专题05 平面直角坐标系重难点题型（四大题型）（解析版）

专题05平面直角坐标系重难点题型（四大题型）重难点题型归纳【题型1两点间距离】【题型2求平面直角坐标系中动点问题的面积】【题型3平面直角坐标系中规律题探究】【题型4等腰三角形个数讨论问题】【题型1两点间距离】1．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点．（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；（2）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，求点C的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B两点的纵坐标相同．∴a+1＝4，解得a＝3．∴A、B两点间的距离是|（a﹣1）+2|＝|3﹣1+2|＝4．（2）∵CD⊥x轴，∴C、D两点的横坐标相同．∴D（b﹣2，0）．∵CD＝1，∴|b|＝1，解得b＝±1．当b＝1时，点C的坐标是（﹣1，1）．当b＝﹣1时，点C的坐标是（﹣3，﹣1）．2．已知平面直角坐标系内的三点：A（a﹣1，﹣2），B（﹣3，a+2），C（b﹣6，2b）．（1）当直线AB∥x轴时，求A，B两点间的距离；（2）当直线AC⊥x轴，点C在第二、四象限的角平分线上时，求点A和点C的坐标．【答案】（1）2；（2）A（﹣4，﹣2）．【解答】解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B点的纵坐标相同，∴a+2＝﹣2，解得a＝﹣4，∴A（﹣5，﹣2），B（﹣3，﹣2），∴A，B两点间的距离＝﹣3﹣（﹣5）＝2；（2）∵点C（b﹣6，2b）在第二、四象限的角平分线上，∴（b﹣6）+（2b）＝0．解得b＝2．∴点C的坐标为（﹣4，4），∵直线AC⊥x轴，∴A（﹣4，﹣2）．3．先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点距离公式可简化成|x1﹣x2|或|y2﹣y1|．（1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点的距离；（2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣4，试求A，B两点的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），找出三角形中相等的边？说明理由．【答案】（1）；（2）10；（3）AB＝AC，理由见解答．【解答】解：（1）∵A（3，5），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝；（2）∵A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣4，∴AB＝|﹣4﹣6|＝10；（3）AB＝AC，理由如下：∵A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），∴AB＝＝5，BC＝|3﹣（﹣3）|＝6，AC＝＝5，∴AB＝AC．4.先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为：p1p2＝，例如：点（3，2）和（4，0）的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成：p1p2＝|x1﹣x2|或p1p2＝|y1﹣y2|．（1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为3；（2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是（5，4）或（﹣1，4）；（3）已知A（3，5），B（﹣4，4），A，B两点的距离为5；（4）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）3；（2）（5，4）或（﹣1，4）；（3）5；（4）△ABC为等腰直角三角形，理由见解析．【解答】解：（1）AB＝5﹣2＝3，故答案为：3；（2）∵线段AB平行于x轴，点B的坐标为（2，4），∴设点A的坐标是（a，4），∵AB＝3，∴点A的横坐标为|a﹣2|＝3，∴a＝5或a＝﹣1，∴点A的坐标是（5，4）或（﹣1，4），故答案为：（5，4）或（﹣1，4）；（3）∵A（3，5），B（﹣4，4），∴AB＝＝，故答案为：5；（4）△ABC为等腰直角三角形，理由如下：∵A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），∴AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝＝2，∴AB＝AC，AB2+BC2＝20＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形．5．先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知点A（2，4），B（﹣2，1），则AB＝5；（2）已知点C，D在平行于y的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为﹣2，则CD＝5；（3）已知点M和（1）中的点A有MA∥x轴，且MA＝3，则点M的坐标为（5，4）或（﹣1，4）；（4）已知点P（3，1）和（1）中的点A，B，则线段PA，PB，AB中相等的两条线段是AB＝PB．【答案】（1）5；（2）5；（3）（5，4）或（﹣1，4）；（4）AB＝PB．【解答】解：（1）；故答案为：5；（2）CD＝|3﹣（﹣2）|＝5；故答案为：5；（3）设M的坐标为（x，4），则|x﹣2|＝3，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴点M的坐标为（5，4）或（﹣1，4）；故答案为：（5，4）或（﹣1，4）；（4）∵，，又AB＝5，∴AB＝PB．故答案为：AB＝PB．6．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（1，3），B（﹣3，﹣5），试求A，B两点间的距离；（2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为（2，﹣1），试求点N的坐标．【答案】（1）；（2）（2，3）或（2，﹣5）．【解答】解：（1）A，B两点间的距离＝；（2）∵线段MN∥y轴，∴M、N的横坐标相同，设N（2，t），∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）．7．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；（2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A，B两点间的距离＝＝13；（2）A，B两点间的距离＝|5﹣（﹣1）|＝6．8．阅读材料：两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝，则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（3，2），则AB＝，若点A（a，1），B（3，2），且AB＝，则．根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值．根据上面材料完成下列各题：（1）若点A（﹣2，3），B（1，2），则A、B两点间的距离是．（2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．【答案】（1）；（2）B（﹣6，0）或（2，0），过程见解答．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），B（1，2），∴AB＝，故答案为：；（2）设B（m，n），∵点B在轴上，∴n＝0，∴B（m，0），∵A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，∴52＝（﹣2﹣m）2+（3﹣0）2，整理得（﹣2﹣m）2＝16，∵±＝±4，∴﹣2﹣m＝4或﹣2﹣m＝﹣4，∴m＝﹣6或m＝2，∴B（﹣6，0）或B（2，0）．9．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点．（1）当点C在y轴上时，求点C的坐标；（2）当AB∥x轴时，求A，B两点间的距离；（3）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，求点C的坐标．【答案】（1）（0，2）；（2）4；（3）（﹣1，1）或（﹣3，﹣1）．【解答】解：（1）∵点C在y轴上，∴b﹣2＝0，解得b＝2，∴C点坐标为（0，2）；（2）∵AB∥x轴，∴A、B点的纵坐标相同，∴a+1＝4，解得a＝3，∴A（﹣2，4），B（2，4），∴A，B两点间的距离＝2﹣（﹣2）＝4；（3）∵CD⊥x轴，CD＝1，∴|b|＝1，解得b＝±1，∴C点坐标为（﹣1，1）或（﹣3，﹣1）．10．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴|AB|＝＝13，即A、B两点间的距离是13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6；（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），∴AB＝5，BC＝6，AC＝5，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【题型2求平面直角坐标系中动点问题的面积】11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是4；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为（﹣4，﹣3）；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）（﹣4，﹣3）；（3）（10，0）或（﹣6，0）．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；故答案为：4；（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；故答案为：（﹣4，﹣3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足．（1）填空：a＝﹣1，b＝3；（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，﹣），当时，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a、b满足+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0，且b﹣3＝0，∴a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）∵a＝﹣1，b＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵M（﹣2，m），且M在第三象限，∴m＜0，∴△ABM的面积＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（3）当m＝﹣时，则M（﹣2，﹣），S△ABM＝﹣2m＝﹣2×（﹣）＝3，∵△PBM的面积＝△ABM的面积的2倍＝6，∵△PBM的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积＝PC×2+PC×3＝6，解得：PC＝，∵C（0，﹣），∴OC＝，当点P在点C的下方时，P（0，﹣﹣），即P（0，﹣）；当点P在点C的上方时，P（0，﹣），即P（0，）；综上所述，点P的坐标为（0，﹣）或（0，）．13．如图，在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，﹣4），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于x轴的对称点．（1）在方格纸中标出A、B，并求出△ABO的面积；（2）设点P的纵坐标为a，求点Q的坐标；（3）设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的上方，求出此时P点坐标．【答案】（1）9；（2）Q的坐标是（3，﹣a）；（3）P的坐标是（3，）．【解答】解：（1）△AOB的面积＝；（2）∵Q是点P关于x轴的对称点，∴Q的坐标是（3，﹣a）；（3）∵△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的上方，∴PA＝PQ，∵点P在点Q的上方，∴2﹣a＝2a，∴，∴P的坐标是（3，）．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足a2+2a+1+|3a+b|＝0．（1）填空：a＝﹣1，b＝3；（2）若存在一点M（﹣2，m）（m＜0），点M到x轴距离﹣m，到y轴距离2，求△ABM的面积（用含m的式子表示）；（3）在（2）条件下，当m＝﹣1.5时，在y轴上有一点P，使得△MOP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【答案】（1）﹣1，3；（2）﹣m，2，S△ABM＝﹣2m；（3）（0，﹣3）或（0，3）．【解答】解：（1）∵a2+2a+1+|3a+b|＝0，∴（a+1）2+|3a+b＝0，∴a+1＝0，3a+b＝0，∴a＝﹣1，b＝3；故答案为：﹣1，3；（2）∵点M（﹣2，m）（m＜0），∴点M到x轴距离﹣m，到y轴距离2，如图1所示，过M作CE⊥x轴于E，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝﹣1，OB＝3，∴AB＝4，∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），∴ME＝|m|＝﹣m，∴S△ABM＝AB×ME＝×4×（﹣m）＝﹣2m，故答案为：﹣m，2；（3）设BM交y轴于点C，如图2所示：设P（0，n），当m＝﹣1.5时，M（﹣2，﹣1.5），S△ABM＝﹣2m＝3，在y轴上有一点P，使得△MOP的面积＝△ABM的面积＝3，∴|n|×2＝3，解得n＝±3，∴符合条件的点P坐标是（0，﹣3）或（0，3）．15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，b＝4；（2）A点坐标为（0，2），B点坐标为（3，0），四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB＝•2•（﹣m）+•2•3＝﹣m+3；（3）存在．理由如下：∵S四边形ABOP≥2S△AOP，∴﹣m+3≥2××2×（﹣m），∴m≥﹣3，∵m为负整数，∴m＝﹣1，﹣2，﹣3，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣2，）或（﹣3，）．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是（﹣6，a），（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵S△ABO＝OA•OB，∵OA＝OB，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝10﹣4＝6，∴A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（6，0）；（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，S△PAB＝S△AOB+S梯形BOHP﹣S△PBH＝8+（4+6）•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，S△PAB＝S梯形OHPA﹣S△PBH﹣S△OAB＝（﹣a+4）•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；（3）S△ABC＝×10×4＝20，当2a﹣4＝20，解得a＝12．此时P点坐标为（﹣6，12）；当4﹣2a＝20，解得a＝﹣8．此时P点坐标为（﹣6，﹣8）．综上所述，点P的坐标为（﹣6，12）或（﹣6，﹣8）．17．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+＝0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积＝△ABC的面积恒成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝﹣2，b＝3；（2）①∵a＝﹣2，b＝3，C（﹣1，2），∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，点C到AB的距离为2，∴OM•2＝××5×2，解得：OM＝2.5，∵点M在x轴正半轴上，∴M的坐标为（2.5，0）；②存在．点M在x轴负半轴上时，点M（﹣2.5，0），点M在y轴上时，OM•1＝××5×2，解得OM＝5．所以点M的坐标为（0，5）或（0，﹣5）．综上所述，存在点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）．18．如图，直线AB与x轴，y轴分别相交于点A（6，0），B（0，8），M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点B'处．求：（1）点B'的坐标；（2）△ABM的面积．【答案】（1）B′（﹣4，0）．（2）15．【解答】解：（1）∵A（6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∵AB'＝AB＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，∴B'的坐标为：（﹣4，0）．（2）设OM＝m，则B'M＝BM＝8﹣m，在Rt△OMB'中，m2+42＝（8﹣m）2，解得：m＝3，∴OM＝3，BM＝OB﹣OM＝5，∴S△ABM＝×BM×AO＝×5×6＝15．19．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0．（1）求a，b，c的值．（2）求四边形AOBC的面积．（3）是否存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝4；（2）∵A（0，2），O（0，0），B（3，0），C（3，4）；∴四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3，∴四边形AOBC的面积＝×（OA+BC）×OB＝×（2+4）×3＝9；（3）设存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．∵△AOP的面积＝×2×|x|＝|x|，∴|x|＝2×9，∴x＝±18∴存在点P（18，﹣9）或（﹣18，9），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．20．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴×1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．21．如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（﹣1，0），C（3，0）（1）求△ABC面积；（2）在y轴上存在一点D，使得△AOD的面积是△ABC面积的2倍，求出点D的坐标；（3）在平面内有点P（3，m），是否存在m值，使△AOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵点B（﹣1，0），C（3，0），∴BC＝3﹣（﹣1）＝4．∴S△ABC＝BC•yA＝×4×2＝4．（2）设点D的坐标为（0，y），∵△AOD的面积是△ABC面积的2倍，∴S△AOD＝OD•xA＝|y|＝2S△ABC＝8，∴y＝±8．∴点D的坐标为（0，﹣8）和（0，8）．（3）假设存在，过点P作PE⊥AO于点E，延长OA交直线x＝3于点F，如图所示．由点O（0，0）、A（2，2）利用待定系数法可得出直线OA的解析式为y＝x，联立直线OA和CP成方程组，，解得：，∴点F（3，3），∴OC＝CF＝3，∴∠OFC＝45°．∵PE⊥OA，∴△PEF为等腰直角三角形，∴PE＝PF．∵点O（0，0），点A（2，2），∴OA＝＝2．∵S△AOP＝OA•PE＝×2×|3﹣m|＝2S△ABC＝8，∴|3﹣m|＝8，解得：m＝﹣5或m＝11．故存在m值，使△AOP的面积等于△ABC面积的2倍，此时m的值为﹣5或11．22．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）．（1）如图1，求△ABC的面积．（2）若点P的坐标为（m，0），①请直接写出线段AP的长为|m﹣2|（用含m的式子表示）；②当S△PAB＝2S△ABC时，求m的值．（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为（0，）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）∴M（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4），OB＝4．∴AM＝5，CM＝2，BE＝3，CE＝2，ME＝4，BF＝2，AF＝4．∴S△ABC＝S矩形AMEF﹣S△ACM﹣S△BCE﹣S△ABF＝AM•DE﹣AM•CM﹣CE•BE﹣BE•AF＝＝8．答：△ABC的面积是8．（2）①根据题意得：AP＝|m﹣2|；故答案为：|m﹣2|；②∵S△PAB＝2S△ABC∴∴AP＝|m﹣2|＝8，∴m﹣2＝8或m﹣2＝﹣8，∴m＝10或m＝﹣6；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，根据题意得：，解得：k＝﹣，b＝；∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，当x＝0时，y＝，∴D（0，），故答案为：（0，）．方法二：如图2，由（1）可知，S△ABC＝8，∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2），∴OA＝2，OB＝4，∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝BD×3+BD×2＝8，∴BD＝，∴OD＝OB﹣BD＝4﹣＝，∴D（0，），故答案为：（0，）．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．（1）求点A、B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，∴A（﹣3，0），B（0，4），（2）∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∵△ABC的面积为12，，∴BC＝8，∵B（0，4），∴OB＝4，∴OC＝4，∴C（0，﹣4）；（3）存在，∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），∴BC上的高OP为，∴点P的坐标（，0）或（﹣，0）【题型3平面直角坐标系中规律题探究】24．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，则第2021次运动到点（）A．（2021，1） B．（2021，2） C．（2020，1） D．（2021，0）【答案】A【解答】解：由图可知，每运动四次出现的形状都是一样的，∵2021÷4＝505……1，∴第2021次运动到点（2021，1），故选：A．25．有一组数，按照下列规律排列：1，2，3，6，5，4，7，8，9，10，15，14，13，12，11，16，17，18，19，20，21，……数字5在第三行左数第二个，我们用（3，2）点示5的位置，那点这组成数里的数字100的位置可以表示为（）A．（14，9） B．（14，10） C．（14，11） D．（14，12）【答案】A【解答】解：观察数的排列，可得出：第2n﹣1行有2n﹣1个数且从左到右依次减小，第2n行有2n个数且从左到右依次增大（n为正整数）．∵1+2+3+…+13＝＝91，1+2+3+…+14＝＝105，∴数字100为第14行的数．又∵第14行的数字从左到右依次增大，∴数字100的位置可以表示为（14，9）．故选：A．26．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【答案】B【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，2012÷10＝201…2，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．故选：B．27．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第一次向上跳动1个单位至P1（1，1），紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣24，49） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（26，51）【答案】C【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．28．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点．按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是（）A．10m B．12m C．15m D．20m【答案】C【解答】解：根据题意可知点的移动距离是每次比前一次增加3，从开始各点的坐标为：A1（3，0），A2（3，6），A3（﹣6，6），A4（﹣6，﹣6），A5（9，﹣6），A6（9，12）；则：|A6O|＝＝15（m）．故选：C．29．如图，将正整数按有图所示规律排列下去，若用有序数对（n，m）表示n排从左到右第m个数．如（4，3）表示9，则（10，3）表示48．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（4，3）表示第4排从左数第3个数，即为9，∴依题意得（10，3）表示第10排从左数第3个数，第9排最后一个数为45，则第10排从左数第3个数即为48．故答案填：48．30．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n＝，当n＝13时，＝91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2＝6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．31．如图所示点A0（0，0），A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0），…根据这个规律，探究可得点A2017坐标是（2017，2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察图形可知，点的横坐标依次是0、1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是0、2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2017÷4＝504…1，故点A2017坐标是（2017，2）．故答案为：（2017，2）．32．如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，相对于点O，机器人走到A6时是（9，12）位置．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可知当机器人走到A6点时，A5A6＝18米，点A6的坐标是（6+3＝9，18﹣6＝12），即（9，12）．33．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（51，50）．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．故答案为：（51，50）【题型4等腰三角形个数讨论问题】34．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（6，6），点B在坐标轴上，且△OAB是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，6） B．（6，0） C．（12，0） D．（0，﹣6）【答案】D【解答】解：如图1，△OAB是等腰直角三角形，∵A（6，6），∴OB＝6，∴B（6，0）；如图2，△OAB是等腰直角三角形，∵A（6，6），∴OB＝12，∴B（12，0）；如图3，△OAB是等腰直角三角形，∵A（6，6），∴OB＝6，∴B（0，6）．故B点的坐标不可能是（0，﹣6），故选：D．35．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），连接AB，点P在第二象限，以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形有3个，任意写出其中一个点P坐标为（﹣7，4）（答案不唯一）．【答案】3；（﹣7，4）或（﹣3，7）或（﹣3.5，3.5）（三个点任选一个即可）．【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，又∵点P在第二象限，以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形，∴有以下三种情况：①当以点A为直角顶点，AB为腰时，即：∠BAP＝90°，AB＝AP＝5，过点P作PC⊥x轴于C，则∠PCA＝90°，∵∠BAP＝90°，∴∠BAO+∠CAP＝90°，又∵∠AOB＝∠PCA＝90°，∴∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠OBA＝∠CAP，在△AOB和△PCA中，∠OBA＝∠CAP，∠AOB＝∠PCA＝90°，AB＝AP＝5，∴△AOB≌△PCA（AAS），∴OB＝CA＝3，PC＝OA＝4，∴OC＝OA+CA＝7，此时点P的坐标为（﹣7，4）；②当以点B为直角顶点，AB为腰时，即：∠ABP＝90°，AB＝PB＝5，过点P作PD⊥y轴于点D，同理可证：△AOB≌△BDP（AAS），∴OB＝PD＝3，BD＝OA＝4，∴OD＝OB+BD＝7，此时点P的坐标为（﹣3，7）；③当点P为直角顶点，AB为底边时，即：∠APB＝90°，