2022年9月中学生标准学术能力诊断性测试数学（文）试卷附答案解析

2022年9月中学生标准学术能力诊断性测试数学(文)试卷

本试卷共ISO分，考试时间120分仲.

一、选择几本息共12小乩那小遇S分，共弧分,在那小题给出的四个她项中，只朴一项是符

合明目要求的，

I.己知人卜1,0,135卜S«|x|2x-3<0).如油口=

A.10,1}B.(-1.1.3)C.{-1,0.1}D.{3.5)

2.叫°』处职匕收处flq+%=3,a：=6，则％+&=

A.12B.24C.32D,48

1

120n33b■=log--则

[2)}3

A.a<c<h0.c<a<bC.b<c<uD.a<h<c

y2■】

若实数X、/满足约颗件,x-yi\•W；=x-2F的晶小值为

x+yS5

A,-1B,1C-2D.2

5.iV3r则“的&/(X)的图象经过点(-IJ)”是“论数/(1)在

(-8,0)上手丁的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充要条件D,既不充分也不必要条件

6.在A/8C中,$in:/<=sin:5+sinJC+smSsinC•则C0l4・

11

A.B.■一

2

7.政八公式cJmS+i50把自幽数的底数C、蚓单位i、三角部联系在电，充分体现

了教学的和谐关.若复数Z洞足（e-+i），z=l，则2的虚部为

A.LB.—C.ID.-J

22

8.如图所示，已知48、C、D、£、/」分别处正方体所在校的申戊，时

下列f（线巾与直线£F相交的是

A.直线0.JI线8cC

C,直线C。D.fiiHDA

<第8区叫

9.已知PJ）、P（8）分别表示的机*件/、8发生的概也那么

I-P（加）是下列哪个事件的概率

A,3件4、8同时发生B.小件/、8至少才一个发生

C.事件/、B都不发生D,男件A，B至多有一个发生

10.已知函数）是定义域为R的奇函数，R当xvO时,/（x）=x*：+l.若函数F=/（“

在［L+8）上的最小伤为3,艮1实数。的值为

A.IB.2C.3D,4

II.设双曲线C：E-E=l（a>0力>0）的左、右佻点分别为。E，过“且斜牢为正的f［线与

a*fr''2

双曲线C的右支交于点/.若|"：卜忸用.则双曲线C的离心睾为

A,8B.2C.6D.3

12.已知函数/（x）=sin（ex+。）®>0,0<”巾若对于任意xwR.布有/（小/0）,则

函数y=/（x）在区间（0，半）上的零点个数可以为

A.4B.5C.6D.7

二、填空建：本题共4小题，等小题5分，共20分.

13.cos—sin-=.

1212

，-・一，，・r--1■.

14在△48。中・48=dC=3,RD=2DC・若4。・8。=（则X8・，C=-----*

2

15.（九用。术）中将底面是口角三角形的H三楼柱珠为"蟹蜡".已知某K

堵”的三视图如图所示.如该-««"的体枳为

16.己切点尸、0均在第一象限.口点尸雷曲线x），=3xJl上，点。在曲线

孙二3/+I，则|PQ|的最小他为.

(»i$as>

三、解答题「本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步W.第1771届为

必考JH,每个试J8考生都必须作答.第22、23息为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题1共时分.

J7.（12分）为了了解分有为了了篇A勺有某种生话习惯B16否相关,某收学力，分加任了了地区前

机调在了50。位居民,结果如r

1方生活习惯B无生活习惯B

有疾硒A的历4030

无疾病A病历160270

（I）估计该地区居民中，有疾病A病历人的比例:

（2）试*断值否有99%的把捉认为患有疾病A与斤生活习慢B相关?

n(ad-6c)’

W；K；

(a*A)(c+J)(a+c)(6+rf)

尸（K*）0.0500.0100.001

k3.MI6.63510£28

18.（12分）己知数列卜,）满足；4=1,且对任急"€*，都有。,.：=。.+2.

⑴若«）,明成等比数列，求与的色：

<2）设瓦^---------（"£*）,求数列卜,｝的lit”项和S..

W“・i

19.“2分）如图所示，四板椎P-46CD的底而/8C0是平行四边形,

£、F分别是校BC、PO的中点.

M、3；iF,EFII平而，/人

(2)若户/140・EF1AD,4P04B=4D■//>/&■60。，

3

中TT柞*号*舒力3J

求二而用。的正切依.

20.(12分)己J®48分别为确即「:E+/=l(a>l)的匕下顶点.F站桶质「的公用点，C

瓜糖灰「匕片广/、8的点，点。花坐标平面内，

(1)若/，&?=；,求精肉「的标次方用：

(2)Ka-2.11CT<1AD.CB1Hl).求四边形C408面枳S的最大值.

21.(12分)Lltorttt/(x)=a--•jr*lnx.

x

(I)&a=l.求曲线》一/(“在(L/C))姓的切戊方程；

(2)於存在实数人(&>。),使得月任应4£k.7).包件在］：£卜,+，).满足/(看)</(&).

求实数。的取值葩阳.

《二)选考息，共10分.请考生在第22.23«8中任逸一黑作答.如果多做,则按所做的第一国计

分.作答时谓其清题号.

22.(10分)［选修44坐标系与介融方理|

任也标系xS中,H线/的参数方也为「“'(/为答数【以生标随点为极直,x构正

y«2-1

华轴为极轴在立极举标系，曲线「的极坐标方用为p'-2℃。$"-1-0.

(1)将曲鼓r极坐标方理化为H角生标方程；

(2)设“(1.0),点。为曲线「上的动点,点F4足。P=J.M0(a>O),点P的轨迹为曲

及c.若ruv与曲线c相切.求实eu的值，

23.(105>)104-5：不等式选说］

已知函效/(x)=|2x+l+a|+|x-a：|.

(I)当时.求不等式f(x)22的M集：

(2)若对于任jftxeR.都有/(x)22,求实敢。的取(ft更用.—.

4

求二面由。-尸8-4的正切值.

20.(12分)已加48分别为精即「二♦的匕下顶点.F是的质「的在用点・C

U*

处怖叫r上异于/、8的点，点。在坐标平面内.

(I)求梅团「的标正力用：

J

(2)4a-2.11C41AD.CB1HI).求四边形。<〃8面机S的最大tfL

f

21.(12分)(2如曲代，(x)=。•x♦Inx.

x

(1)r,a=l.求曲我在(1J(l))处的切我方松：

(2)%。在实数人(«>0)，使得的任必入£值.+/),急〃在与€卜，+/)•消足/(A)v/(x：)・

求武敢。的取位苞阳.

(二)选考题,共10分.请考生在第22、2318中任选•题作答,如果多做,则按所做的第一题计

分.作答时请其清息号.

22.(10分)［选修44坐标系与承>方程］

在在向生标系xS中.r｛饯/的卷&方也为1+/(，为馨数).以坐标傲点为帙点,x拘正

>,=2T

华轴为极轴也上极坐标系，曲段「的一坐标方程为0：-20cos0・l=0.

(1)将曲战「极坐除方区化为H角型林方程；

<2)谀A/(l,0).六。为曲鼓「上的动直.点「海是。/>=儿”0(义>0),点。的轨途为曲

及C,若f［及/与曲线CHWJ,求实的伤.

23.(10分)［选修45不等式通说］

11知函数/(入)=卜"1+。卜卜-。：|.

(I)当°=0时.求不等式/(x)22的学集；

(2)若对于任意xeR,求实数。的取(ft低I礼

5

中学生标准学术能力诊断性测试2022年9月测试

文科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

123456789101112

DDBAABBADDDC

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.314,-315.216.4

2

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（12分）

（I）解：根据表中数据可知，调我的500位居民中有70位有疾病A病历，

70

因此该地区居民中，有疾病A病历的比例值为一=14%；

500

所以估计该地区居民中，彳J.疾病A病例人的比例为14%.....................4分

2500x（40x270-30xl60）\..............................

X=----------------------------------------=y.9o/.67T

200x300x70x430

由于9.967>6.635,

所以有99%的把握认为患有疾病A与有生活习惯B相关.....................12分

18.（12分）

2

（1）解：因为《,4,对成等比数列，所以&=................................2分

因为q=l,a—=4+2

al八

所以%=q+2=3,a4=—=9,a,=a4-2=7.......................4分

4

(2)因为q=1,。〃.2=。"+2.

所以=q+2(〃_l)=2〃_l,。2»1=2〃+1，........................7分

第I页共5页

6

-A211

例以“―(2/;-l)(2n+l)=2n-l-2M+1'

所以S“=4+b2+…+6”

19.(12分)

(1)证明：取月4中点G,

因为£、尸分别为8C、PD中点,18C。是平行四边形,

而以GFHBE,11GF=BE

所以8E/P是平行四边形

所以£F〃8G,................................................................................................2分

因为EF二平面上48，8GU平面Q45

所以EF〃平面以8........................................................................................4分

(2)因为£F〃8G,AD1EF.

所以/0_L8G,

因为4D_LP4,所以4>_L平面P48...............................................................6分

取PB中点H，因为P4=4B，

所以4H上PB.

因为力。1平面尸所以AD1PB

进而尸81平面4D"，所以DHA.PB，..........................................................8分

所以/£)/"是二面角。一如一力的平面色...............................10分

设尸4=切=£>/=2。，因为/友8=6伊

所以4//=J5。•

所以tanZ.DHA=乌i=12分

AH3

第2页共5页

7

20.（12分）

（1）解：由已知△力所是等边一:角形，

因为力8=2，AF=a...............................................2分

所以。=2,

得椭圆的标准方程为工+/=1.......................................4分

4

（2）设C（X］，M）,。伍,必），

因为％_L4D,CBLBD,

所以中2+®-1）（为7）=0,—+（乂+1）（必+1）=0.................6分

两式相减得外=一乂，......................................................8分

带回原式得中2+1-炉=0,

因为二+歹：=1,所以》2=_\,--------10分

Sqrm~S«AB+^\DAH

=归|+同=（1+；）14g（当±=±2时取等）

所以四边形。。8面积S的最大值为....................................12分

2

21.(12分)

(1)解：/(x)=--X+Inx,/r(x)=--Y—e--l-h-*....................2分

XX*X

/⑴=e-l,r(I)=0,

所以曲线y=/(x)在处的切线方程为y=c-l....................4分

若则当xw(0,l]时，/(x)>0,当xe[l,w)时，/(.x)<0

第3页共5页

8

所以/(x)在(0』上递增，在［1,内)上递减，

当0<A<l时,令*=1,因为当x#l时，/(x)</(l),

所以不存在X2,使得/(*)</(三)

当〃21时，/(X)在［匕+8)I.递减，令网=h则不存在X”使得/(玉)</(々)

所以，“40不满足题意...................................................8分

下面证明a>0都满足题意.

设g(x)=a.=-l,则g，(x)/e〈T),

X厂

因为当x>l时，g'(x)>0,所以g(x)在［1,十动卜.是唐函数.

若则当xe(l,yx))时,g(.v)>g(l)=«e-l>0,

e

所以当XG(I,+X>)时，/'(1)=a---10

进而函数/(x)在［1,+a>)上递增，取左=1,满足题意.......................10分

若0<〃<一，则g(l)=ac-l<0,而当xf田时，g(x)->+x>,

e

所以存在x°c(l,+8),使得g(x0)=o,

当xe(x(),+oo)时，/(x)=a-Y-1j>0

进而函数/(x)在卜。,”)上递增，取k=x°,满足题意.

综上，实数。的取值范围为(0,内).........................................12分

22.(10分)

(I)解：因为夕2=/+/，pcos0