山东省烟台市第二中学2023-2024学年高二上数学期末教学质量检测试题含解析

山东省烟台市第二中学2023-2024学年高二上数学期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列，若，，则（）A.1 B.C. D.32．设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，若，则（）A. B.C. D.3．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.4．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.5．如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（）A. B.C. D.6．抛物线焦点坐标为（）A. B.C. D.7．设函数，则和的值分别为（）A.、 B.、C.、 D.、8．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A. B.C. D.9．已知等差数列，，则公差d等于（）A. B.C.3 D.-310．命题“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使11．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要12．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，，则原的面积为______.14．已知点和，M是椭圆上一动点，则的最大值为________.15．已知数列的前n项和，则其通项公式______16．若＝，则x的值为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长18．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（1）求椭圆M的方程；（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.19．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.20．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.21．（12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.（1）若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?（2）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.22．（10分）设或，（1）若时，p是q的什么条件？（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用等差数列的通项公式进行求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得.故选：C.2、D【解析】求出抛物线的准线方程，可得出点的坐标，利用抛物线的定义可求得点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】易知抛物线焦点为，准线方程为，可得准线与轴的交点，设点，由抛物线的性质，，可得，所以，，解得，即点，所以.故选：D.3、B【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.所以，为假，故A错误；为真，故B正确；为假，故C错误；为假，故D错误.故选：B4、D【解析】求导后，利用求得函数的单调递减区间.【详解】解：，则，由得，故选：D.5、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.6、C【解析】由抛物线方程确定焦点位置，确定焦参数，得焦点坐标【详解】抛物线的焦点在轴正半轴，，，，因此焦点坐标为故选：C7、D【解析】求得，即可求得、的值.【详解】，则，则，故，.故选：D.8、D【解析】详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9、B【解析】根据题意，利用公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列，，可得等差数列的公差.故选：B.10、B【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，所以“，使”的否定为“，有”，故选：B.11、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B12、C【解析】先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程.【详解】，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为，则抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：且，所以故答案为：【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题14、【解析】由题设条件可知，.当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值.由此能够求出的最大值.【详解】解：A为椭圆右焦点，设左焦点为，则由椭圆定义，于是.当M不在直线与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是，而当M在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，在第三象限交点时有.显然当M在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.15、【解析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.【详解】当时，，当时，不适合上式，∴，故答案为:.16、4或9.【解析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）直线方程为4x+3y-23=0，弦长为【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，两圆的圆心距d==5，两圆的半径之和为+，由两圆的半径之和为+=5，可得m=（2）由两圆的圆心距d=="5"等于两圆的半径之差为|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为d==2，可得弦长为考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题18、（1）（2）【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.【小问1详解】解：把右焦点代入直线，得，设，，的中点为，则，，相减得，即，即，即.又，，则.又，解得，，故椭圆的方程为.【小问2详解】联立消去，可得，解得或，故交点为，.所以.因为，所以可设直线的方程为，，，联立消去，得到，因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，解得，且，又，则.故四边形的面积为，故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.19、（1）F为BD的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.【小问1详解】为的中点.如图：取的中点，连接∵，分别为，的中点，∴且∵且∴平行且等于∴四边形为平行四边形，则∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小问2详解】由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰三角形，易求，则，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，解得设平面的一个法向量为，则，即，解得设二面角为，则，因为二面角为锐角，所以余弦值为.20、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【小问1详解】设的公差为，由已知得，解得，所以.【小问2详解】所以.21、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.【小问1详解】根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，因为没有触礁危险，所以原点到的距离，解得.【小问2详解】根据题意可得，，点C在直线上，故点C，设轮船返港的直线是，则，所以.当且仅当时取到最小值.22、（1）充