矩形液箱液体振动的速度势原理分析

矩形液箱液体振动的速度势原理分析

0实验研究与模型自1960年以来，科学家和科学家们对液体扰动进行了大量的研究。在文献中，采用包容颗粒法（cps）分析了“高”充液容器中的滑动波、“低”充液容器中的滑动波以及封闭容器中的滑动波，并将结果与无网络法（pms）进行了比较。在文献中，vof法采用了新形式的散射法，模拟计算液体表面波与三维结构的耦合，最终通过实验验证。由于文献中实验操作的缺乏高质量试验现象，设计了实验设备，研究了各种充液液盒的非线性振动和衰减特性，并研究了液盒中不同位置的压力分布。有限差分法分析了带有垂直挡网的充液罐中的液体运动。同时，我们研究了自由风变量的理想液体，它们没有旋转，没有粘性，也没有压缩。基于梁的振动函数和频率方程，利用振动函数的正交性，求解了弹性基础上矩形储液结构中固液耦合的振动频率。文献中，模型中模拟了垂直储液罐中液体运动的变化规律，分析了容器壁面的张力与激励频率和扰动幅度之间的关系，以及液体振动幅度、频率和外部激励频率以及摆动幅度之间的变化关系。文献中较多分析圆柱容器内液体晃动,矩形液箱分析较少,而双层底液箱一般简化为矩形容器.本文以大连海事大学实习船“育鲲”轮双层底为模型,研究液体晃动随液面高度的变化问题,分析各阶表面模态波形的变化.1液体摆动特征方程图1为矩形箱内液体晃动示意图,其中,ΩF为整个流体域,∂ΩF为流体域边界,Γ为液体自由表面,Σ为流体与固体交界区域,其中,∂ΩF包含Γ和Σ两个区域,η为液体偏离静止液面(图1中虚线部分)的高度.液体假设为无旋、无黏和不可压缩,对其扰动也是微小的,以便应用线性理论.∇2ϕ=0(在ΩF域内)(1)∂ϕ∂n=0(在Σ域内)(2)∂ϕ∂z=ω2gϕ(在Γ域内)(3)式(1)中ϕ表示液体的速度势,式(2)中n表示液体与结构交界处的法线方向,这里假设结构是刚性的,所以式(2)的值为零.式(3)中用垂直于静止液面方向z近似代表自由表面法线方向,ω、g分别为液体晃动圆频率、重力加速度.采用变分法将式(1)、(2)和(3)写成如下形式:-∫ΩF∇2ϕδϕdv+∫Σδϕ∂ϕ∂nds+∫Γδϕ(∂ϕ∂z-ω2gϕ)ds=0(4)采用格林公式对式(4)第1项进行降阶处理,得到∫ΩF∇2ϕδϕdv=∫∂ΩFδϕ∂ϕ∂nds-∫ΩF∇ϕ∇δϕdv(5)将式(5)右边第1项拆分为液体与结构交界Σ区域与自由表面Γ区域两部分,仍然将自由表面法线方向近似用z表示,则∫∂ΩFδϕ∂ϕ∂nds=∫Σδϕ∂ϕ∂nds+∫Γδϕ∂ϕ∂zds(6)将式(5)、(6)代入式(4)后,整理得到液体晃动特征方程:∫ΩF∇ϕ∇δϕdv=λ∫Γϕδϕds(7)其中:λ=ω2/g(8)2单元刚度矩阵在二维坐标系下,式(7)中左侧为整个液体域的面积分,为晃动液体的刚度矩阵:∫ΩF∇ϕ∇δϕdv⇒δϕΤΩFΚΩFϕΩF(9)其中:ϕΩF为整个液体域内任意点的速度势;KΩF为单元刚度矩阵,其离散形式为ΚΩF=∫ΩF([∂ΝΩF∂x]Τ[∂ΝΩF∂x]+[∂ΝΩF∂z]Τ[∂ΝΩF∂z])dv(10)其中:NΩF为刚度矩阵插值形函数.式(7)中右侧为液体表面的线积分,为晃动液体的质量矩阵,表示为∫Γϕδϕds⇒δϕΤΓΜsϕΓ(11)其中:ϕΓ为液体表面任意点的速度势;NΓ为质量矩阵插值形函数;Ms为单元质量矩阵,其离散化形式:Μs=∫ΓΝΤΓΝΓds(12)图2为二维液体单元示意图,分为液体表面单元和内部单元,其中矩形区域表示单元,圆圈代表单元节点位置.单元刚度矩阵用4节点二维单元来形成,而单元的质量矩阵采用液体表面2节点一维单元来形成.N(x,z)、N(x)分别表示单元刚度矩阵和单元质量矩阵中的形函数,单元刚度ϕΩF和单元质量ϕΓ的插值形式表示为ϕΩF=Ν1(x,z)ϕ1+Ν2(x,z)ϕ2+Ν3(x,z)ϕ3+Ν4(x,z)ϕ4(13)ϕΓ=Ν1(x)ϕ1+Ν2(x)ϕ2(14)将式(9)～(12)代入式(7),得到如下形式矩阵:[ΚiiΚisΚsiΚss][ϕiϕs]=λ[000Μs][ϕiϕs](15)其中:ϕi、ϕs分别为液体内部和液体表面节点的自由度;Kss、Ms分别为液体表面单元的刚度矩阵和质量矩阵;Ksi、Kis、Kii为液体内部刚度矩阵.质量矩阵为奇异矩阵,给求解带来难度,故采用Guyuan缩减法将式(15)第1行进行静态凝聚,得到ϕi=-Κ-1iiΚisϕs(16)将式(16)代入式(15),整理得到(Κss-ΚisΚ-1iiΚis)ϕs=λΜsϕs(17)求解方程得到(ϕs,λ)的值,则液体波高η=1g∂ϕs∂t(18)因为液体不可压缩,液体晃动势能EP只与重力做功有关,其与波高η的关系可以表示为EΡ=12∫Γρgη2ds=mgC(19)其中:m、ρ分别为液体质量和密度;C为液体质心在垂直静止表面方向的位移.3充液工况下液体质心运动特性以双层底液舱为参照,编制有限元程序计算二维液箱内液体晃动问题.刚性箱体宽0.32m、高0.2m.内部充液为水,密度为1000kg/m3,重力加速度设为9.81m/s2.分别计算内部充液0.05、0.10和0.15m情况下液体晃动频率与振型,并将计算结果与解析解进行比较.液体固有频率与充液深度的计算公式为ωn=√gnπbtanh(nπbh)2π(20)其中:ωn为第n阶液体频率;b为液面宽度;h为液面高度.图3为不同充液情况下计算值与解析值的比较.从计算结果可以看出,随着充液高度的上升,液体的晃动频率呈上升趋势,第1阶频率上升最显著,其他阶次均有不同程度的上升,但充液高度对高阶次振动影响微小.如充液0.10m与充液0.15m的3阶和4阶的晃动频率相差很小.产生该结果的原因可以从式(13)获得解释.对不同的充液工况进行研究,液面高度产生变化,而液面宽度没有变化,也就是表明不同液面高度下,液体表面所集成的质量矩阵没有变化,而整个液体域的刚度矩阵随着液面高度的上升有增大的趋势,再由刚度矩阵、质量矩阵和振动系统圆频率的关系,在液面宽度一定情况下,随着充液高度的上升,液体基频呈上升趋势.图4为充液0.10m情况下液体表面波形.1阶工况下,表面波在液面中点处波幅为0,在一侧壁面产生正向的波峰,而在另一侧壁面产生波谷,这种波动为最基本的非对称波,其含有一个半波,与其他阶次相比,在最大波幅情况下,1阶晃动液体质心偏离平衡位置最大.2阶工况下,表面波有两点波幅为零,该波为最基本的对称波,含有两个半波,该阶工况下,液体质心没有侧向移动,所以不产生水平方向的力和力矩.相应的,第3阶模态和第4阶模态分别含有3和4个半波数.参照图4和式(19),液体质心垂直方向的位移为波高的积分函数,这是由于平衡条件总导致液体在重力场中的势能最低,从另一个角度来看,液体的晃动总是伴随液体质心位置水平方向变化.4液体摆动频率的确定随着液面高度的升高,液体的晃动频率呈上升