2022届山西省应县高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（幻=——'——的图象大致是（）

x-lnx-1

2.设集合A={1,2,6},8={-2,2,4},C={X£R|-2VXV6},则(AU3)nC=()

A.{2}B.(1,2,4)

C.d,2,4,61D.{XGR|-l<x<5}

3.已知角«的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(a-13°)=

A.-B.3C.106

2222

2；一："，M/(/(-D)=()

4.已知函数Ax），

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

l+z

5.在复平面内，复数八.、2对应的点位于（）

-1）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知四棱锥S-ABC。的底面为矩形，SA，底面A3CD,点E在线段BC上，以AO为直径的圆过点E.若

SA=KAB=3,则ASED的面积的最小值为（）

97

A.9B.7C.-D.-

22

7.已知函数y=/（X）是定义在R上的奇函数，函数Ax）满足/（x）=〃x+4）,且xe（0,1]时，/（x）=log2（x+l）,

贝！J/（2018）+/（2019）=（）

A.2B.-2C.1D.-1

x+2y-2>0

8.已知实数x,）满足约束条件<x—2y+220,则f+产的取值范围是（）

x<2

A.寺,2/B.1,8C.|,8D.[1,8]

9.已知/（刈=产—1+工，则不等式/*）+/（3-2幻42的解集是（）

A.[l,+oo）B.[0,+oo）C.（-oo,0]D.（-oo,l]

10.已知数列｛4,｝对任意的有%+尸%-永焉+1成立，若％=1,则即,等于（）

10191111122

A.---B.—C.—D.

10101111

2

11.若复数2=下，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为-iB.|z|=2C.二的共输复数为-1-iD.z?为纯虚数

12.若集合A=｛xeN|x=6丽｝,。=2&，则下列结论正确的是（）

A.｛a｝cAB.a^AC.[a｝&AD.a^A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.公比为正数的等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若%=2,S4-5S2=0,则S6-S3的值为.

14.已知公=〃，则（x+y+1）"展开式中的系数为一

15.根据如图的算法，输出的结果是.

16.正四面体ABC。的一个顶点A是圆柱。4上底面的圆心，另外三个顶点8C。圆柱下底面的圆周上，记正四面体

ABC。的体积为匕，圆柱04的体积为匕，则孑的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

X=1+，2COS(7)

17.(12分)在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为(。为参数)，以原点为极点，工轴的非负

y=1+“sine

半轴为极轴建立极坐标系，射线4的极坐标方程为。=a,射线〃的极坐标方程为8=。+£.

(I)写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；

(II)若射线4与曲线C交于。、A两点，射线4与曲线c交于0、B两点,求AABO面积的取值范围.

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-A4G中，AC=3C=1,AB=0，4。=1，4。，平面48。.

(1)证明：平面4ACG_£平面BCC4

(2)求二面角A-旦B-C的余弦值.

19.(12分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为手，且经过点(-1,亭)

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点(出,0)作直线/与椭圆。交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点。使得直线出与直线Q8恰

关于x轴对称？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

20.(12分)已知凸〃边形4424…A7的面积为1,边长4A+I=q(i=l，2,…,”1),AA=a〃，其内部一点尸到边

A4+I=^(Z=I,2,.--,/2-I)的距离分别为MW，4，…，4,•求证：等+与~+…+呼~之0y・

x——1—3/

21.(12分)已知直线/的参数方程为c，Q为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同

°=2+4/

的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=20cos(6-.

(1)求直线/的普通方程及曲线C的直角坐标方程：

(2)设点P(—l,2),直线/与曲线C交于A8两点，求|AB|+|P4|-|P3|的值.

22/y

22.(10分)已知椭圆「5+5=13>〃>0)过点(0,在)，设椭圆「的上顶点为3,右顶点和右焦点分别为A，F,

ab2

5jr

KZAFB=—.

6

(1)求椭圆「的标准方程；

(2)设直线/：y=&+〃(〃x±D交椭圆「于P,Q两点,设直线与直线8。的斜率分别为原.，kBQ,若

喙+5=-1,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据函数表达式，把分母设为新函数，首先计算函数定义域，然后求导，根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像

得到答案.

【详解】

设g(x)=x-lnx—l,g⑴=0,则/•(》)=一!一的定义域为xe(0,l)U(l,+oo).g，(x)=l—L,当XG(1,+8),

x-lnx-1x

g'(x)>0,g(x)单增，当xe(0,l),g'(x)<0,g(x)单减，则g(x)Ng(l)=0.则f(x)在xe(0,l)上单增，%e(1,+<»)

上单减，/(幻>0.选氏

【点睛】

本题考查了函数图像的判断，用到了换元的思想，简化了运算，同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.

2.B

【解析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可.

【详解】

解：AuB={-2,l,2,4,6}；

.,.(AuB)nC={l,2,4}.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.

3.A

【解析】

由题意可得三角函数的定义可知：

sina=——,,---=cos47。，cosa=——,sin47、----=sin47。，贝(I：

sin2470+cos247°sin2470+cos247°

sin(a-13。)=sinacos130-cos«sin13

=cos470cos13°-sin47°sin13°

=cos(470+13)=cos600=1.

本题选择A选项.

4.A

【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

2'—x,x..0,)

因为/(x)=,।所以/(7(—1))=八2)=22-2=2.

x+l,x<0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

5.B

【解析】

化简复数为a+勿的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.

【详解】

1+1l+/_(l+i)i

'(1-z)2--2z-z

-1+z11.

=---=--1—I

222

对应的点的坐标为［一《1)在第二象限

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

6.C

【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到BE,EC之间的等量关系，再用表示出♦S£D

的面积，利用均值不等式即可容易求得.

【详解】

设=EC=y,则BC=A£)=x+y.

因为S4_L平面ABC。，EDu平面ABC。，所以

又AELED,SAnAE^A,所以ED_L平面SAE,则ED_LS£.

易知AE=1x2+3，ED=J;/+3.

在RtAAED中，AE2+ED2=AD2»

即f+3+y2+3=(x+y)2,化简得肛=3.

在RtA5E£＞中，SE=Jf+12,即=正+3=

=-SEED=-.k+萼+4：.

所以SASE/)

22Vx2

因为4+詈皿3/.詈=36.

当且仅当％=遥，y=当时等号成立，所以SAS.23136+45=,.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判

定和性质，属中档题.

7.D

【解析】

/(x)=/(x+4)说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值.

【详解】

由/(x)=/(X+4)知函数/(x)的周期为4,又/0)是奇函数，

/(2)=/(-2),又/(-2)=-/(2),"(2)=0,

.•./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1)=0-/(1)=-1.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.

8.B

【解析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得W+y2的取值范围.

【详解】

由约束条件作出可行域是由A(2,0),B(0,l),C(2,2)三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而./+y可

理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到A8所在的直线x+2y-2=0的距离是可行域内的点到原点距离

4

的最小值，此时小+丁=002=10=3,点。到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时

IABJ5

M+y2=22+22=8.所以9+)2的取值范围是28.

【点睛】

本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-1,通过分析g(x)的单调性和对称性，求得不等式/(幻+/(3-2幻〈2的解集.

【详解】

构造函数g(x)=/a)T=e"一2+(x—l),

g(x)是单调递增函数，且向左移动一个单位得到〃(X)=g(X+1)=y一5+X,

h(x)的定义域为R,且〃(一x)=十一e*-x=-〃(x),

所以〃(力为奇函数，图像关于原点对称，所以g(x)图像关于(1,0)对称.

不等式/。)+/(3-2x)W2等价于“X)-1+/(3-2%)-140,

等价于g(x)+g(3—2x)W0,注意到g(l)=0,

结合g(无)图像关于(1,0)对称和g(x)单调递增可知x+3-2x<2=>x>l.

所以不等式f(x)+/(3-2^)<2的解集是［1,物).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.

10.B

【解析】

观察已知条件，对%+1=4-7=+1进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.

【详解】

已知""I=”"一看+1

则%一4所以有q-q=[_(,_5)，

n(n+1)nn+\nn+1

4o一%=1_~~)，两边同时相加得4()-4=9-(1-,又因为4=1,所以a=1+9-(1一。)=襄.

910101U1U

故选：B

【点睛】

本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如丁二；时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握

数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.

11.D

【解析】

将复数二整理为1-/的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

22(l-z)

7=-------=-----------------——=1—/

l+i(l+z)(l-z)

z的虚部为一1,A错误；回=/m=血，8错误；z=l+i,C错误；

22

Z=(1-Z-)=-2Z,为纯虚数，。正确

本题正确选项：。

【点睛】

本题考查复数的模长、实部与虚部、共扼复数、复数的分类的知识，属于基础题.

12.D

【解析】

由题意A=&wN|x=而}=0,分析即得解

【详解】

由题意A={xeN|x=J2O2O}=0,故。史4,A^{a}

故选：D

【点睛】

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.56

【解析】

根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.

【详解】

,.1/=2,S4—5s2=0,

44=2,,

-j□—:,lV-A

Ii-qi-q

345

S6—S3=a4+a5+a6=2+2+2=56.

故答案为：56.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求

解能力.

14.1.

【解析】

由题意求定积分得到"的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数.

【详解】

0丫42

•已知=L=4=〃，贝！|(x+y+l)n=(x+j+l)4,

24o

它表示4个因式(x+y+1)的乘积.

故其中有2个因式取x,一个因式取剩下的一个因式取1,可得V),的项.

故展开式中x2y的系数C：•C；•C：=12.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题.

15.55

【解析】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10,可得结果

【详解】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10

r,(1+10)x10

则S=-----——=55

2

故答案为：55

【点睛】

本题考查For语句的功能，属基础题.

10.-----

4万

【解析】

设正四面体的棱长为“，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解.

【详解】

解：设正四面体的棱长为

则底面积为[xax更。=中〃2,底面外接圆的半径为走a，

二正四面体的体积乂=

134312

fV3YR_V63

圆柱。4的体积匕=》x-----ClX-------Cl=------Q71

339

y/23

v77。V3

则广与

4〃

9

故答案为：工二

4万

【点睛】

本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（I）r=2cosq+2sinq,曲线C是以（1,1）为圆心，、历为半径的圆；（D）[1,2].

【解析】

(I)由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线。的极坐标方程.

=；P\P2’利用诱导公

(II)令夕］=2cosa+2sina,p2=|OB|=2cosa+—+2sina+—9则^AOAB

式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；

【详解】

x=l+j2cos0,”

解：(I)由厂(。为参数)化为普通方程为(x-l)+(y-l)-=2

y=1+>/2si”

(pcos6^-l)2+(psin^-l)2=2,整理得厂=2cosq+2sinq

曲线。是以(1,1)为圆心，血为半径的圆.

(II)令夕］=|OA|=2cosa+2sina

p2=|OB|=2cosa+二+2sina+二=-2sina+2cosa

SAOAB~~P\PI=2(cos2«-sin2a)=2cos2a

7X71K7UI_

*/———<2。<一,「.一<cos2aK1,1.IW2cos2a42,

669332

AABO面积的取值范围为[1,2]

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等

基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)也

3

【解析】

(1)证明AC_L平面BCG用即平面AACG，平面8CC4得证；⑵分别以CACB,BC所在直线为X轴，y轴.

轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cuyz,再利用向量方法求二面角A-8乃-C的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为4c，平面A5C,所以用CLAC

因为AC=BC=1,A3=正.所以AC?+BC2=.即AC1BC

又BCnBC=C.所以AC_L平面BCCR

因为4Cu平面4ACG.所以平面AACC1，平面BCCfi

(2)解：由题可得BC，CA,CB两两垂直，所以分别以C4,CB,BC所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间

直角坐标系C-xyz,则A(l,0,0),C(0,0,0),8(0,1,0),4(0,0,1),所以丽;=(0,-1,1),通=(—1,1,0)

设平面ABBi的一个法向量为m=(x,y,z),

—y+z=0

{r+y=0

令1=1,得机=(1,1,1)

又CAL平面,所以平面Q3用的一个法向量为夕=(1,0,0).

cos(m,CA)=—f==——

A/33

所以二面角A-B}B-C的余弦值为旦.

3

【点睛】

本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

v-2

19.(1)—+/=1(2)见解析

4

【解析】

(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数,

即』二+&7=°,整理（G—。（%+丫2）-201%丫2=0.设直线］的方程为x+my-石=0,与椭圆C联立，将

X1—lx2-I\/

韦达定理代入整理即可.

【详解】

（1）由题意可得且=£,3+3=1，又a2—b2=c2,

2aa-4b-

解得a?=4,b2=1.

所以，椭圆C的方程为三+y2=l

4

（2）存在定点Q，一,0,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.

设直线1的方程为x+my-6=0,与椭圆C联立，整理得，（4+n?）y2-2月my—1=0.

^B（X2,y2）,■^-+y1y=l,定点Q（t,0）.（依题意tHx”tHX2）

则由韦达定理可得，%+y,=2妈，y,y2=—

-4+m-4+m~

直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.

所以，=即得y/x2-t）+y2（X|-t）=0.

AjIA.?I

又X［+my］-石=0,x2+my2一6=0,

所以，yjG-my?-t）+y2（G-my「t）=0,整理得，（6-。（丫］+y2）-Zmym=0.

从而可得，（0—t）・汉亚—2m•上^=0,

\）4+m24+m2

即2m（4-百t）=0,

所以，当1=迪，即Q［建,o］时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立.特别地，当直线］为x轴时，

3I3）

Q-y-,0也符合题意.综上所述，存在x轴上的定点Q十,0,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.

\/\7

【点睛】

本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.

20.证明见解析

【解析】

由已知，易得.4+a2d2+…=2,所以

学+学+…+等=2件+今+…+?=（咽+%&+.•.+〃,4）件+今+.•.+今利用柯西不等式和基本不等式即

44d“14d2dn）Md2d„）

可证明.

【详解】

因为凸”边形的面积为1,所以+/4+…+%4,=2,

〜…2a,2a.2a„八

所以学+学+…+学=2幺+幺+…+&

44dn4d2dn)

=+%&+…+。〃4)生+生+...+生

4d24,

端+…+"相丫（由柯西不等式得）

=(4+a2+.-+%/

..（网4%…f（由均值不等式得）

【点睛】

本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.

21.(1)4x+3y-2=0；x2+y2-2x-2y-0(2)5

【解析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.

【详解】

x=-1—3z

解：（1）直线/的参数方程为〈

1，=2+4Z为参数）'转换为直角坐标方程为以+3t2=。.

曲线C的极坐标方程为P=20cos[8-）.转换为r=2cosq+2sing,转换为直角坐标方程为

x~+y2_2x_2y—0.

x=-1—3//Q为参数),

(2)直线/的参数方程为［尸2+4,"为参数),转换为标准式为