专题1.5 勾股定理章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

第1章勾股定理章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·湖北随州·八年级统考期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（）A．4m2-1 B．4m2+1【答案】D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，2m2解得a=m∴弦是a+2=m故选：D．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（3分）（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（

）

A．11 B．14 C．17 D．20【答案】C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,SA=AB2=3,SC=DE2=5,【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,SA=A∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC∴AC2=DE同理：SD∴SD

故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．3．（3分）（2023春·江西宜春·八年级统考期末）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A.阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵1故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D.阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵2故能拼成正方形，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．4．（3分）（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(

)A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，A∴A在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，B∴B∴B∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键5．（3分）（2023春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（

A．2 B．52 C．5 D．【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5∴BC=A∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC-CD=4-x，BE=AE-AB=5-3=2，在Rt△BDE中，B即4-x2解得：x=即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．（3分）（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2A．13 B．12 C．11 D．10【答案】A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，AB=AE∠BAF=∠EAF∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=A在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE即S△ADG∵S△AEG=1∴S△ADG∴9=1∴AD=6，∴FD=AD-AF=6-4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD故选：A．【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．7．（3分）（2023春·山西运城·八年级统考期中）图中不能证明勾股定理的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式a+b2=4×1C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式a+b22=2×D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×1故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．8．（3分）（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（

）

A．3 B．-2+3 C．-1+3 D【答案】B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=∴AE=3∴OE=2-3∴点E表示的数为-2+3故答案为：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可,本题的关键是求出AE的长．9．（3分）（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（

）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm【答案】B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2故选：B.【点睛】此题考查勾股定理，根据题意构建直角三角形是解题的关键.蚂蚁爬行的路线问题，是将蚂蚁爬行的面展开得到平面图形，利用“两点之间线段最短“将起点与终点连接成线段，再求出该线段的长度即可解决问题.10．（3分）（2023春·全国·八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2-BC2【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵S1-S4=S3-S2，∴S∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ=AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+∵AB2=AC2+BC2，AC∴AC即AC∴S12=A==AB2=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·北京·八年级北京四中校考期中）小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1=，S2=．【答案】c2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+故答案为c2+ab，a2+b2+ab．【点睛】本题考查了利用图形面积的关系证明勾股定理，解题的关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．12．（3分）（2023春·河北承德·八年级统考期末）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD的长为km．【答案】2013【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12-（故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1-（由ΔADE（CE-CD∴5∴a=13故答案为：13【点睛】本题考查用坐标确定位置，根据A、B、C三点坐标求出相关线段长度是关键．13．（3分）（2023春·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=

【答案】10【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3【详解】由题意得：OAOAOA∴OA∴OA∴S10故答案为：102【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．14．（3分）（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．【答案】①③/③①【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查图形的拼接，解题的关键在于根据所给小正方形的面积求出所拼接成的正方形的边长．15．（3分）（2023春·江苏盐城·八年级滨海县第一初级中学校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当

【答案】3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm∴AB=AC∵点E是BC的中点，∴CE＝S△ACE当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE∴AP=1∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=1∴t=12+8+2

当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=1∴t=12+8-2

故答案为∶3或18或22．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的数学思想，解答时分类讨论是是关键．16．（3分）（2023春·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为【答案】13【分析】通过过点A作GC的平行线AN，并在AN上截取AH=AC，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得AE+BD的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A作GC的平行线AF，并在AF上截取AH=AC，连接DH，BH．则∠HAD=∠C．在△ADH和△CEA中，AD=CE∴△ADH≌△CEA(SAS∴DH=AE，∴AE+BD=DH+BD，∴当B，D，H三点共线时，DH+BD的值最小，即AE+BD的值最小，为BH的长．∵AG⊥BG，AB=41，AG=5∴在Rt△ABGBG=A如图，过点H作HM⊥GC，交GC的延长线于点M，则四边形AGMH为长方形，∴HM=AG=5，GM=AH=AC=8，∴在Rt△BMHBH=B∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．【答案】见解析【分析】倍长中线，即延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE．证明△ABD≌△ECD，得到CE=AB，利用勾股定理逆定理证明△ACE是直角三角形，即∠E=90°，从而∠BAD=∠E=90°，得证AD⊥AB．【详解】证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形全等的证明，“倍长中线”是解题常用的方法．18．（6分）（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】机器人行走的路程BC为7316m【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=xm，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为7316m【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．19．（8分）（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．【答案】(1)9,40,41(2)2n+1,2n【分析】（1）根据前三组勾股数分析得出第四组勾股数组即可；（2）根据前三组勾股数总结出第n组勾股数的规律，再根据勾股定理进行验证即可．【详解】（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×1+1，第三个数为4=2×第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×2+1，第三个数为12=2×2×第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×3+1，第三个数为25=2×3×所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×4+1=40，第三个数为∴第四组勾股数组为9,40,41；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为2n+1,2n证明：∵2n+122==4=4∴2n+1【点睛】本题考查了勾股数的规律探索以及整式乘法，关键在于找出每个数的变化规律．20．（8分）（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1)求线段BG的长；(2)现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)【答案】（1）BG＝5dm；（2）答案见解析过程．【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．【详解】解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝4即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为21．（8分）（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，

(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．【答案】(1)BE=(2)BF=5【分析】（1）设AE=BE=x，则CE=8-x，在Rt△ACE（2）设CF=CG=x，则BF=8-x，先根据勾股定理求出AB，再在Rt△BGF【详解】（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8-x在Rt△ACE中，∠C=90°∴AC∴62解得x=25∴BE=（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8-x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=∴BG=AB-AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°∴GF∴x2解得x=3，∴BF=8-3=5．【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．22．（8分）（2023春·山东淄博·八年级统考期中）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．【答案】（1）能，作图见解析；（2）能，作图见解析；（3）5，作图及说明见解析【分析】（1）画出边长为5的正方形即可；（2）结合例题，画出边长为10的正方形即可；（3）在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，然后拼成大正方形即可．【详解】解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．【点睛】本题考查图形的拼接，全等三角形的判定与性质，勾股定理，确定正方形的边长是解题的关键．23．（8分）（2023·山东潍坊·八年级统考期中）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请