欣赏数学的真善美

欣赏数学的真善美张奠宙柴俊世上万物，以真善美为最高境界。数学自然也有自己的真善美。欣赏数学的真善美，就成为数学教育的一项重要任务。“教育形态的数学”与“学术形态的数学”之间的一个重大区别，就在于是否具有“数学欣赏”的内涵。但是，数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验和欣赏。欣赏，是教育的一部分。欣赏是需要指导、培育的。语文教学，旨在认识和欣赏人生的真善美；数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。不过，语文教育和数学教育有一个明显的差别。语文教育重在欣赏，比如语文课教学生欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作古诗，写古文。但是，从小学到大学，数学教育的重点是“做题目”，几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。那么，怎样欣赏数学的真善美呢?大致有以下途径：对比分析，体察古今中外的数学理性精神；提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；构作意境，沟通数学思考背后的人文情景。以下我们用10个案例加以说明。1欣赏数学的“真”，震撼于数学之理性精神爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重?理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性。至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”[1]数学的“真”，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的。严密性是数学的特点。数学教学中重视逻辑推理，崇尚公理化的演绎方法是每一个数学教育工作者的共识。问题在于，既要讲推理，更要讲道理。[2]如何使得学生能够体会到数学演绎的“真”?许多人认为，数学学好了，题目会做了，思维自然就严密了。数学的“真”，也就在其中了，用不到什么特别的“数学欣赏”。其实不然。形式化表达的数学，犹如曲折表达的诗词，其背后掩蔽着的思想方法和文化底蕴，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生有所领悟。例如，有意识地将古希腊的数学理性和日常思维进行对比分析，会使学生感到震撼。例1“对顶角相等”的教学．欣赏点：这样明显的命题为什么要证明?这是平面几何开头的第一个定理。定理本身非常直观，无人质疑。如果就事论事地解说一番，或者时髦地让学生“量一量”“拼一拼”那样地活动一下，都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。事实上，我们的主题不是“对顶角相等”的知识本身及其如何证明，关键点是要问：“这样明显的命题要不要证明?”中国古代数学没有这样的命题。古希腊数学家提出这样的定理，认为需要证明，而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明。两相对照，才知道自己的浅薄，古希腊理性精神的伟大。从“显然正确因而不必证明”到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃，可以说震撼了许多孩子们的“灵魂”，可是，现行的教材没有这样写，课堂上教师也没有这样教。数学“欣赏”的这一缺失，当知我们努力之所在了。三角形的内角和为180度．欣赏点：“数学和物理学的区别”，数学结论的无可争辩性，绝对可靠性。这也是一个非常基础的几何命题．现在的数学课程和教材，以及无数的公开课教案，都是强调让学生动手剪三个角，分别量，再加起来得到结果；然后分组汇报，最后得到大体上是180度的结论。这样“活动”一番，命题就算成立了。这样做，背离了数学的“真”。可以说这不是数学，而是物理学。记得科普名作家谈祥伯先生说过这样的故事[3]：他是1947年上海大同中学的毕业生，60年之后，老同学聚会见面，几位研究物理学的“老同学”说，一个物理学定理成立，只要重复做几次实验，结果都稳定地体现某一个规律，研究就算成功了。可是数学则不行。比如，哥德巴赫猜想是说“一个充分大的偶数必定可以表示为两个素数之和”，虽然我们已经用超级计算机验证过，凡小于10^13的偶数都是两个素数之和，但是仍然不能说这个猜想已经成立。这是两种不同的思维形式。要欣赏数学的“真”，就必须挑明这两者的区别。数学地看“三角形内角和为180度”的命题，“量一量”是不算数的。必须从平行公理出发用逻辑演绎方法加以证明。这样的认识，不会自动产生。只有教师把问题挑明了，学生感到数学推理的价值了，数学“欣赏”也就在其中了。总之，我们要欣赏数学的“真”，必须浓墨重彩地解说、对比、分析，不能停留在形式的逻辑推演上。不要像“猪八戒吃人参果，吞到肚里却不知道是什么滋味”。数学运用符号，具有形式之美。数学因为使用符号，显示其纯粹之真。线性相关和线性无关是学生感到头疼的问题。例3线性相关与线性无关的定义．欣赏点：“用数学符号形式化地定义是熟悉的特征，但是它背后的思想往往是很朴素的．定义(线性相关向量组)：如果向量组a1，a2，…，am。中有一向量可以经其余的向量线性表出，这个向量组就叫做线性相关．用符号写出来是：a1，a2，…，am。称为线性相关，是指有m个不全为零的数k1，k2，…，km，使K1a1+k2a2+．．．+kmam＝0。如果一位教师直接把定义抄在黑板上，又逐字逐句地解释了一遍，那么学生仍然不知道为什么要有这样的定义。复旦大学的张荫南教授指出，教师只要问：“这n个向量中哪些是必不可少的，哪些是多余的?”这就是线性相关背后的原始朴素思想。还可以更形象地问：“把n个向量比喻作一座房子的‘承重柱’，哪几根是不可少的，哪几根是由其他柱子派生出来并不承重的?”那就更加清楚了。数学欣赏的语言不在多，画龙点睛地提出问题，把原始的底牌翻开来，数学之“真”，就很容易理解了。当然，最后还要过渡到符号表示的形式。以下，我们用瞬时速度来理解导数之真。例4“飞矢不动”与“瞬时速度”。欣赏点：“辩证精密思维的典范，微积分思维的人文意境”。微分学的精髓在于认识函数的局部。如何透过微积分教材的形式化陈述，真正领略微积分的思考本质，是微积分教学的一项重要任务。把直觉的瞬时速度，化为可以言传的瞬时速度，需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。古希腊哲学家芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的?”“那还用说，当然是动的。”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的?”“不动的，老师。”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢?”“也是不动的，老师”。研究数学“美”的文字已经很多，大都是说数学是美的，并举例说明数学有对称美、简洁美、统一美、奇异美等等。但是，如何欣赏数学美，却没有很好地研究过。有些被数学家认为美的东西，并不是人人都能欣赏的，欣赏这些美需要数学的剖析，数学思想的揭示，数学意境的营造。法国名画家苏弗而皮说过：“艺术分两类。一类是小写的艺术，能够悦人耳目；另一类是大写的艺术，能够动人心魂。”数学也有这样的两类“美”，外观的数学美和动人心魂的数学美。[4]先看一个小写的“数学美”，使人赏心悦目。例8“无界变量”的意境之美。欣赏点：用“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”加以描摹，人文意境和数学意境相互交融，浑然一体。贵州六盘水师专的杨光强先生在课堂上讲授“无穷大”和“无界变量”时，总要引用宋朝叶绍翁的名句：“满园春色关不住，一枝红杏出墙来。”(《游园不值》)讲到此处，学生每每会意而笑。事实上，所谓无界变量{xn}，是指你设置无论怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过M用数学语言写来就是：对任意的正数M，总存在一个下标N，使得∣xN∣>M。把M比喻成无论怎样大的园子，变量xn相当于红杏，结果是总有一枝红杏xN会越出园子的范围。诗的比喻如此恰切，用生动的意境去描述枯燥的数学语言，没有任何牵强!以下是一个具体而又深刻的数学美欣赏．对称与对联，竟然在意境上能够沟通，这是具体形象的美学分析。然后，我们会看到“数学不变量”是和谐深刻的数学美学的“大写”精品。例9对称与对联．欣赏点：“数学美和文学美是相通的，变化中的不变量是数学美的共同根源”。只说变化、化归是不够的，在变化中寻求不变性质和不变量，是人类文明发展的正道。数学中有对称，诗词中讲对仗。乍看上去两者似乎风马牛不相及，其实它们在理念上具有鲜明的共性：在变化中保持着不变性质。数学中说两个图形是轴对称的，是指将一个图形沿着某一条直线(称为对称轴)折叠过去，能够和另一个图形重合。这就是说，一个图形“变换”到了对称轴的另外一边，但是图形的形状没有变，如图3。这种“变中不变”的思想，在对仗中也反映出来了。例如，让我们看唐朝王维的两句诗：“明月松间照，清泉石上流。”诗的上句“变换”到下句，内容从描写月亮到描写泉水，确实有变化。但是，这一变化中有许多是不变的：“明”一“清”(都是形容词)；“月”一“泉”(都是自然景物，名词)；“松”一“石”(也是自然景物，名词)；“间”一“上”(都是介词)；“照”一“流”(都是动词)。对仗之美在于它的不变性。假如上联的词语变到下联，含义、词性、格律全都变了，就成了白开水，还有什么味道?世间万物都在变化之中，但只单说事物在“变”，不能说明什么问题．科学的任务是要找出“变化中不变的规律”。一个民族必须与时俱进，不断创新，但是民族的传统精华不能变。京剧需要改革，可是京剧的灵魂不能变。古典诗词的内容千变万化，但是基本的格律不变。自然科学中，物理学有能量守恒、动量守恒；化学反应中有方程式的平衡，分子量的总值不能变。总之，唯有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值。数学上的对称本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数中。例如，二次式x^2+y^2，当把x变换为y，y变换为x后，原来的式子就成了y^2+x^2，结果仍旧等于x^2+y^2，没有变化。由于这个代数式经过x与y变换后形式上与先前完全一样，所以把它称为对称的二次式。进一步说，对称可以用“群”来表示，各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具。物质结构是用对称语言写成的。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关。此外，为杨振宁赢得更高声誉的“杨振宁一米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果。在《对称和物理学》一文中最后，他写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是，十分可能。”[5]对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中。数学和人类文明同步发展，“对称”只是纷繁数学文化中的标志之一。以上各例中，都是变中有不变性存在。再推而广之，我们会看到“不变量和不变性质”的思想之美。比如：民族要“与时俱进”，但是传统不变；物体运动，但是能量守恒(不变)；解方程：移项、变形但是保持“根”不变；三角式作恒等变换，但是其值不变．如sin²x+cos²x=l；七桥问题：桥、岛、路的形状大小可以变，但是连接的方式不变；在各门数学学科中，常常看到几何不变量，代数不变量，拓扑不变量。变与不变，是辩证的统一。一个值得指出的现象是，常常在文章中和书籍中，看到数学思想方法的论述中，大量介绍化归方法。化归，是一种将未知转化为已知的方法，在数学上使用很多。遗憾的是，化归是和不变性质联系在一起的。方程变形，最后化为已知可解的情形，但是“变形”的“化归”，必须保持原方程的根不变。不等式证明，也通过不断地放大和缩小化为已知情形，但是不等号的方向不能变。一切化归必须以某个“不变”为前提。流传很广的“关系一映射一反演(RMI)”原理，是一种特殊的化归。但是，这里的映射，必须保持一种不变性。例如，这个映射是“同构”和“同态”等等，然后才能解决问题。不变性质和不变量，是一篇大学问。一个令人震撼的大写的“数学美学精品”。数学之美，低端欣赏在于“美观”层次．常见谈数学美的文字，说来说去就是黄金分割，蜂房结构，仅仅诉诸直观。其实，数学美的“高端”欣赏在于和人文意境的沟通。前面例子中，谈微积分的局部，无界变量的文学描写，对称与对联，都有直观的背景，更多属于意境的沟通与升华。最后，我们叙述一个纯粹意境性的数学美学欣赏的例子。例10拉格朗日微分中值定理的“存在性定理”的意境。欣赏点：“只知道它存在，却不知道它在哪里”，在数学中是常见的，但是也能用文学意境来想象。近年来，“奥数”的某些思考方法渐渐为人所熟悉。其中使用的“抽屉原理”(也称鸽笼原理)就是，把M个苹果放在N个抽屉里(M>N)，那么必定存在1个抽屉，其中的苹果多于1个。至于究竟是哪一个抽屉，我们并不知道。在高等数学里，连续函数的介值性定理、拉格朗日中值定理都是典型