复变函数工科第一讲

复变函数第一讲2012年.秋学期课程简介

课程名称

复变函数教材

《复变函数》(第四版)对象

复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复数与复变函数、解析函数、复变函数级数、留数等。学习方法

复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。比如：

1）负数不能开偶数次方；

2）负数没有对数；3）正、余弦函数的绝对值不能超过1；

……等在复变函数中已经不复存在.准备知识与参考书目1、准备知识复数与多元函数知识广义积分与曲线积分微积分与级数知识2、参考书目①《复变函数论》（第二版）钟玉泉高等教育出版社②《复变函数教程》朱静杭高等教育出版社④《复变函数》郭洪芝等天津大学出版社③

《复变函数》（第四版）西安交通大学高等教育出版社⑤《复变函数典型习题》龚东保西安交通出版社⑥《复变函数》李庆忠科学出版社复数的起源与发展:复数的产生和发展是数学史中的奇特一章。它不是按现在教科书中所描述的逻辑顺序建立起来的，而是从求解方程的实践过程中产生的。“复数”术语由高斯于1831年首次给出，在这以前它被称为“虚数”或“不可能的数”.

“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）1637年在《几何学》中首创的.“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣.

十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707-1783)试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”.他在《对代数的完整性介绍一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数.所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数.因为它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是Euler首先引入符号i作为虚数单位.

十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘(Argand)以及德国的数学家高斯(Gauss)等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用。特别地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西(Cauchy，1789－1857)、维尔斯特拉斯(Weierstrass，1815－1897)、黎曼(Rieman，1826－1866)。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论.

自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如：

1）负数不能开偶数次方；

2）负数没有对数；

3）指数函数无周期性；

4）正、余弦函数的绝对值不能超过1；

……等已经不复存在.本册书主要内容第一章、复数及复变函数第二章、解析函数第三章、复变函数的积分第四章、级数第五章、留数

第一章复数与复变函数

第一节复数及其运算

1、复数的概念

2、复数的代数运算对虚数单位的规定:1.1虚单位:一、复数的基本概念虚数单位的特性:……i-虚单位满足：i2=-1虚部记做：Imz=x实部记做：Rez=x1.2复数的定义:例1解令两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z

等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说:设：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!由此可见,在复数中无法定义大小关系.1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:全体复数关于上述运算(对加、减、乘、除运算封闭），做成一个数域.称为复数域，用C表示.定理:二、复数的代数运算2.1复数的代数运算:定义实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例解2.2共轭复数:共轭复数的性质:以上各式证明略.28例1解29例2解30例3证第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考32一、复平面1.复平面的定义332.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立343.复数的辐角说明辐角不确定.oxy(z)P(x,y)xy

35辐角主值的定义:364.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.375.复数和差的模的性质38利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式6.复数的三角表示和指数表示39例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解：故三角表示式为解题步骤：

1、求出复数的模

r2、求出辐角主值θ指数表示式为40故三角表示式为指数表示式为41例2解(三角式)(指数式)42例3证43两边同时开方得44下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.45例5求下列方程所表示的曲线:解46化简后得47二、复球面1.南极、北极的定义48球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作

.因而球面上的北极N就是复数无穷大

的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义493.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数

来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.5051三、小结与思考学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.注意