2022届全国新高考数学精准冲刺复习：对勾函数的性质与图像和高考真题交汇

2022届全国新高考数学精准冲刺复习

对勾函数的性质与图像和高考真题交汇

1、对勾函数的性质与图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”'“对号函

数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：f（x）=ax+-（ab>0）的函数；

X

对勾函数/（幻="+2,当力工0时，对勾函数/（x）=ac+2是正比例函数/（x）=or与

XX

h

反比例函数/（X）=—“叠加”而成的函数.

X

b

（1）当。，〃同号时，对勾函数f（x）=ar+—的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：

h

（2）当。，8异号时，对勾函数/（幻=以+2的图像形状发生了变化，如下图所示:

2、例析相关的高考真题

例1、（2021年乙卷）下列函数中最小值为4的是（）

,4,4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+------C.y=2'+2^xD.y=lnx+——

Isinx|Inx

【提示】；

【答案】；

【解析】：

【说明】；

4

例2、(2017年浙江高考题)已知。£氏，函数/(x)=|x+一一〃|+。在区间口，4］上的最大值是5,则

X

a的取值范围是

【答案】；

【解析】；

【说明】；

例3、(2006年上海数学高考理)已知函数y=x+4有如下性质：如果常数a>0,那么该函数在区

X

间(0,4］上是减函数，在［&,+8)上是增函数；

(1)如果函数y=x+^(x>0)的值域为［6,用)，求6的值；

X

(2)研究函数y=(常数c〉0)在定义域上的单调性，并说明理由；

X

(3)对函数y=x+3和y=f+彳(常数a>0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例.研究

XX：

推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数F(x)=k+_)”+(}+'"(〃是正整数)

在区间p2上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).

【提示】

(1)结合y=x+@(a>0)的单调性求得函数y=x+4的最小值，结合此时x的值求得b.

XX

(2)结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数了=9+'(%>())的单调性.

(3)结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合尸(x)的单调性求得尸(x)在区间；,2上的最大值

和最小值.

高考真题源于教材，素养、能力与思维品质又高于教材。

【练习】

1、（2014年重庆）若k>g4（3a+4b）=log2«K,则a+b的最小值是（）

A.6+2百B.7+24C.6+4百D.7+473

2、（2020年天津）已知a>0,6>0,且而=1,则—q一的最小值为_

2a2ba+b

对勾函数的性质与图像和高考真题交汇

1'对勾函数的性质与图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函

b

数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：f(x)=ax+-(。力＞0)的函数；

x

对勾函数/(x)=ac+夕，当时，对勾函数,f(x)=ax+2是正比例函数/(x)=ar与

XX

反比例函数/(©=2“叠加”而成的函数.

X

b

ax+巳的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示:

h

(2)当。，〃异号时，对勾函数/(x)=ax+二的图像形状发生了变化，如下图所示:

x

2、例析相关的高考真题

例1、(2021年乙卷)下列函数中最小值为4的是()

A.y=x?+2x+4B.y=|sinx\+---------C.y=2x+22-jrD.y=lnx+—

Isinx|Inx

【提示】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A,根据对勾函数与基本不等式以及取最值的

条件，即可判断选项8,利用对勾函数与基本不等式求出最值，即可判断选项C,利用对勾函数与基

本不等式或特殊值验证，即可判断选项。；

【答案】C；

【解析】对于A,y=V+2x+4=(x+l)2+3..3,所以函数的最小值为3,故选项A错误;

44

对于8,因为0<|sinx|„1,所以y=|sinx|+—：---..2J|sinx|--....=4,

4

当且仅当|sinx|=—：——，即|sinx|=2时取等号，因为|sinx|„1,所以等号取不到,

4

所以y二|sinx|+—；--->4,故选项8错误;

对于C,因为2、>0,所以y=2，+2j=2*+&..2j2J2=4,当且仅当2*=2,即x=l时取等号,

-2*V2X

所以函数的最小值为4,故选项C正确；

对于3,（方法1）由，=/加€氏，根据对勾函数的性质与图像，没有最值

I14

（方法2）因为当犬=上时，y=ln^-+^-=-\-4=-5<4,所以函数的最小值不是4,故选项。错误.

ee,1

故选：C;

【说明】本题考直了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解与对勾函数的性质与图像，利用基

本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考

查了转化思想，属于中档题；

4

例2、（2017年浙江高考题）已知aeH,函数/（幻=|无+——。|+。在区间[1,4]上的最大值是5,则

a的取值范围是

【答案】[

4

【解析】xe[l,4],x+^e[4,5],分类讨论：

449

①当时，f{x}=a-x--+a=2a-x-一，函数的最大值2a-4=5所，以，a=-,舍去；

xx2

44

②当。《4时，f（^）=x-\---a+a=x-\—<5,此时命题成立；

xx

③当4<。<5时，=max{|4—4+。,|5—4+〃},贝！

L'1或1'1,解得：。二或"9

综上可得，实数〃的取值范围是（-与|;

【说明】本题利用对勾函数的性质与图像与基本不等式，由\句1，4],得x+ge[4,5],通过对解析

式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①“25;②;③4<“<5，问题的难点在于对分

界点的确认及讨论上，属于难题.解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论;

例3、（2006年上海数学高考理）已知函数y=x+3有如下性质：如果常数”＞0,那么该函数在区

X

间（0,而］上是减函数，在［右,+00）上是增函数；

*

（1）如果函数〉=工+—（x＞0）的值域为［6,内），求的值；

x

（2）研究函数y=f+］（常数c＞0）在定义域上的单调性，并说明理由；

（3）对函数y=x+@和＞=/+=（常数。＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例.研究

Xx~

推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数尸（x）=k+j"+（!+xj（"是正整数）

在区间g，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.

【提示】

（1）结合y=x+q（a＞0）的单调性求得函数y=x+A的最小值，结合此时x的值求得分.

XX

（2）结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数v=公+?（》＞0）的单调性.

（3）结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合F（x）的单调性求得尸（x）在区间1,2上的最大值

和最小值.

【答案】（1）^=log29；（2）该函数在（f,-加］上是减函数，在区间卜板^O）上是增函数，理由见解析;

（3）F（x）在区间1,1上是减函数，在区间「2］上是增函数，最大值最小值2小

【解析】

*

⑴依题意可知当犬="时，函数少=》+二（犬＞0）取得最小值是2叔，贝112亚=6,故〃=1幅9；

X

(2)设0＜玉＜彳2，%一,=W+小一q--7=(-X2~Xi)一-~2

巧XlkX\'X2

当正＜占＜三时，y2＞y,,函数＞=/+，在［收上是增函数；

当0＜不＜三（近时，必＜*，函数y=V+,在区间（o,五］上是减函数；

又y=/+点是偶函数，故该函数在（--叼上是减函数，在区间卜五,o）上是增函数；

（3）可以把函数推广为y=x"+=（常数。＞0）,其中“是正整数，当”是奇数时，函数在y=x"+二

在(0,即可上是减函数，在区间「柘,+8)上是增函数，在(y,-服］上是增函数，在区间户标,())上是

减函数；

当〃是偶数时，函数y=x"+fr在区间(0,可上是减函数，在［返+可上是增函数，在卜8,-啊上

是减函数，在区间［二标上是增函数；

3卜+叮+仪+”

=*+!)+巾"+马+……+c；W).

因此F(x)在区间1,1上是减函数，在区间口，2］上是增函数；

所以，当x=；或x=2时，尸(x)取得最大值eJ+停j；当〃=1时，F(x)取得最小值2"。

【说明】能顺利解决本题的源头是函数y=x+—(。>0)和函数y=x+?a<0)的图像与性质，因为各

小题都是由函数y=x+?〃>0)引申出来的研究学习性问题，也就是说在学习各类函数的过程中，对

最为原始、最为基本的函数的图像与性质必须掌握牢固、理解透彻，有助于解决各类函数难题；

高考真题源于教材，素养、能力与思维品质又高于教材。

【练习】

1、(2014年重庆)若1。843〃+4与=1。82疝，贝Ija+b的最小值是()

A.6+2&B.7+24C.6+4>/3D.7+46

【提示】利用对数的运算法则可得匕=屈->0,a>4,再利用基本不等式即可得出

a-4

,

【解析】\3a+4b>0fab>09.\a>0.b>0

log4(3^z4-4b)=log2\［ab,/.Iog4(342+4b)=log4(«/?),:.3a+4b=ab,。工4,a>0.b>0

,3a八,

/.b----->0,:.a>4,

a-4

i.3ci3(a-4)+12~1212\~12-/r_

贝mi!J〃+b=。d-----=