质量工程师-第一章-概率统计基础知识

主讲人：李春pslichun@佛山市顺德区质量技术监督标准与编码所概率统计基础知识11/23/20231第0节预备知识1、加法原理与乘法原理（1）加法原理一项工作可由k种方法独立完成则：N=n1+n2+n3+…+

nk

(2)乘法原理一件工作可分成k个步骤完成则：N=n1×n2×n3×…×nk11/23/202322、排列（1）选排列与全排列定义：从n个不同的元素里，任意取出r个不同的元素（1≤r≤n），按一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出r个不同元素的一种排列，所有不同排列的总数为

rPn=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n!/(n-r)!第0节预备知识11/23/20233(2)允许重复选取的排列如果从n个不同的元素里任取一个元素，然后把这个元素放回去，再取一个，又放回去，这样有放回地选取r个元素，并按先后选取的顺序排成一列，称为从n个不同元素中允许重复地取出r个元素的排列。所有排列的总数为：

n×n×…×n=nr第0节预备知识11/23/202343、组合定义：从n个不同元素中，每次取出r个元素，不管它们之间的顺序，合为一组，叫做从n个元素中每次取出r个元素的组合，这样得出的所有不同组合的总数，叫组合数。

rrCn=Pn/r!=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r!=n!/[r!×(n-r)!]

重要性质：rn-rCn=Cn第0节预备知识11/23/202354、排列与组合的区分试分析一下如下说法，哪个是排列，哪个是组合：（1）从10本不同的书中取出3本排在书架上；（2）从10本不同的书中取出3本；（3）从一副牌中，任意取出5张；第0节预备知识11/23/20236一、事件与概率（一）随机现象

1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

2、随机现象的特点：（1）随机现象的结果至少有两个；（2）至于哪一个出现，事先人们并不知道。第一节概率基础知识11/23/20237[例1]、概率论与数理统计的研究对象是

。

A、确定性现象B、随机现象

C、确定性现象和随机现象

D、一般现象

[例2]、在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为

。

A、确定性现象B、偶然现象

C、随机现象D、一般现象[例3]、随机现象的特点是

。

A、随机现象的结果至少有两个

B、随机现象的结果至少有一个

C、随机现象的结果至多有两个

D、随机现象的哪一个结果会出现，事先人们并不知道第一节概率基础知识11/23/202383、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。4、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。认识一个随机现象首要的就是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。第一节概率基础知识11/23/20239第一节概率基础知识[例1·1-1]⑴一天内进某超市的顾客数:Ω={0,1,2,······}⑵一顾客在超市购买的商品数:Ω={0,1,2,······}⑶一顾客在超市排队等候付款的时间:Ω={t:t≥0}⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数:Ω={0,1,2,······}⑸新产品在未来市场的占有率:Ω={[0,1]}⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:Ω={t:t≥0}⑺加工机构轴的直径尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}11/23/202310（二）随机事件定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。[例4]、在掷一颗骰子的实验中，“出现偶数点”是：

A、样本空间B、必然事件

C、不可能事件D、随机事件第一节概率基础知识11/23/202311★补充：事件的概念

在一个随机现象中，往往有多个事件发生，详细分析事件之间的关系，不仅可以帮助我们深刻地认识事件的本质，而且可以简化复杂事件的概率计算。第一节概率基础知识11/23/202312事件：即随机事件的简称，随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件。基本事件：不可能再分的事件称为基本事件。复合事件：由若干基本事件组合而成的事件，称为复合事件。完备事件组：若试验的结果必然要在某些事件中出现一件，这些事件的总体便称为一个完备事件组。第一节概率基础知识11/23/202313[例5]：在0，1，2，···，9十个数字中任意选取一个,有十个可能不同的结果。“取得一个数是0”，···，“取得一个数是9”，都是基本事件。[例6]：上例中，“取得一个数是奇数”（即取得1，3，5，7，9），“取得一个数是大于4的数”（即取得5，6，7，8，9），“取得一个数是3的倍数”（即取得3，6，9），都是复合事件。第一节概率基础知识11/23/2023141、随机事件的特征⑴任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集；⑵事件A发生当且仅当A中某一样本点发生；⑶事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的；⑷任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。第一节概率基础知识11/23/202315[例7]随机现象的重要特征是：

A、随机性B、统计规律性

C、等可能性D、确定性[例8]随机事件的特征有：

A、任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集

B、任一随机事件都有无穷多个样本点

C、任一样本空间Ω都有一个最大子集和一个最小子集

D、事件A发生是指：当且仅当A中某一样本点发生第一节概率基础知识11/23/2023162、事件之间的关系（1）包含：若事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记为BA或A

B。第一节概率基础知识

BA426Ω11/23/202317第一节概率基础知识

（3）相等：“若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A和B相等”。

看一个例子：掷骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，设事件A=“等于小于4的数”={1，2，3，4}，事件B=“偶数”={2，4，6}，显然A与B有相同的样本点{2，4}，但事件A与B并不相等。可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B相等”。B6A14325Ω11/23/202318[思考题一]如在掷骰子的随机试验中，样本点记为（x，y），其中x与y分别是第一颗和第二颗骰子出现的点数，定义如下的随机事件：A={(x，y）:x+y=奇数}，其样本空间用集合如何表示？[思考题二]上题中随机事件A的样本空间的样本点数是：

A、15B、16C、17D、18第一节概率基础知识11/23/202319第一节概率基础知识（2）互不相容（互斥）：若事件A与B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与B互不相容。两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。基本事件都是互不相容事件。ABΩ11/23/202320第一节概率基础知识（三）事件的运算（1）对立事件（又称为互逆事件或逆事件）：若事件A+B=Ω，AB=φ，则称A与B为互逆事件（对立事件）。一般将A的逆事件记为（读非A）。ΩA11/23/202321补充：互斥事件与互逆事件的区别：互斥事件：若事件A与B不能同时发生，即AB=φ，则称事件A与B互不相容。互逆事件：若事件A+B=Ω，AB=φ，则称A与B为互逆事件（对立事件）。①两事件互逆，必定互斥；但两事件互斥，不一定互逆。②互斥事件适用于多个事件,但互逆事件只适用于两个事件。③两事件互斥，只表明两事件不能同时出现，即至多只能出现其中一个，但可以都不出现。两个事件互逆，则表示两个事件之中有且仅有一个出现，即肯定了至少有一个出现。第一节概率基础知识11/23/202322第一节概率基础知识（2）事件A与B的并（又称为和事件）：事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的和事件，记为A∪B或A+B。ABΩ11/23/202323第一节概率基础知识（3）事件A与B的交（又称为积事件）：事件A与事件B都发生的事件称为事件A与事件B的积事件，记为A∩B，简记为AB。

ABΩ11/23/202324第一节概率基础知识（4）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与B的差事件，记为A－B。

A

B

AΩΩB11/23/202325第一节概率基础知识[例9]：打靶，最高环数为10环。若设事件A=击中三环以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多击中4环的事件={0，1，2，3，4}。则A－B={5，6，7，8，9，10}=击中5环以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多击中2环的事件11/23/202326第一节概率基础知识11/23/202327（四）概率—事件发生可能性大小的度量一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即：

P(φ)=0,P(Ω)=1第一节概率基础知识11/23/202328☆补充：概率的公理化定义设Ω为样本空间，A为事件,对于每一个事件A，都有一个实数P(A)与之对应，称P(A)为事件A的概率,并要求满足如下公理：

1）P(A)≥0—非负性公理

2）P(Ω)=1—正则性公理

3）若A1、A2，…，An是n个互不相容事件，则有：P(A1∪A2∪…∪An）=P(A1)+P(A2)+…+P(An)—可加性公理第一节概率基础知识11/23/202329[例10]在概率的公理化定义中，事件A的概率要求满足：

A、P(A)≥0B、P(Ω)=1C、

P(A)≤1D、可加性公理[例11]可加性公理成立的条件是，该组事件

A、相互独立B、互不相容

C、任意随机事件D、概率均大于0[例12]一个试验仅有四个互不相容的结果：A、B、C、D。请检查下列各组是否是概率？

A、P(A)=0.38,P(B)=0.16,P(C)=0.11,P(D)=0.35B、P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.16C、P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=-0.06,P(D)=0.47D、P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/8,P(D)=1/16E、P(A)=5/18,P(B)=1/6,P(C)=1/3,P(D)=2/9第一节概率基础知识11/23/202330第一节概率基础知识二、概率的古典定义与统计定义（二）统计定义用概率的统计定义确定概率方法的要点如下：（1）此随机现象是能大量重复试验的；（2）（3）频率会随重复试验次数增加而趋于稳定。11/23/202331第一节概率基础知识频率定义：如果在相同条件下，对同一试验重复进行n次，若事件A出现了kn次，那么我们称比值kn/n为事件A出现的频率。（统计）概率定义：当试验的次数n逐渐增加时，频率kn/n的变化幅度也就逐渐减小，而且随着试验次数n愈来愈大，kn/n这一数值就逐渐稳定于某一常数，所稳定到的这一常数叫做理论频率。我们把这个理论频率称为在已知条件下事件A出现的概率，并记为P(A)。亦称之为统计概率，且有11/23/202332补充：古典概型

1、古典概型的概念“概型”是指某种概率的模型。“古典概型”是概率论发展历史上首先被人们研究的概率模型。它是一种最简单、最直观的概率模型，是在以一定条件下试验的客观对称性为基础的。例如在抛掷骰子的随机试验中，令Ai为出现“i”这一事件（i=1，2，3，4，5，6），Ai是随机试验的六种基本结果。由于骰子的对称性，出现各个基本结果的可能性相同，都为1/6。第一节概率基础知识11/23/202333如果某个随机试验，只有有限个事件A1，A2，…，An可能发生，且A1，A2，…，An具有下面三条性质：（1）A1，A2，…，An发生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次试验中A1，A2，…，An至少有一个发生（完备性）；（3）在任意一次试验中A1，A2，…，An至多有一个发生（互不相容性）。则称事件组A1，A2，…，An为等可能基本事件组。其中任一事件Ai（i=1，2，3，…，n），称为基本事件。具有上述特性的问题称为古典概型或等可能概型。第一节概率基础知识11/23/202334第一节概率基础知识（一）古典定义用概率的古典定义确定概率方法的要点如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n

个样本点；

（2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k

个样本点，则事件A的概率定义为：11/23/202335第一节概率基础知识2、古典概型的计算试验E的全体基本结果E1,E2,…,En构成互不相容的完备组。由于等可能性的假定，Ei（i=1,2,3,…,n）每一个基本结果的概率为1/n。对于任一事件A，它总是由某些基本结果组成，设A包含k个基本结果，则由概率的性质可以证明：11/23/202336[例13]

一个袋子中有红、白两个球，有放回地摸一次、摸两次、摸三次、······，并考虑其摸出红、白球的顺序，其样本空间的样本数各为多少？解：这是一个摸球的问题（且有放回排序）。摸一次,Ω={红或白}，n=21=2

摸两次,Ω={(红,白),(白,红),(红,红),(白,白)}，

n=22=4

摸三次,Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,白,红),(白,红,白),(白,白,白)}，

n=23=8第一节概率基础知识11/23/202337第一节概率基础知识[例15]某地区的电话号码由七位数组成，请问如果不加任何限制，可以确定多少电话号码？若是要求电话号码的每一个数字都不相同，又可以确定多少电话号码？解：数字由0~9，一共有10个不同的数字（1）每一位上都可以排上任何一个数字，有10种可能。七位就是重复七次，所以这是有放回的且排序，其样本空间的样本点数为：

n=107（2）不能重复相同的数字，这是不放回但排序的问题，其样本空间的样本点数为：

n=

=10！/（10-7）！=60480011/23/202338[思考题三]把12封信随机地投入三只邮箱里，问“第一只邮箱里有3封信”这一事件A发生的概率？

A、0.35B、0.33C、0.25D、0.21[思考题四]一批产品共有100个，其中有3个次品，为了检查产品质量，从这批产品中连续取两次。求“第一次取到正品、第二次取到次品”的概率。

A、0.029B、0.035C、0.049D、0.018第一节概率基础知识11/23/202339第一节概率基础知识三、概率的性质及其运算法则（一）概率的基本性质及加法法则性质1、概率是非负的，且数值介于0与1之间，

0≤P(A)≤1，特别，P(φ)=0,P(Ω)=1性质2、或性质3、若AB，则：性质4、性质5、A1,…,An是互不相容的事件，则11/23/202340第一节概率基础知识（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性（1）条件概率与概率的乘法法则条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为：11/23/202341性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有

P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)>0=P(A)P（B|A）P(A)>0[例1.1-10]P13[例1.1-11]P13第一节概率基础知识11/23/202342第一节概率基础知识（2）独立性与独立事件的概率设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。

11/23/202343第一节概率基础知识[思考题五]互不相容事件是否也是独立事件？为什么？[思考题六]若随机事件A与随机事件B相互独立，P(A)=0.3,P(B)=0.7,

则P(A+B)=A、1B、0.21C、0.7D、0.7911/23/202344第二节随机变量及其分布一、随机变量1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母x、y、z表示。2、分类：随机变量离散型随机变量连续型随机变量11/23/202345第二节随机变量及其分布[例1]⑴一天内进某超市的顾客数:Ω={0,1,2,······}⑵一顾客在超市购买的商品数:Ω={0,1,2,······}⑶一顾客在超市排队等候付款的时间:Ω={t:t≥0}⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数:Ω={0,1,2,······}⑸新产品在未来市场的占有率:Ω={[0,1]}⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:Ω={t:t≥0}⑺加工机构轴的直径尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}11/23/202346二、随机变量的分布随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：

1）X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。

2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一小区间上取值的概率是多少？第二节随机变量及其分布11/23/202347（一）离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布可用分布列表示，或用一个简明的数学式子表示出来。图表法（分布列）：公式法：P（X=xi）=pi

i=1,2，···，n

要使其成为一个分布，应满足下列条件：

1)pi≥0,非负性

2）p1+p2+···+

pn=1正则性第二节随机变量及其分布11/23/202348第二节随机变量及其分布（二）连续型随机变量连续型随机变量的分布可用概率密度函数p(x)表示，许多书上也用f(x)表示。连续型随机变量还可用概率分布函数F(x)表示。概率密度函数f(x)

概率分布函数F(x)11/23/202349第二节随机变量及其分布★补充:分布密度的性质：p（x）≥0

非负性公理（它一定位于x轴的上方）

正则性公理（与x轴所夹面积恰好为1）③

为区间(a,b)上的面积11/23/202350★补充：分布函数的概念定义：设X为一个随机变量，x为任意实数，称函数F(x)=P(X≤x）为X的分布函数。即F(x)＝P（X≤x）＝P（－∞＜X≤x）＝P（－∞＜X＜

x）+P（X＝

x）注意：F(x)的累积性。在概率密度函数图上，F(x)是区间

(－∞,x)上的面积。第二节随机变量及其分布11/23/202351★补充：分布函数的性质

1）F（-∞）=0，F（∞）=10≤F（x）≤12）F（x）=p（x）的积分

p（x）=F（x）的导数

3）F（x）是非减函数，当x1＜x2时，F（x1）≤F（x2）第二节随机变量及其分布11/23/202352三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布（概率函数或密度函数）有几个很重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。两个最重要的特征数：

1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)第二节随机变量及其分布11/23/2023531、均值的计算公式2、方差的计算公式3、标准差的计算公式第二节随机变量及其分布11/23/202354第二节随机变量及其分布[例2]有甲乙两人进行射击比赛，射中环数的分布分别是:

甲：876乙：109876540.10.80.10.1

0.10.20.2

0.20.10.1

试问二人的射击水平如何？解：1)计算二人的算术平均值

E(x)甲=7E(x)乙=72)计算二者的方差

Var(x)甲=0.2

Var(x)乙=311/23/202355[例3]甲、乙、丙、丁四个厂生产同一种零件，采购员为了了解各厂零件强度的差异，以便选择订货工厂，现从市场各购买4只零件，测得强度，计算均值与标准差如下：工厂平均强度标准差甲1077.5

乙1107.2

丙919.3

丁11017.7

采购员应购买（）厂的零件。

A、甲B、乙C、丙D、丁第二节随机变量及其分布11/23/202356均值与方差的运算性质：（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有： E(aX+b)=aE(X)+b

Var(aX+b)=a2Var(X)（2）对任意两个随机变量X1与X2，有：

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

（3）设随机变量X1与X2独立，则有：

Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)第二节随机变量及其分布11/23/202357四、常用分布（一）常用离散型分布常用离散型随机变量的分布有：单点分布（退化分布）、两点分布（0-1分布）、二项分布、泊松分布、超几何分布等，书上介绍了后三种。我们将补充介绍两点分布，一共介绍四种分布。第二节随机变量及其分布11/23/202358★补充：两点分布：如果随机变量X的分布为：

P（X=x1）=p

（0<p<1）

P（X=x2）=q=（1-p）则称X服从两点分布,记为b(1,p)。服从两点分布的随机变量很多，如只考虑产品合格不合格，就是一个两点分布。其中：E(X)=p

Var(X)=pq=p(1-p)第二节随机变量及其分布11/23/202359第二节随机变量及其分布1、二项分布1）重复进行n次试验；2）n次试验间相互独立；3）每次试验仅有两个可能结果；4）成功的概率为p，失败的概率为1-p

在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则有这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。其均值、标准差为：E(x)=np

Var(x)=

np

(1-p)11/23/202360第二节随机变量及其分布2、泊松分布泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布。这个分布就称为泊松分布，记为P(λ)。其均值、方差、标准差为：

E(x)=λ

Var(x)=λσ(x)=11/23/202361第二节随机变量及其分布3、超几何分布其中，r=min（n，M），这个分布称为超几何分布，记为h（n，N，M）。

其均值、方差为：11/23/202362常用离散型随机变量分布汇总名称符号均值方差两点分布b(1,p)pp(1-p)二项分布b(n,p)npnp(1-p)超几何分布h(n,N,M)泊松分布P(λ)λλ第二节随机变量及其分布11/23/202363第二节随机变量及其分布[例4]一大批产品，其废品率为0.015，求任取100件产品，其中有1件不合格品的概率。解：此时

n=100p=0.015，

np=1.5

若按二项分布计算：若按泊松分布计算：比较两种计算结果可以看出，两者计算结果的误差不超过1%。11/23/202364第二节随机变量及其分布（二）正态分布1、正态分布的概率密度函数它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。正态分布有两个参数μ和σ，常记为N（μ，σ2）。11/23/202365[例5]有两个正态分布N（μ1σ21）和

N（μ2σ22），它们的概率密度曲线如下面所示，它们的均值间与标准差间的关系是（）

A、μ1<μ2,σ1<σ2

B、μ1<μ2,σ1>σ2

C、μ1>μ2,σ1<σ2

D、μ1>μ2,σ1>σ2

第二节随机变量及其分布11/23/202366[例6]随机变量X~N（1，1），则

A、μ=1,σ=1B、μ=1,σ=-1C、μ=-1,σ=1D、μ=-1,σ=-1[例7]随机变量X~N（-2，9），则

A、μ=2,σ=±3B、μ=-2,σ=3C、μ=-2,σ=9D、μ=2,σ=3第二节随机变量及其分布11/23/2023672、标准正态分布

μ=0且σ=1的分布称为标准正态分布，记为N（0，1），其随机变量记为U。

1）标准正态分布表①P(U≤a

)=②P(U>a)=③Φ(-a)=④P(a≤U≤b)=⑤P(|U|≤a

)=

P(|U|≥a

)=第二节随机变量及其分布Φ(a)1-Φ(a)1-Φ(a)

Φ(b)-Φ(a)

Φ(a)-Φ(-a)=2Φ(a)-12-2Φ(a)11/23/2023683、标准正态分布的分位数分位数是一个基本概念，结合标准正态分布N（0，1）来叙述分位数概念。一般说来，对任意介于0与1之间的实数α，标准正态分布N（0，1）的α分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α，用概率的语言来说，α分位数是满足下列等式的实数：

P(U≤uα)=α第二节随机变量及其分布11/23/202369第二节随机变量及其分布关于分位数的正负符号问题：

0.5分位数,即50%分位数,也称为中位数。在标准正态分布场合：

u

0.5=0

当α<0.5时,uα<0(负数)α>0.5时,uα>0(正数)α或1-α永远为正（概率必为正）11/23/202370第二节随机变量及其分布4、有关正态分布的计算正态分布计算是基于下面的重要性质：性质1：性质2：设X~N（μ，σ2），则对任意实数

a、b有：①②③11/23/202371第二节随机变量及其分布[例8]某产品的质量特性X~N(16,σ2),若要求P(12<X<20)≥0.8，则σ最大值应为（）

A、u0.9/4B、4/u0.9

C、u0.9/2D、2/u0.9

解：11/23/202372第二节随机变量及其分布产品质量特性的不合格品率的计算

1、质量特性X的分布，在受控的情况下，常为正态分布；

2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL

。产品质量特性的不合格品率为：

p=pL+pU11/23/202373第二节随机变量及其分布[例9]某厂生产产品的长度服从N(10.05,0.052)(单位cm)，规定长度在10.00cm±0.10cm内为合格品,则此产品不合格的概率是()A、Φ(3)+Φ(1)B、Φ(3)-Φ(1)C、1-Φ(1)+Φ(-3)D、Φ(1)-Φ(-3)解:TL

=10.00–0.10=9.90

TU=10.00+0.10=10.10

pL

=P(X<TL)=Φ(-3)

pu=P(X>TU)=1-Φ(1)

p=

pL+

pu=1-Φ(1)+Φ(-3)11/23/202374第二节随机变量及其分布（三）其他连续分布

1、均匀分布其均值、方差为：11/23/2023752、对数正态分布1）在正半轴（0，∞）上取值；2）“右偏分布”3）X服从对数正态分布（“右偏分布”），而经过对数变换Y=lnX后服从正态分布。第二节随机变量及其分布11/23/202376第二节随机变量及其分布4）5）11/23/202377第二节随机变量及其分布3、指数分布其均值、方差为：

E（X）=1/λVar（X）=1/λ211/23/202378第二节随机变量及其分布常用连续型随机变量汇总名称符号均值方差正态分布N(μ,σ2)μσ2均匀分布U(a，b)(b+a)/2(b-a)2/12对数正态分布LN(μ,σ2)指数分布Exp(λ)1/λ1/λ211/23/202379五、中心极限定理中心极限定理：设X1，X2，······X

n为相互独立同分布的随机变量，均值μ、σ2都存在，则在n较大时，样本均值的分布总是近似服从正态分布第二节随机变量及其分布11/23/202380一、总体、个体与样本总体：研究、考察对象的全体称为总体。个体：构成总体的每个成员，称为个体。样本：从总体中抽取的部份个体组成一个样本。样本量：样本中所包含的个体数目，称为样本量。第三节统计基础知识11/23/202381二、随机样本随机样本：满足下面两个条件的样本称为简单随机样本，简称随机样本。（1）随机性：总体中每个个体都有相同的机会入样。（2）独立性：从总体中抽取的每个个体对其他个体的抽取无任何影响。第三节统计基础知识11/23/202382第三节统计基础知识三、统计量与抽样分布（一）统计量的概念统计量：不含未知参数的函数称为统计量。抽样分布：统计量的分布称为抽样分布。常用统计量：常用统计量分两类：一类用来描述样本的中心位置；另一类用来描述样本的分散程度。有序样本：将从总体中抽取的一个样本量为n的样本：按从小到大的顺序排列而成的11/23/202383直方图：为研究数据变化规律而对数据进行加工整理的一种基本方法。1）计算R=xmax–xmin

2）决定分组数k及组距h3）确定组限：即每个区间的端点及组中值

4）计算落在每组的数据的频数及频率

5）作频数频率直方图—频率（概率）密度图

6）作累积频数和累积频率直方图—概率分布函数图P132/P42第三节统计基础知识11/23/202384〖数据集中位置的度量〗1、样本均值

2、样本中位数

3、样本众数——不是常用统计量(中级)〖数据分散程度的度量〗1、样本极差

2、样本方差

3、样本标准差

4、样本变异系数(中级)第三节统计基础知识11/23/202385第三节统计基础知识[例1]含几个非负观察值的的样本，其均值为，标准差为s，样本中有一个观察值恰好等于，现将它删去，用留下的n-1个数据再求样本均值与样本标准差，则有（）。

A、两者都不变

B、两者均有变化

C、均值不变，标准差变大

C、均值不变，标准差变小

D、均值变小，标准差不变11/23/202386（二）样本均值的分布第三节统计基础知识11/23/202387三、有关正态总体的几个重要的抽样分布（一）方差未知时，正态均值的分布

——t

分布（二）正态样本方差的分布

——Χ2分布（三）两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布第三节统计基础知识11/23/202388第四节参数估计参数估计有两种基本形式：一、点估计（一）点估计的概念（P136/P53）（二）点估计优良性标准(无偏、估计量方差小)（三）求点估计的方法——矩法估计（四）对几种分布参数矩法估计的例子（P13