2014年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析（解析版）

PAGE2014全国高中数学联赛一试试题参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.若正数,则的值为__________.【答案】1082.设集合中的最大值与最小值分别为，则=_________.【答案】【解析】3.若函数在上单调递增，则的取值范围为_______.【答案】[-2,0].【解析】4.数列满足，则=_________.【答案】.【解析】5.已知正四棱锥中，侧面是边长为1的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离是_____________.【答案】【解析】设底面对角线AC,BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H.由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH与平面POC垂直，故CH⊥PC.因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又CH=6.设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.【答案】7.设等边三角形的内切圆半径为2，圆心为。若点满足，则与的面积之比的最大值为__________.【答案】z学科xx网k8.设是空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________.【答案】【解析】每对点之间是否连边有2种可能，共有种情况,考虑 其中A,B可用折线连接的情况数.以上三类情况数的总和为故A,B可用折线连接的概率为二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直。设直线与，轴的交点分别为，证明：是一个顶点.求的最小值.【解析】（1）设P点的坐标为易知记两切点A,B的坐标为则PA,PB的方程分别为而点P的坐标（a,b）同时满足（1），（2），故A,B的坐标均满足方程，故（3）就是直线AB的方程.直线PO与AB的斜率分别为由知，.从而（3）即为故AB与x轴的交点R是定点（2,0）.(2)因为a=-2，故直线PO的斜率直线PR的斜率设则为锐角，且当时的最小值为.10.（本题满分20分）数列满足求正整数，使得11.（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意的复数（），均有【解析】记则假如存在复数使得则由（1）知，利用知，即另外一方面，对任意满足的复数，令，其中则，而，故，此时将代入（1）可得，综上所述，符合要求的值为.2014全国高中数学联赛二试试题参考答案一、（本题满分40分）设，满足，，求证：【证明】二、（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC60°，过点B,C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE与AB，AC的延长线分别交于点F,G，设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N，证明：AM=AN.【证明】三、（本题满分50分）设S={1，2,3，…，100}.求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.【解析】对有限非空实数集A,用minA与maxA分别表示A的最小元素与最大元素.考虑S的所有包含1且至少有两个元素的子集，一共个，它们显然满足要求，因为下面证明时不存在满足要求的k个子集，我们用数学归纳法证明：对整数n≥3，在集合{1,2,3,…,n}的任意个不同非空子集中，存在两个子集，满足当n=3时，将{1，2,3}的全部7个非空子集分成3组，第一组：{3}，{1,3}，{2,3}；第二组：{2}，{1,2}；第三组：{1}，{1,2,3}.由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为，排在前面的记为，则满足（1）.假设结论在n(n≥3)时成立，考虑n+1的情形.若中至少有个子集不含n+1，对其中的个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足（1）.若至多有个子集不含n+1,则至少有个子集含