专题1.6 勾股定理章末八大题型总结（培优篇）（北师大版）（原卷版）

专题1.6勾股定理章末八大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1勾股数的运用】 1【题型2勾股树的探究】 2【题型3由勾股定理在坐标系中求距离】 3【题型4由勾股定理探究图形面积】 5【题型5由勾股定理求线段长度】 6【题型6由勾股定理证明线段之间的关系】 8【题型7勾股定理中的规律探究】 9【题型8由勾股定理求最值】 11【题型1勾股数的运用】【例1】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（

）A．m2-1 B．2m+2 C．m2【变式1-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组a，A．a=30，b=40，c=50 B．C．a=3，b=4，c＝5 D．【变式1-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=523，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．(1)当a=11时，求b，c的值(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【变式1-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即c=a2+b2，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中kA．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤【题型2勾股树的探究】【例2】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（

）A．31 B．63 C．65 D．67【变式2-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1=（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn【变式2-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是．【题型3由勾股定理在坐标系中求距离】【例3】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是（

）

A．3 B．2 C．22 D．【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点A3,0和BA．3 B．4 C．5 D．7【变式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而|4-1|=3；表示－3和2两点之间的距离是5：而|-3-2|=5；表示-4和-7两点之间的距离是3，而|-4-(-7)|=3，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m-n|．（1）数轴上表示数-5的点与表示-2的点之间的距离为___；【探索新知】如图1，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面我们以求从坐标系中发现：D(-7,5)，E(4,-3)，所以DF=5--3=8，EF=（2）在图2中：设Ax1,y1,Bx2得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”；【学以致用】请用此公式解决如下问题：（3）如图3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．【变式3-3】（2023春·湖南·八年级期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点Ax1,0、Bx2,0的距离记作AB=x1-x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点Ax1,y1、(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,-3)，B(-2,1)之间的距离为______．利用上面公式解决下列问题：(3)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P的坐标；(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式x2【题型4由勾股定理探究图形面积】【例4】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．记△ACE的面积是S1，△BCD的面积是S2，则S

A．16 B．32 C．48 D．64【变式4-1】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如果一个三角形，三条边的长度之比为3:4:5，且周长为48cm，那么这个三角形的面积是（

A．48cm2 B．96cm2 C．【变式4-2】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．

(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为a+b2，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：，结论③(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式；结合结论②和结论③，可以得到一个等式；(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13，求图中阴影部分面积和．【变式4-3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）在△ABC中，AB=10，BC=27，∠A=30°，则△ABC【题型5由勾股定理求线段长度】【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，△ABC的周长为4+25，其中AB=4，BC=

(1)AC=______；(2)判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由．(3)过点A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一点D，使得DB=DE，求AD【变式5-1】（2023春·山西太原·八年级校联考期中）如图，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，则DC的长度为（）

A．3 B．8 C．4 D．9【变式5-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，线段AB，AC的垂直平分线交于点O，则

【变式5-3】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=29，D是AC上一点，连接BD

(1)求证：ΔBDC(2)求AB边的长度．【题型6由勾股定理证明线段之间的关系】【例6】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知△ABC是等边三角形．

(1)如图1，△BDE也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：AD=CE(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请证明结论DA(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=52【变式6-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A4,0，点B在y轴上，且B

(1)求线段AB的长；(2)若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值；(3)在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：A【变式6-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．容易证明△ACD≌△BCE，则：①∠AEB的度数为______；②直接写出AE、BE、CM之间的数量关系．(3)如图3，△ABC中，若∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE【变式6-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c满足a=a-b

(1)若c=3，求AB=__________________；(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求证：PA(3)如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且∠EMF=90°，设AE=m，BF=n，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．【题型7勾股定理中的规律探究】【例7】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1=1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A【变式7-1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、babc345861015817241026………x14yA．67 B．34 C．98 D．73【变式7-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1=A1A2=A2A3=⋯=【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A．2022,0 B．2022,-3 C．2023,3 D【题型8由勾股定理求最值】【例8】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知∠MON=60∘，点P,Q为∠MON内的两个动点，且∠POQ=30∘，OP=3，OQ=4，点A,B分别是OM,ON上的动点，则

A．5 B．7 C．8 D．10【变式8-1】（2023春