2022届云南省会泽县茚旺高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.48+120B.60+12亚C.72+120D・84

2.若2nl贝！|()

1、1

A.—>-B.7fl'n>l

mn

严

C.InCm-jz)>0D10glm>log

22

3.已知x=0是函数/（x）=x（ox-tanx）的极大值点，则。的取值范围是

A.Y,T)B.(-℃,1]

C.[0,+oo)D.[l,+oo)

4.设复数二满足z-（l+i）=2，+l（i为虚数单位），则复数z的共轨复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知函数/(x)=x3+sinx+ln(F)若7(2。-D〉/(0),则a的取值范围为()

A.fp+°°]B.(0,1)CUD。(°,；)

6.给出50个数1,2,4,7,11,…，其规律是：第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数

大2,第4个数比第3个数大3,以此类推，要计算这50个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图

中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能（）

A.i<50；p=p+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；p=p+lD.i<50；p=p+l

7.已知集合4=k,一3%—10<()},集合3={x|—l«x<6},则AflB等于()

A.1x|-l<x<5}B.|x|-l<x<5}

C.1x|-2<x<61D.|x|-2<x<5|

8.已知向量3=(1,5是单位向量,若K一*豆，则(词=()

A.-兀Bc.-兀C八.,九-D4.—2几

6433

9.已知函数a=/(2°>,b=/(0.2°3),c=/(logft32),则a,〃，c的大小关系为()

A.h<a<cB.c<h<aC.h<c<aD.c<a<h

10.如图，在平面四边形ABC。中，满足A3=3C,CD=A。，且A3+相>=10,80=8,沿着把A5D折起,

使点A到达点尸的位置，且使尸C=2,则三棱锥P-58体积的最大值为（）

A

CC

A.12B.12®C.D.—

33

11.设｛4｝是等差数列，且公差不为零，其前〃项和为S,,.贝！J“V〃eN*,S〃+1>S“”是“｛4｝为递增数列”的（

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.若复数二满足2z—N=3+12i,其中i为虚数单位，2是z的共轨复数，则复数目=（）

A.375B.2A/5C.4D.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若（2—x）=a。+q（1+x）+%（1+尤）-+,,,+%（।+x），则/+4+生+■,■+"6+%=__，4=•

14.已知函数/（力=V—4%-4.若/（%）＜1在区间（m-l,-2/w）上恒成立.则实数，”的取值范围是.

15.设a、/?为互不重合的平面，，〃，〃是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m//n,则m//a\

②若mua,m//p,n//fl,贝！Ja〃夕；

③若a〃夕，mc.a,na.fi,则m〃〃；

④若aC\fl=m9〃ua,/n±w,贝！J〃JL夕；

其中正确命题的序号为.

16.已知复数z=（17＞（a+i）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥中，PAL^-^ABCD,ZABC=ZBAD=90°,AD=AP=4,AB=8C=2,M为

PC的中点.

（1）求异面直线AP,5M所成角的余弦值；

4

（2）点N在线段A。上，且AN=2,若直线MN与平面P5C所成角的正弦值为《，求2的值.

18.（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米〃卜时、120千米

/小时、600千米/小时，等手平的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中年小町的损耗为，”元（相＞0）,

运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为以（元）、

%（元）、%（元）•

（1）请分别写出X、%、力的表达式;

（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.

19.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，。是边长为4的正方形ABC。的中心，POL平面A3CD,E为3C的

中点.

(I)求证：平面PAC，平面PBD；

(ED若PE=3,求二面角。一。£一8的余弦值.

v--、/3COSzy

20.(12分)在直角坐标系中，曲线G的参数方程为.'(a为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为psin(6+；)=2&.

(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点尸在G上，点。在。2上，求|「。|的最小值以及此时P的直角坐标.

21.(12分)如图，已知E,产分别是正方形ABC。边8。，CO的中点，EF与AC交于点0,PA,NC都垂直

于平面ABCO,且B4=AB=4，NC=2,M是线段Q4上一动点.

BEC

(1)当MO_L平面EKV,求的值；

(2)当M是R4中点时，求四面体M-EFN的体积.

22.(10分)记5“为数列｛%｝的前"项和,已知S“=〃2,等比数列｛2｝满足々=q,4=%•

(1)求｛a,,｝的通项公式；

(2)求｛〃｝的前〃项和7；.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.

【详解】

该几何体的直观图如图所示：

tfe5=2x6+2x6+^2+4^X2x2+4x6+6x2^=64+1272.

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2.B

【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.

【详解】

若2"，>2">1=2°,：.m>n>Q,n>7^=\,故5正确；

而当〃2=1，时，检验可得，A、C、。都不正确，

24

故选：B.

【点睛】

此题考查根据指数塞的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数嘉或对数的大小关系，需要熟练掌握指数

函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.

3.B

【解析】

方法一：令g(x)=ox-tanx,则/(x)=x-g(x),g\x)=a——,

cosX

当aVl,xw(—时，g'(x)<(),g(x)单调递减，

7T

Axe(——,0)时，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/'(x)=xg'(x)+g(x)：>0,

2

TT

；.fXx)>0,即f(x)在(一,。)上单调递增,

7T

.•.广(x)<0,即/(x)在(0=)上单调递减，.•.1=()是函数〃x)的极大值点，aW1满足题意;

2

,JT1

当。>1时，存在，€(0,彳)使得cos/二丁，即葭(。=0,

|TT

又g<x)=a——「在(0)上单调递减，・・・x£(0j)时，g(幻,g(0)=。，所以/(x)=x・g(x)>0,

cosx2

这与X=0是函数fM的极大值点矛盾.

综上，«<1.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使工=0是函数/(x)的极大值点，须在X=0的左侧附近，/«<0,即ar-tanx>0；

在x=0的右侧附近，/(x)<0,即以一tanx<0.易知，〃=1时，V=公与y=tanx相切于原点，所以根据丁=公

与y=1311》的图象关系，可得故选B.

4.D

【解析】

先把2-(1+，)=2，+1变形为2==一，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出三，得到其坐标可得答案.

【详解】

2/+1(万+1)(1-i)3+31

解：由Z-(l+D=2i+1,得2=—+—

1+z(l+z)(l-z)222

-313_J_

所以2=彳-彳"其在复平面内对应的点为，-,在第四象限

2222

故选：D

【点睛】

此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

5.C

【解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式.

【详解】

14-V

由->0得

在时，y=V是增函数，y=sinx是增函数，yln(-l+)是增函数,

:./(x)=d+sinx+In是增函数,

.•.由,/■(2。-1)>/(())得0<2。一1<1,解得

2

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域

内求解.

6.A

【解析】

要计算这5()个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.

【详解】

因为计算这50个数的和，循环变量i的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为i=i+l,第1个数是1,第2

个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,这样可以确定语句②为〃=。+"故本题

选A.

【点睛】

本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.

7.B

【解析】

求出A中不等式的解集确定出集合A,之后求得

【详解】

由A=«|-3x-10<0}={x|(x+2)(x-5)<()}={x卜2<x<5},

所以Ac5={x|-l〈x<5},

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

8.C

【解析】

设B=(x,y),根据题意求出羽丁的值，代入向量夹角公式，即可得答案；

【详解】

设B=(x,y),a-b=-y),

h是单位向量，；.x2+y2=1,

,.,|a-^|=V3,/.(1-x)2+(V3-y)2=3,

x=1,

联立方程解得：

y=0,

r2

尤=1,一—ii一一1

当〈时，cos<a,b>=----=­；<a,b>=—

y=0,2x123

—,一7T

综上所述：<a,b>=」

3

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时

注意B的两种情况.

9.B

【解析】

可判断函数/(x)在R上单调递增，且2°3〉l>0.2°3〉0>logo32,所以C(力<a.

【详解】

03

v/(x)=3二=1一一—在R上单调递增，且2°3>1>O.2>()>log032,

e*+1ex+l

所以c<Z?<a.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解

能力.

10.C

【解析】

过P作于E,连接CE,易知C£_L8O,PE=CE,从而可证30,平面PCE,进而可知

।8

Vp-BCD=VB-PCE+VD—PCE~]S.PCE'BD=『PCE，当S.PC£最大时，力一8。取得最大值，取PC的中点尸，可得

EFLPC,再由S.PCE=；PCEF=JPE、-1,求出PE的最大值即可.

【详解】

PB=BC

在△BPD和△88中，\PD=CD,所以ABPD'BCD,则ZPBD=NCBD,

BD=BD

过尸作PELBD于E,连接CE,显然ABPE^ABCE,则CE_L3。，且PE=CE,

又因为PEACE=E，所以8O_L平面PCE,

।8

所以Vp-BCD=VB-PCK+VfCE=3S.PCEBD=]S.K，

当最大时，匕取得最大值，取PC的中点尸，则石尸，PC，

所以S.PCE=gpCEF=yjPE2-\，

因为总+PD=10,8D=8,所以点P在以8,。为焦点的椭圆上(不在左右顶点)，其中长轴长为10,焦距长为8,

所以PE的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE最大值为乒不=3，

所以Sg：最大值为2及，故Vje的最大值为gx2拒=粤।.

故选：C.

p

【点睛】

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

11.A

【解析】

根据等差数列的前”项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

•.•｛q｝是等差数列，且公差a不为零，其前〃项和为s“，

充分性：•••Sn+]>Sn,则a„+l>0对任意的“eN*恒成立，则生>0，

•.々/0,若d<0,则数列｛4｝为单调递减数列，则必存在我N*,使得当〃〉人时，an+l<0,则S“T<S〃，不合

乎题意；

若d>0,由%>0且数列｛“"｝为单调递增数列，则对任意的〃eN*，4+1>0,合乎题意.

所以，FGN*,S“+|>S,"="｛为｝为递增数列”；

必要性：设当〃W8时，。,用=〃-9<0,此时，Sn+l<S„,但数列｛a“｝是递增数列.

所以，S,+|>S,"牛“｛a.｝为递增数列”.

因此，“eN*,S,+|>S,”是“｛a,,｝为递增数列”的充分而不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前"项和公式是解决本题的关键，属于中等题.

12.D

【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.

【详解】

解：复数z=a+Z»i,a、bGR；

,.,22-1=3+121,

.*.2(a+bi)-(a-bi)=3+12z,

2a—a-3

即《，

2b+b=n

解得a=3,b=4,

.♦.z=3+4i,

工忆1=办?+4?=5-

故选。.

【点睛】

本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.12821

【解析】

令x=0,求得4+q+4+…+%>+%的值•利用[3—(l+x)J展开式的通项公式，求得％的值.

【详解】

令x=0,得%+4+…+%=27=128.[3—(1+x)了展开式的通项公式为C；37-1—(l+x)J,当r=6时，为

C>3i(l+x)6=21(l+x)6,即4=21.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.

14.网

【解析】

首先解不等式/(力<1,再由/")<1在区间(加一1,一2间上恒成立，即(加―1,—2加)口—1,5)得到不等组，解得即

可.

【详解】

解：：/(x)=£-4x-4且〃x)<l,即f一4万一4<1解得一l<x<5,即xe(-1,5)

因为〃x)<l在区间(加一1，一2m)上恒成立,，(加一1,一2/77)口一1,5)

-1<m-1

机一1<一2〃7解得即0,-

-2m<5''

故答案为：0,1j

【点睛】

本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.

15.④

【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】

对于①，当“〃"时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出机〃a,①错误；

对于②，当机ua,〃ua,且山〃“，"〃//时，由两平面平行的判定定理，不能得出。〃"②错误；

对于③，当a〃夕，且，〃ua,"U/?时，由两平面平行的性质定理，不能得出机〃"，③错误；

对于④，当a_L/,且々7=切，〃ua,时，由两平面垂直的性质定理，能够得出④正确

综上知，正确命题的序号是④.

故答案为：④.

【点睛】

本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

16.-1

【解析】

利用复数的乘法求解;再根据纯虚数的定义求解即可.

【详解】

解：复数2=(l-z)(a+f)=a+l+(l-a)i为纯虚数，

.-.a+1=0,1-a00,

解得a=T.

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)亚(2)

3

【解析】

(D先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量两和向量衣的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2,由4N=2,设N(0,：,，0)(0<z<4),则丽=(-1,2—1,-2),再求得平面尸5c的一个法向量，利用直线

4____1-2-21

与平面P8C所成角的正弦值为不，由|cos(MN，机〉|=

\MN\\m\~75+U-l)2-V5-5

【详解】

(1)因为B4JL平面ABC。，且48,ADc5pffiABCD,所以/MJLA8,PA1.AD.

又因为NR4£>=90。，所以AB,AO两两互相垂直.

分别以A5,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则由AO=2A8=28C=4,Rl=4可得

4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4).

又因为M为PC的中点，所以M(l,1,2).

所以的=(一1，1，2),A户=(。，。，4),

0x(-l)+0xl+4x276

4x76

所以异面直线AP,所成角的余弦值为迈

3

(2)因为AN=2,所以N(0,A,0)(0<z<4),

则丽=(一1，z-1,-2),BC=(0,2,0),PB=(2,0,-4).

设平面PBC的法向量为加=(x,y,z),

,m-BC=0[2j=0

则V—即

m-PB=0[2x—4z=0

令x=2,解得y=0,z=l,

所以而=(2,0,1)是平面P8C的一个法向量.

4

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为二,

__|MW石|_

所以|cos<MN>m|MN||m|,5+(-—I)?•\/55

解得2=1G[O,4],

所以2的值为L

【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,

属于中档题.

18.(1)y,=20S+—,y=105+—,y=5QS+—.

'60~21203600

(2)当加＜6000时，此时选择火车运输费最省；

当加＞6000时，此时选择飞机运输费用最省；

当机=6(XX)时，此时选择火车或飞机运输费用最省.

【解析】

(1)将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.

(2)作差比较了2、%的大小关系得出结论•

【详解】

>77V

<Oy=20S+而，

y=10S+—,y=50S+—.

2120.33600

(2)m>0,S>0,

故2°S＞©瞽＞鲁，

X＞%恒成立，故只需比较为与力的大小关系即可,

令〃S)-40S—着40----S,

150

故当40—陶＞0,即加＜6000时，

/(S)＞0,即.丫2＜%，此时选择火车运输费最省，

当40一面＜0,即加＞6败时，

/(S)＜0,即8〉为，此时选择飞机运输费用最省.

；77

当40—而=0,即加=6000时，

/(S)=。，=%,

此时选择火车或飞机运输费用最省.

【点睛】

本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

19.(I)详见解析；(II)―之叵.

29

【解析】

(I)由正方形的性质得出ACLB。，由P。，平面ABC。得出AC_LPO,进而可推导出AC,平面P3Z),再利

用面面垂直的判定定理可证得结论；

(II)取A8的中点M，连接OE,以OM、OE、。产所在直线分别为*、)、z轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值.

【详解】

(1);4}8是正方形，；.4。_1_80,

•.•POL平面ABC。，ACu平面ABC。，:.POLAC.

•：OP.BDu平面PBD,且OPcBD=O,平面PBD,

又ACu平面PAC,平面PACJ_平面PBD；

(ED取AB的中点M,连接OM、OE,

是正方形，易知OM、OE、OP两两垂直，以点。为坐标原点，以OM、OE、OP所在直线分别为X、＞、

z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

在Rt"OE中,•.•OE=2,PE=3,:,PO=6

.•.8(2,2,0)、0(—2,—2,0)、尸(0,0,6)、£(0,2,0),

设平面P8E的一个法向量而=(%,*,zj,BE=(-2,0,0),PE=(0,2-45),

fn-BE-0Xj—0i――►/\

由<—，得，r,令％=石，则％=0,Zj=2,/./n=lO,V5,2l.

m-PE-0[2y—A/5Z]=0'7

设平面POE的一个法向量〃=(9,%，Z2)，方后=(2,4,0),而=(0,2,—有,

nDE=02犬2+4y2=0

由，得</-取为=石，得Z2=2,马=—2石，得分=(-26,6,2卜

n-PE=Q2y2-V5Z2=0

------------"?•n3V29

cos<m,n>=...,

\m\-\n\29'

,•,二面角D—PE—B为钝二面角，，二面角。—PE—B的余弦值为-土区.

29

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

2o1

20.(1)G：y+/=uc2：x+y—4=0；⑵|pe|min=V2,此时P($5).

【解析】

2

试题分析：(1)G的普通方程为工+丁=1，的直角坐标方程为x+y-4=0；(2)由题意，可设点P的直角坐

3

=|岳。4|=后疝3+工)一21

标为(百cosa,sina)=P到C2的距离d(a)

v23

jr3]

n当且仅当a=2E+二伏eZ)时，d(a)取得最小值，最小值为夜，此时P的直角坐标为(彳二).

622

试题解析：(1)G的普通方程为土+丁=1,C的直角坐标方程为x+y-4=0.

3

⑵由题意，可设点P的直角坐标为(百cosa,sina),因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(a)

的最小值，"(a)=/丝二产。二4]=近।+2)—21.

V23

7T31

当且仅当a