2022届中考数学压轴题押题及答案

2022年中考数学压轴题

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=%2+以+c交工轴正半轴于点A、点8,交y轴于

(2)点。在x轴下方的抛物线上，连接。8、OC,点。的横坐标为f,△BC。的面积为

5,求S与f的函数关系式，并直接写出自变量，的取值范围；

(3)在(2)的条件下，点E在x轴上方的抛物线上，过点E作轴，垂足为点尸，

连接QE,将射线沿直线EF折叠，得到对应射线EG,直线。F交射线EG于点4,

当S=12,EF=时,求点E的坐标.

解：(1)在y=-x+6中，令x=0,得y=6,：.C(0,6),

令y=0,得x=6,：.B(6,0)

将B(6,0),C(0,6)代入y=#+fov+c中，得.2'6?+6b+c=0,解得

抛物线的解析式为：—4x+6；

(2)如图1,过点。作ZU_L2C于L作。K〃y轴交3c于K,则NDLK=N8OC=90°,

：OK〃)，轴

:.NDKL=NBCO

:./DKLs/BCO

.DLOB

•・DK~BC

:.DL・BC=DK，OB

1

VD(6-t27-4什6),K(6-r+6)

2

1i

：.DK=-t+6-(-r9-4r+6)=一打2+31

22

ii11q

:.S=*L*BC=*K・OB=/(一＞2+3力X6=-|t2+9t,

第1页共18页

i1

在y=2%2-4%+6中，令y=0,得59/—4%+6=0,解得：xi=2,应=6,

丁点。在x轴下方的抛物线上，・・・2V/V6,

；.S=-^t2+9t(2<Z<6)；

(3)当S=12时，一］/+9亡=12,解得：力=2,Z2=4,V2<r<6,・1=4,：.D(4,

-2)

如图2,点E在x轴上方对称轴左侧时，过。作QG〃工轴交射线EG于G,交EF于R,

/12、

设ECm,-m—4〃?+6),m<2,

2

则尸(相，0),G(2"-4,-2)

・,.直线DE解析式为y=*(m-4)/+6-2m,直线GE解析式为y=(4-加x+川-6m+6

直线OH解析式为)，=备一恐

12

V-(4-勿7)x------7=—1

2m—4

：.GE.LDH

:./EHG=/ERD=9C

•:/REG=NRED

:•△EFHsXEDR

DRFH「

：.—=—,•：EF=遍FH,：.EH=2FH

EREH

12

即

:.ER=2DR,2一-4加+6+2=2(4-m\解得：机1=0,加2=4(舍去)

AE1(0,6)；

如图3,点E在x轴上方对称轴右侧时，过。作OG〃/轴交射线EG于G,交EF于R,

1

设E(tn,-m2—4/w+6),m>6.

2

与上述方法相同可得：ER=2DR,gp-zn2-4/„+6+2=2(m-4),解得：？m=4(舍去),

团2=8,

：.E2(8,6)；

综上所述，点E的坐标为：E\(0,6),Ei(8,6).

第2页共18页

2.已知，在平面直角坐标系中，抛物线产一#+2r-1与直线y=-X-1相交于A,B两

点，点C为顶点，连接4C.

(1)如图1,连接BC,点P为线段上一动点，过点P作轴于点E,PF1BC

于点F,过点P作PQ〃x轴交抛物线于点。(点。在点P左侧)，当PE-PF取得最大值

时，在y轴上取一点R,连接QR,求PQ+2QR+&R0的最小值；

(2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移，记平移后的抛物线为<,顶点为K,当

AC=CK时，点N为平移后的抛物线<上一点，其横坐标为8.点M为线段A3上一点，

连接CM,且将△ACM绕点B顺时针旋转a度(0<a<180),旋转后的三角

形为AA'C'M',记直线A'C与直线A8相交于点S,直线C'M'与直线AB相交

于点T,连接NS,NT.是否存在点S和点T,使△(?'S7为等腰三角形，若存在，请直

接写出△NST的面积：若不存在，请说明理由.

第3页共18页

解：（1）由抛物线y=-1?+法-1=一^（x-2）2+1得：c（2,1）,

解方程组忙上丁一,得:通仁…—

过C作C51y轴于S,过B作BKLy轴于K,则/ASC=ZAKB=90°

；CS=2,A5=l-(-1)=2,BK=6,AK=-1-(-7)=6

：.AS=CS,AK=BK

...AAC5和△A8K均为等腰直角三角形，

：.ZCAS^ZBAK=45°,AC=2&,AB=6&

ZBAC=90°,BC=y/AC2+AB2=4>/5

设P(nz,-m-1),0W/nW6,则PE--(-in-1)=m+\,PB=V2(6-m),

'：PF±BC

：.ZBFP^ZBAC=90°

△BPFs^BCA

.PFAC2V2

PF=(6-m')

''BP~BC~475,

：.PE'PF=(zn+1)x争(6-zn)=一雪2+^^,

•.•一修VO,.•.当m=|时，取得最大值，此时，P一。•.7。〃工轴

3，2/

在x正半轴上截取OG=OR,连接RG,过。作OTLRG于T,则RT=^RO,V

第4页共18页

PQ+2QR+V2RO=PQ+2（QR+孝RO）

求PQ+2QR+V2RO的最小值，即求QR+辱RO的最小值，当Q,R,T三点共线时,

QR+苧RO的值最小；

：NORG=45°

；.NPQR=NQRK=45°

：.QR=V2,RO=I，

.•.P。+2。穴+&/?。的最小值=|一(-1)+2(V24-^x1)=7+/；

(2)：AC=CK,：.K(4,3)

平移后的抛物线为y'=(x-4)2+3,

：.N(8,-5)

过点N作NZLAB于Z,作NN'〃x轴交AB于N',则NMV'Z=45°,N'(4,-5)

:.NN'=8-4=4,NZ=x4=2V2

:点M为线段AS上一点，且CM=BM,设1)

•*.(/-2)，(-/-1-1)2=(/-6)2+(-t-1+7)2,解得：/=9

：.M-号)

：.CM=BM=^^,AM=A3-8M=挈

/.AC：AM：CN=3：4：5,

△Csr为等腰三角形，可以分三种情形：

①C'T=S7,如图2,作7Z_LSC'于L,则/75C'=NC'=NACM,SL=LC'=

：.sinZTSC'=sin/ACM=*'：BA'=BA=6迎，

.*BA'_6V2_15V2.„,3入

*sin^TSC~~~2'2，

AfB42Q/5

——=tanZTSC=tan/ACM=；,.\A,S=^A'B=学A,SC'=A'S+A1C：

4，S342

13V213V2

~2~,"一_T"，

.*.ST=|SL=喀^

第5页共18页

・

••SC^\NST—15CrT.NK1Z7—=1xz-6252~/x2QV2_—65,

②C'S=CT,如图3,作C'H，AB于H,作TL_LSC'于L,作NZ_LAB于Z,

由①知AC：AM：CN=3：4：5,即：A'CtA'M'：CM'=3：4：5,

\'TL//A'M',：.CL：LT：C7=3：4：5,设C'L=3k,LT=4k,CT=5k

：.CS=CT=5k,LS=2k,ST=y/LS2+LT2=2y[5k,4'S=5k-2近，

\'LT//A'B

；.A'S：A'B=SL：LT=1：2,即：2A'S=A'B,215k-2。=6近，解得：k=V2

；.ST=2遥x&=2VIU

：.S^NST=/ST，NZ=1X2710x2V2=4有；

③C'S=ST,如图4,作SB_LC'7于8'，作7L_LSC'于L作NZ_L4B于Z,

贝ljC'B'=B'T,ZSTC'=NC'=ZACM

SB，LT4

・・・一=—=sinNACM=：,设SB'="SC1=5r,则C'B=B'T=3t,ST=5t

SC，CfT5

:,CL=|czT=^nSL=SCr-CfL=LT=

a：LT//BAf

SAi_SL7

=—,24SA'=7A,B

AfB~LT24

・・・24(5/-2V2)=7X6>/2,解得：仁孝

s15>/2

ST=F~

.U1UTA”115\^2cK15

••S^NST=2»ST・NZ=2x-—x2y2=-2-

综上所述，*sr为等腰三角形时，Z^ST的面积为：下或4西或子

第6页共18页

第7页共18页

图1

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=一¥/-挈x+2鱼与X轴交于点4,点8（点

A在点8的左侧），与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

（1）点。是线段AC上方抛物线上一动点，连接AC、DC,DA,过点B作AC的平行线，

交DA延长线于点F,连接CF,当△OCT的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点Q,

使得DQ+^QE的值最小，求出此时Q点的坐标.

（2）将△08C绕点0逆时针旋转至△OB1C1,点8、C的对应点分别是Bi,C\,且点

B1落在线段BC上，再将aOBi。沿y轴平移得△OiB2c2,其中直线O1C2与x轴交于点

K,点7为抛物线对称轴上的动点，连接KT、TOi,△01K7能否成为以OK为直角边的

等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的7点的坐标；若不能，请说明理由.

解：（1）在抛物线y=一芋》2—中，令x=0,得：y=2V2,令y=0,得:

XI=-4,X2=l

第8页共18页

；.A(-4,0),B(1,0),C(0,2V2),

..a23盘-内42.3,2572

•产一2久-廿+2/=-丁(%+才2+飞-，

3

•*•E(—2，0)»

AOA=4,OC=2A/2,AC=2y[6,AB=5,

设直线AC的解析式为：y=kx+b,将A(-4,0),C(0,2鱼)代入得：｛[?蒜=°，解

得：fe=T

b=2V2

直线AC的解析式为：产孝x+2混,

,JBF//AC,过8作BG_LAC于G,贝"A8・0C=AC・8G

.R,—也

••£3(.J-,3

•'SfCF=[A。，BG-2x2-\/6X=5V2

过点D作DL.Lx轴于L交AC于”，设£>(小，—4——誓1M+2&)，则HCm,—m4-

，22

2V2)

万

:.DH=—2"m2—2V2/71

:・SdACD=*0A*DH=*X4(-与m2-2V2/n)=-y/2m2—4V2m,

2

:•SacF=SMCD+S〉ACF=-V2(m+2)+9vL

・,・当加=-2时，SzxOb的最大值=9或；此时，D(-2,3V2),

设。（-5，f）,则硕―，过点E作NQER=30°,过Q作QRLER

1

在RtZXEQR中，QR=Q£?sin/0ER=QEsin3O°=^QE

・•・要使得OQ+^QE的值最小，必须。、Q、R三点共线，过。作。7J_E。于丁,

1

:・NDQT=/EQR=60°,DT=与

•rn-DT_J_V3

,•”—tanZ.DQT-tan60°—6

318V2-V3

・・Qk—5，)；

乙6

(2)如图2,作OM_LBC于M,

第9页共18页

由勾股定理得：BC=7OB2+0C2=3

■:△OBMs^CBO

OM0C0M_2720M=挈,

OB-BC1-3

易证：△OBMg/XOBiM

74V21614V2

...081=1,可得以—）由旋转性质和相似三角形性质可求得。（一母一1）,

易得直线BiCi解析式为：y=-

将△OBiCi沿y轴平移得△O1B2C2,，0iC2〃0Ci,

①当△O81Ci沿y轴向上平移得△OB2c2,且017L01K时，过01作01NL对称轴于N,

2

则0\N=去'：ZTO\K=ZOO\N=ZO\NT=ZO\OK=90°

:"TO\N=/OO\K

*：O\T=O\K

:•△01NT"△0\0KCAAS)

3

：.0\0=0\N=^

'：/XOOiK^/\EC\O

16L

OKOEV4V2

.OiO-JE11^2~7

9

・•・OK=NT=

”(_3£1^)

214

②当△O81。沿y轴向上平移得△O182C2,且7X_L0iK,7K=OiK时，如图3,

,?ZTKE+Z0K0\=ZOO\K+Z0K0\=90°,

：.ZTKE=ZOO\K

■:NTEK=/OiOK=9a°,TK=O\K

：./^O\OK^/\KETCAAS)

；.ET=OK,EK=OTO,

%：O\CI//OC\

16

•••^=&=W,即：02半0。：.0\0=噜OK,EK=%T

9

第10页共18页

：.ET+^=^ET,解得：£7=42#/8

.T,342&+48、

••T2（一彳----万一）

③当△081C1沿y轴向下平移得△01&C2,且T0i_L0iK,T0i=0iK时，如图4,作力0

J_y轴于M,

；NOiOK=NOM=/TOiK=90°,

：.ZTO\M+ZOO\K=ZOO\K+ZOKO\=90Q,：.ZTOiM=ZOKO\,

：./XTO\M^/\KO\O(A4S)

3

：.O\O=TM=^O\M=OK

OK4y[26/2

由①知：---=----,・，・OiM=OK=-,

0。177

.521+1272

■・ET=1T-4；

.T，321+12夜、

.〃3(-2，14)

④当△0BC1沿y轴向下平移得△O182C2,且7K_L0iK,7K=OiK时，如图5,

易证：△TKE四△KOiO(AA5)

3

：.ET=OK,EK=OiO,OE=OK+EK=

..OKOK4V242V2-48

・—=---=----,角隼得：ET=OK=————

EK001717

.348-42^2

74(-与，)

217

Q21-12x/2Q

综上所述,符合条件的T点的坐标为：7“子，卞一）、72（子42々+48）、「3（-弱3

-17-

第11页共18页

第12页共18页

4.如图，在RtZ\A8C中，N4CB=90°,。为AB边上的一点，以A。为直径的。0交8C

于点E,交AC于点F,过点C作CGJ_A8交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交AB于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结BP,8P恰好为。。的切线.

(1)求证：8C是。。的切线.

(2)求证：EP=ED.

3

(3)若sin/ABC-g,AC=15,求四边形CHQE的面积.

(1)证明：连接OE,0P,

'：A。为直径，点。为弦EP的中点,

PELA8,点Q为弦£尸的中点，

：.AB垂直平分EP,

：.PB=BE,

VOE=OP,OB=OB,

:.△BEOWABPO(555),

：.ZBEO=ZBPO,

为。。的切线,

第13页共18页

AZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

:.OEVBC,

・・・8C是OO的切线.

(2)证明：9：ZBEO=ZACB=90°,

J.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

•：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEOf

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：・・・A。为的O。直径，点。为弦EP的中点,

：.EP±ABf

VCG±AB,

:.CG〃EP,

VZACB^ZBEO=90°,

J.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEOf

9：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO9

VZACE=ZAQE=90°,AE=AEf

AAACE^AAQE(AAS),

:・CE=QE,

VZAEC^-ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90Q,

AZCEH=NAHG,

・・・ZAHG=ZCHE,

：・NCHE=/CEH,

:・CH=CE,

:・CH=EQ,

第14页共18页

・•・四边形CHQE是平行四边形，

・：CH=CE,

・・・四边形C/7QE是菱形，

AG3

VsinZABC_sinZACG==一，

AC5

VAC=15,

・・・AG=9,

・•・CG=y/AC2-AG2=12,

△A