解因式得：∴或，解得：，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．23．（2023春·福建福州·八年级统考期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析