2022届中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT暨高三7月诊断性检测 数学

2022届中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT暨高三7月诊断性检测

数学

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知i是虚数单位，复数zi=l—2i,则£的共辗复数z的虚部为

A.-iB.IC.iD.-l

2.已知集合A={xGR|log2X<2},集合B={xWR|Jx-1<0},则ACB=

A.(-oo,3)B.(-1.3)C.(0,3)D.[1,3)

3.武汉封城期间，某医院抽调5名医生，分赴三所“方舱医院”支援抗疫，要求每名医生只去一所“方舱

医院”，每所“方舱医院”至少安排一名医生，由于工作需要，医生甲和乙必须安排在同一所‘‘方舱医院",

则所有不同的安排方案有

A.18种B.24种C.36种D.48种

4.设a=ln0.2,b=sin3,c=e0J,贝Ua,b,c的大小关系为

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

Inx+1,x>0

5.已知函数<,(e=2.71828为自然对数的底数)，若f(x)的零点为a,极小值为,则a+p=

xe\x<0

A.-1B.1C.0D.2

6.已知四棱锥V—ABCD的所有棱都相等，点M,N分别为VB,VD中点，则异面直线MN与VA所成角

的大小为

A.30°B.45℃,60°D,90°

7.设抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为E已知B(—g,3p),(—gyo)且yo>O,且yo>O,抛物线E上一点A满

足ABJ_BC,若线段AC的垂直平分线/过点E则直线/的斜率为

V63+2763+V66

A.—B.-----C.———D.V3

333

8.如图，在棱长为a的正方体ABCD-AiBiGDi中，点P在侧面BBCiC(包含边界)内运动，则下列结论正

确的有

①直线BDiJL平面AICID

兀

②二面角Bi-CD-B的大小为一

2

③过三点P、Ai.D的正方体的截面面积的最大值为aa2

④三棱锥BI-AIGD的外接球半径为6a

A.①③B.①②C.①③④D.①②③④

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中不正确的是

A.随机变量X〜N(3,22),若X=2n+3,则D(n)=l

B.已知随机变量。服从正态分布N(2,82),P&＜4)=0.84,则P(2＜《＜4)=0.16

C.设Qx—4°=ao+a]x+a2x2H-----Faiox10,x£R,则ao=~1

D.以模型y=ce*-去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程z=0.3x+4,

则c,k的值分别是e4和0.3

10.已知函数f(x)=1—2sin2x+26sinxcosx,x£R,则

A.f(x)在区间(0,兀)上只有一个零点B.f(x)最小正周期为n

式

C.(§,0)为f(x)的一个对称中心D.f(x)的值域为[-2,2]

11.已知a,0是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且m、n«a,m、给出下列四个论断：

①a//。；②m//n；③m//a；④n/小。以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题。其中正确的命

题是

A.①②③n④B④n②c.①②④n③D.@©④=＞①

X2V2

12.画法几何创始人一一法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆C：r+JuKa〉/?〉。)相切的两条垂

ab~

直切线的交点轨迹为E：x2+y2=a2+b2,这个轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭

圆的蒙日圆。下列结论正确的是

A.已知椭圆C的长轴长为4,离心率为e=；。则椭圆C的“蒙日圆”E的方程为：x2+y2=7

B.已知椭圆C：5+==1(。＞人＞0)的离心率为也，A、B为椭圆C上的两个动点，直线/：bx+ay

ab2

—a?—b2=o上任一点p,有pA・PEi＞0

C.已知椭圆k+y2=i,现将质点P随机投入椭圆C所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为1

2

尤22

-...(椭圆=1的面积公式为S=ab7t)

3ab.

•X2=l(a>Z?>0)的离心率为白，F为椭圆的右焦点，A为椭圆上的一个动点，直

D.已知椭圆C：—z-+y

4J3

线/：bx+ay—a2—b2=0,记点A到直线/距离为d,则d—|AF|的最小值为口一

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a+B=(1,1),a—b—(—3,1),c=(l,1),向量a与c的夹角。=。

14.已知函数f(x)的定义域为R,fx(+l)为偶函数，f(0)=l,则f(2)=。

15.记<x>表示与实数x最接近的整数,数列｛aj通项公式为其前n项和为Sn，则S33

无2

16.已知函数f(x)=sinx+——ln(l+x),则f(x)的最小值是。

2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

冗

17.(10分)在①sin(B--)=cos2B,②2c-=a2bcosA,③机=(a+b,c—a),〃=(a—b,c),且加_L〃，这三个条

2

件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答。在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。

(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。)

(1)求角B；

(2)若D是BC边的中点，且a=2,AD=J7,求aABC的面积。

18.(12分)十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，

派调查组到某农村去考察和指导工作。某学校为了研究学生对时事了解的情况，在网上随机抽取120名学

生对精准脱贫政策的了解情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13,其中男生30人对于精准

脱贫政策了解，女生中有25人表示对精准脱贫政策不了解。

(1)完成2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为对“精准脱贫政策了解与性别有关”；

(2)从对精准脱贫政策了解的学生中，利用分层抽样抽取7名学生，再在7名学生中抽取3名学生，作精准

脱贫政策了解的政策讲解，其中抽取女生的个数为备求g的分布列及期望值。

参考公式：K。=----〃(-—历)-------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)已知数列｛aj的前n项和为Sn，ai=l,Sn+i=Sn+2an+l,n，N*。

(1)求证：数列｛an+1｝是等比数列;

2n

⑵数列4-------1的前n项和为Tn，nGN*,求证：T,,<lo

,an^n+l.

20.(12分)如图，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2。

(1)求证：BF〃平面ADE；

(2)若二面角E-BD-F的余弦值为‘，求三棱锥C-BDF的体积。

3

21.(12分)已知函数f(x)=exalnx+alnao

(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性；