2022届高考数学保分题

2022年高考数学考前保分题

1.如图，已知正方形ABC。的边长为4,E,尸分别为AD,BC的中点，沿E尸将四边形EFC。

折起，使二面角A-EF-C的大小为60°,点M在线段AB上.

(1)若M为A8的中点，且直线M尸与直线EA的交点为O,求OA的长，并证明直线

0。〃平面EMC；

(2)是否存在点M,使得直线QE与平面EMC所成的角为60°,若存在，求此时二面

角M-EC-F的余弦值，若不存在，说明理由.

【分析】(1)根据中位线性质可得OA,由MN//OD,结合线面平行的判定定理即可证

明；

(2)取AE的中点”为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，设M(l,30)(OWf

W4),利用线面角的向量求法求出f的值，再利用二面角的向量求出求解即可.

【解答】解：(1)因为E,尸分别为A。，8C的中点，

则EF//AB//CD,

又M为AB的中点，

则A为OE的中点，

1

故OA=AE=aAO=2,

连接CE,DF,交于点N,连接A/N,

因为四边形CCEF为平行四边形，

所以N为。F的中点，又M为A8的中点，

则MN//OD,

又MNu平面EMC,OOC平面EMC,

故OD〃平面EMC；

(2)因为EF〃AB〃C£>,

所以EF_L£>E,EFLAE,

因为。E,AEu平面4OE,DEHAE=E,

所以EF_L平面AOE,

又"u平面ABFE,

则平面ABFE_L平面ADE,

取AE的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

所以E(-1,0,0),D(0,0,V3),C(0,4,V3),尸(一1,4,0),

则届=(1,0,V3),EC=(1,4,V3),

设“(1,r,0),

则俞=(2,t,0),

设平面EMC的法向量为m=（x,y,z）,

则|茄•手=0,g|J|2%+ty=0,

U.FC=0L+4y+Bz=0

令y=-2,则x=t,z=等，

故zn=（t，-2,—

因为直线QE与平面EMC所成的角为60°,

8V3o

所以•；------------------------=一,即尸-4什3=0,解得1=1或1=3,

25+4+用2

故存在点M,使得直线OE与平面EMC所成的角为60°,

设EC的中点为Q,则Q（W0,.）,

所以&1=弓，0,-3为平面CE尸的法向量，

故|c°sV瀛，m>|=®应=严-4|=4二,

IQ川阿eX,+4+（等）2Jt2-4t+19

设二面角M-EC-F的平面角为0,

当t=2时，cos0=0,此时平面EMC_L平面CDEF,

1

则当f=l时，9为钝角，所以cos0=--4

当r=3时，。为锐角，所以cose=：

DC

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和面面垂直的判

定定理的应用，线面角的应用以及二面角的求解问题，在求解有关空间角问题的时候，

一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于

中档题.

2.如图所示，平面平面8CER且四边形ABC。为矩形，四边形8CE尸为直角梯

形，BF//CE,BC.LCE,DC=CE=4,BC=BF=2.

(I)求证：A尸〃平面CDE；

(II)求平面CDE与平面AEF所成锐二面角的余弦值；

(III)求点C到平面AEr的距离.

D

屋；\

B----------丫

【分析】以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为)，轴，CD所在直线为z轴建

立空间直角坐标系.

(I)为平面CDE的一个法向量，证明A5〃平面CDE,只需证明4F-CB=0X2+2

X0+(-4)xo=o；

(II)求出平面CCE的一个法向量、平面AEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即

可求平面CDE与平面AE尸所成锐二面角的余弦值；

(III)由点到面的距离公式可得.

【解答】(I)证明：；四边形8CEF为直角梯形，四边形A8CO为矩形，

：.BC±CE,BC±CD,

又；平面ABCZ)_L平面BCEF,且平面A8CZ)n平面BCEF=BC,

平面BCEF.

以C为原点，C8所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，C。所在直线为z轴建立如图所

示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标：

A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),

则於=(0,2,-4),CB=(2,0,0).

,JBCLCD,BC1.CE,

.♦.后为平面CDE的一个法向量.

又AF-CB=0.AFU平面CDE.

.♦.A尸〃平面CDE.

(H)由(/)知&=(2,0,0)为平面CCE的一个法向量，

由(/)知族=(-2,4,-4),AF=(0,2,-4)

设平面AE尸的一个法向量益=(x,y,z),

则芯9

令z=l,则y=2,x=2,

・•・平面AEF的一个法向量£=(2,2,1),

-n-CB42

cos<n,CB>=VTr-[=^=y

平面CCE与平面AEP所成锐二面角的余弦值为I；

(///)由(/)知。4=(2,0,4),又平面AEF的一个法向量/=(2,2,1),

所以点C到平面AEF的距离"=H=

【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基

础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题

的能力.

3.如图，在四棱锥P-ABCO中，已知办，平面ABCQ,且四边形ABCC为直角梯形,"BC=

7F

/.BAD=PA=AD=2,AB=BC=].

(1)求平面附8与平面PC。夹角的余弦值；

(2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的

最小值；利用此定义求异面直线PB与CD之间的距离.

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用

待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可；

(2)利用题中给出的异面直线间的距离，表示出距离，利用二次函数的性质求解最小值，

即可得到答案.

【解答】解：由题意，以｛6，AD,G｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Aryz,

则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

(1)因为A£>_L平面布8,

所以4。是平面％8的一个法向量，且4)=(0,2,0),

因为而=(1,1,-2),PD=(0,2,-2),

设平面P。的法向量为益=(x,y,z),

则蓝•而=0且蓝•防=0,

所以能建U

令y=l,贝Iz=Lx=l,

故m=(1,1,1),

所以cos(4D，m)="T=卓，

\AD\\m\

所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为日；

(2)因为诵=(-1,0,2),

设的=4而=(30,2A),

又cB=(-1,1,0),

则&=3+访=(-3-1,2A),

2

因为+2+i=-(^+-)+->

2221999

故d>|

所以异面直线PB与CD之间的距离,

【点评】本题考查了看见向量在立体几何的综合应用，二面角的求解以及异面直线间距

离的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间

角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

4.在平面直角坐标系中，已知动点A到点8(1,0)的距离为力，到直线x=-2距离为

"2，且加=4+1,记动点A的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

（2）已知斜率之和为-1的两条直线相，”相交于点B,直线用，〃与曲线。分别相交

于C,D,E,尸四点，且线段C。、线段EF的中点分别为G,”，问：直线G”是否过

定点？若过定点，请求出该定点的坐标：若不过定点，请说明理由.

【分析】（1）由题意得到动点A到点B（1,0）的距离等于到直线x=-1的距离，利用

抛物线的定义得到动点A的轨迹为抛物线，求解方程即可；

（2）设机，”的方程分别为y=©（x-1）,y=依（x-1）,联立直线机与抛物线的方程，

利用韦达定理以及中点坐标公式求出点G的坐标，同理求出点H的坐标，由两点间斜率

公式表示出直线GH的斜率，结合k\+ki=-\,得到kGH=k\（1+抬），确定直线GH的

方程，即可得到答案.

【解答】解：（1）因为动点A到点B（1,0）的距离为力，到直线x=-2距离为32,且

dz=d\+\,

则动点A到点B（1,0）的距离等于到直线x=-1的距离，

所以点A的轨迹为抛物线，其焦点坐标为8（1,0）,

故曲线C的方程为＞2=4%；

(2)设〃的方程分别为y=Ai(x-1),y=fo(x-1),

联立方程组%—D,可得的2/一（2kJ+4）x+k]2=0,

匚匚山.2/c/+4

所以％1+%2=----2—'

则G（牛翼，誉），同理可得也上留，俞

2_2

瓦F二卜也

所以々GH22

/e1+2_fc2+2的+k2

.2~,2

klk2

由ki+kz=-1,

所以攵GH=Zl（1+依），

则直线GH的方程为y-怖=的（1+的）。-心与，

1加

整理可得尹2=m（1+所）（x-1）,

故直线G”恒过定点（1,-2）.

【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解、抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求

解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会

联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档

题.

1

5.已知动点P到点（-1,0）的距离与到直线x=-4的距离之比为一.

2

（1）求动点P的轨迹C的标准方程；

（2）已知点尸（1,0）,点A为直线x=4上任意一点，过点尸作AF的垂线交轨迹C于

点8,D.证明：OA平分线段（其中。为坐标原点）.

【分析】（1）由已知条件可得，-（X,+1）2,+y--=\化简整理，即可求解.

|x+4|2

2

（2）根据已知条件，先求出BO的方程，再将BO方程与椭圆方程联立可得，（4+多v）y2—

2yoy-9=0,再结合韦达定理和直线方程，即可求证.

【解答】解：（1）设P（x,y）,

•••动点P到点（-1,0）的距离与到直线x=-4的距离之比为今

二耳手=；,化简整理可得，

|x+4|243

%2y2

故动点P的轨迹C的标准方程为一+—=1.

43

（2）证明：•.•点A为直线x=4上任意一点，可设4（4,和），

又：点F（1,0）,

♦.•过点尸作AF的垂线交轨迹C于点B,D,

3

直线BD方程为产一言（x-1）,

#+g=12

43

联立直线8。与椭圆方程3，化简整理可得,(4+炒y2-2yoy-9=0,

y=一丁(X—1)

、y。

设8(xi,y\),D(X2，"),

由韦达定理可得，yi+>2=以,xi+x2=2-率Si+丫2)=12214yl

123yo

故3。的中点坐标为（),

12+据‘12+羽

••♦直线04方程为产华x,

（---—7，—在直线OA上,

12+据12+据

平分线段BD.

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，以及轨迹方程的求解，需要学生较

强的综合能力，属于难题.

6.在平面直角坐标系xOy中，己知点M(-百，0),直线/：X=一^^,动点P到点M的

距离与到直线I的距离之比为日.

(1)求动点尸的轨迹E的方程；

(2)设曲线E与x轴交于A、8两点，过定点N(-I,0)的直线与曲线E交于C、D

两点(与A、B不重合)，证明：直线AC,8。的交点在定直线上.

J(x+V3)2+y2正

【分析】(1)根据已知条件，可推得21——-7=-=?,化简整理，即可求解.

比+竽I2

(2)设过点N(-I,0)的直线方程为x=m)，-1,将直线代入椭圆E的方程，化简整

理可得，(m2+4)y2-2my-3=0,结合韦达定理可得，yi+y2=yiy2=--黄77①，

再联立直线AC和3。的方程，即可求证.

【解答】解：(1)设尸(x,y),

•.•点M(~a,0),直线/：x=-竽，动点P到点M的距离与到直线I的距离之比为¥，

22

J(x+V3)+y