2022届高考数学考前押题及答案解析

2022年高考数学考前押题

1.如图，在三棱锥P-ABC中，出，底面ABC,/BAC=90°.点。，E,N分别为棱以，

PC,BC的中点，M是线段AO的中点，%=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN〃平面瓦圮；

(2)求平面CME和平面NME所成交角的正弦值；

V7

(3)已知点”在棱附上，且直线N4与直线BE所成角的余弦值为一，求线段A"的

【分析】以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，

(1)根据建立的坐标系可得法=(0，2,0),DB=(2,0,-2),设平面的一个

法向量为几=(x，y>z),解得n=(l,0,1),由MN・n=0得证；

(2)求出平面CEM的一个法向量为茄=(1,0,0),平面EMN的一个法向量为：=

(-4,1,-2),由此可得cosd,t>,再根据同角三角函数的关系即可解答；

(3)设AH=/?(0W/zW4),贝ijH(0,0,〃)，由此可得而=(-1,-2,h),BE=

(-2,2,2),接下来利用已知条件建立关于"的方程，解出即可.

【解答】解：如图，以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系，

依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),

E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0),

(1)证明：DE=(0,2,0),而=(2,0,-2),

’TT

设平面BDE的一个法向量为％=(x,y,z),则［=2y=0,可取彳=

n-DB=2x-2z=0

(1,0,1),

又加=(1,2,-1),可得嬴•[=(),

又MMf平面BDE,

〃平面BDE；

(2)易知平面CEM的一个法向量为蔡=(1,0,0),设平面EMN的一个法向量为Z=

(a,b,c),则足一少二。，

&・MN=0

又扇=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),

5c=°，可取Z=(-4,1,-2),

la+2b-c=0

—>—>

TT77l,t4

COSt>=-z;~~=7=,

\m\\t\v21

・•1/105

••sin<m,t>=.I.

(3)依题意，设A〃=/z(0<〃<4),则“(0,0,/?),由此可得遍=(一1,一2,八)，

BE=(-2,2,2),

..1A7九\NH-BE\\2h-2\0

..\cos<NH,BE>\=-^~=r-=/~~!-=亓

\NH\\BE\12+5x2百

；.10力2-21/?+8=0,

h=卷或h=I，即线段AH的长为:或土

【点评】本题主要考查直线与平面平行，二面角，异面直线所成角等基础知识，考查利

用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力，运算求解能力和推理论证能

力，属于中档题.

2.如图，在四棱台A3CQ-A181cl£>|中，底面为矩形，平面A41C1D工平面CCiCiC,且

CC1=C£)=D£>|=|C1D1=1.

(1)证明：AOJ_平面CCiDiZ)；

n

(2)若4c与平面CCiEh。所成角为］求二面角C-A4i-。的余弦值.

【分析】⑴在梯形CCi£»i。中，求出亨,连结Q。，由余弦定理求得DCi=遮，

由勾股定理可证。GJ_DDi,再由面面垂直的性质定理证明。Ci,平面A4。。，从而得

到AD，。。，结合AOLOC,由线面垂直的判断定理证明即可；

(2)利用线面角的定义确定A1C与平面CC1D1。所成的角为N4CZJ1,由此求解线段的

长度，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法

求出两个平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明在梯形CCiOi。中，因为CC1=CQ=。。1=4C1D1=1,

所以/。£>心=会连结OC1,由余弦定理可求得。。=百，

因为。C/+DD/=DIG2,所以

因为平面A41D1C平面CCIOID且交于

所以。。_1_平面44。1。，

因为ADu平面A4。。，所以4£>_L£)Ci,

因为AQ_LQC,DCCDCi=D,

所以A£>,平面CC1D1D；

(2)解：连结4。，由(1)可知，平面CCiDiO,

以。1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为AIQI,平面CCiDiD,所以AiC在平面CC1D1Q内的射影为Q1C,

所以AC与平面CCQO所成的角为/4小，即/AIC£>I=E，

在RtZXAiCQi中，因为CDi=g,所以4Qi=3,

3

V3TZV3T2o

c(-

则。1(0,0,0),4(3,0,0),D(0,一，2Ko,22

2

-3

所以O；D=(0,¥)，0工1=(3,0,0)A-3-

IC(-2

学),

设平面A41D1。的法向量为薪=Q,y,z),

则有［7呼=。，即氏+字Z=0,

1m-=0(3%=0

令y=3,则x=0,z=一遮，故?n=(0,3,—V3),

设平面AAiCiC的法向量为n=(a,b,c),

n-&G=0(-3a+2b=0

则有即-3a+§b+73

7i•4传=0~2C=o'

令a=2,则b=3,c=V3,故£=(2,3,V3),

所以|c°sV苞旌|=^=看V，

由图可知，二面角C-A4i-。锐二面角,

V3

故二面角C-AA\-D的余弦值为一.

4

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角

问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进

行研究，属于中档题.

3.如图，四棱锥尸-42。中，侧面布B是等腰直角三角形，BC_L平面附8,PA=PB,

AB=BC=2,AD=BD=V5.

(1)求证：以_L平面PBC：

(2)求直线PC与平面以。所成的角的正弦值.

D'C

【分析】(1)根据8cL平面PAB,利用线面垂直的定义可得BC1.PA再由PALPB,

根据线面垂直的判定定理即可证出；(2)取AB的中点0,连接OP,0D,以。为坐

标原点，OD,OB,0P分别为x,y,z正半轴建立空间直角坐标系。-孙z,求出平面

抬。的一个法向量，利用空间向量法即可求解.

【解答】解：(1)证明：因为BCJ_平面PAB,平面PAB,

所以BC1PA,

由△力B为等腰直角三角形，

所以PALPB,

又PBCBC=B,故M_L平面PAB.

(2)取AB的中点0,连接OP,0D,

因为PA=PB,AD=BD,

所以PO1AB,DOVAB,

因为BCJ_平面PAB,

所以南8JL平面ABCD,

所以