山东省2022年中考数学(六三制)一轮习题-题型六二次函数综合题

题型六二次函数综合题类型1线段、周长问题(2019·德州临邑二模)如图，抛物线y＝ax2＋bx－eq\f(9,2)与x轴交于A(1，0)，B(6，0)两点，D是y轴上一点，连接DA并延长，交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点E在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为eq\f(S△ADO,S△AEF)＝eq\f(1,9)，求出点E的坐标；(3)若点D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点，是否存在点D，使DA2＝DM·DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据相似三角形的性质与判定，可得AF的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；(3)设D(0，n)，根据两点间距离可得AD的长，根据根与系数的关系，可得x1·x2，根据DA2＝DM·DN，可得关于n的方程，解方程，即可得答案．【规范解答】1．(2021·德州)小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：________________________________________________________________________；(2)求抛物线C1的解析式；(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝eq\f(1,2)x＋b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C(B在C左侧)，点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ.求证：AB∥DQ.类型2图形面积问题如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的解析式；(2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．【思路分析】(1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【规范解答】2．(2019·日照)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝－5x＋5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及点B坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC，PA，当点P运动到某一位置时，PC＋eq\f(1,2)PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．图1图2

类型3角度问题(2019·烟台)如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为E.双曲线y＝eq\f(6,x)(x>0)经过点D，连接MD，BD.(1)求抛物线的解析式；(2)N，F分别是x轴、y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？(请直接写出结果)【思路分析】(1)由已知求出D点坐标，将点A(－1，0)和D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋3即可；(2)作M关于y轴的对称点M′，作D关于x轴的对称点D′，连接M′D′与x轴、y轴分别交于点N，F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小，即为M′D′＋MD的长；(3)设P(0，t)，作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大．【规范解答】3．(2019·德州)如图，抛物线y＝mx2－eq\f(5,2)mx－4与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C，且x2－x1＝eq\f(11,2).(1)求抛物线的解析式；(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上的两点，当a≤x1≤a＋2，x2≥eq\f(9,2)时，均有y1≤y2，求a的取值范围；(3)抛物线上一点D(1，－5)，直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．类型4特殊三角形存在性问题(2021·烟台)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E.直线y＝mx＋n经过B，C两点．(1)求抛物线及直线BC的函数解析式；(2)F是抛物线对称轴上一点，当FA＋FC的值最小时，求出点F的坐标及FA＋FC的最小值；(3)连接AC，若P是抛物线上对称轴右侧一点，Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)点A，B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA＋FC的值最小，进而求解；(3)①当点Q在点P的左侧时，证明△QME∽△ENP，则eq\f(PN,ME)＝eq\f(EN,QM)＝eq\f(PE,QE)＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，进而求解；②当点Q在点P的右侧时，同理可解．4．(2021·济南)抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A(－1，0)，点B(3，0)，顶点为C.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上．连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．类型5特殊四边形存在性问题(2020·四川遂宁)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1∶2两部分，求点E的坐标；(3)点P为抛物线上的一动点，点Q为对称轴上一动点，抛物线上是否存在一点P，使A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)设抛物线解析式为y＝a(x－1)·(x－3)，把点C坐标代入解析式，可求解；(2)先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD＝eq\f(1,2)×2×6＝6，设点E(m，2m－2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【规范解答】5．(2021·淄博)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(m－1,2)x＋eq\f(m,2)(m＞0)与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)若OC＝2OA，求抛物线对应的函数解析式；(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)设直线y＝eq\f(1,2)x＋b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F(在抛物线的对称轴上)，使得以B，G，E，F为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．参考答案【类型清单·过方法关】【例1】解：(1)y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(21,4)x－eq\f(9,2).(2)点E的坐标是(4，eq\f(9,2))．(3)存在点D，使DA2＝DM·DN，且D点坐标为(0，－eq\f(5,3))或(0，3)．设D点坐标为(0，n)，则AD2＝1＋n2.当y＝n时，－eq\f(3,4)x2＋eq\f(21,4)x－eq\f(9,2)＝n，化简得－3x2＋21x－18－4n＝0.设方程的两根为x1，x2，∴x1·x2＝eq\f(18＋4n,3).DM＝x1，DN＝x2，DA2＝DM·DN，即1＋n2＝eq\f(18＋4n,3)，解得n1＝－eq\f(5,3)，n2＝3，∴点D坐标为(0，－eq\f(5,3))或(0，3)．【跟踪训练】1．解：(1)函数图象关于直线x＝2对称(答案不唯一)．(2)抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋3.(3)∵y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，∴将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线C2的解析式为y＝－(x－2＋4)2＋7－3＝－(x＋2)2＋4.①由题意可画出图象如下图1.当直线过C1顶点与C1相切时，与两抛物线只有1个交点.当直线过C2顶点与C2相切时，与C2只有一个交点，与两抛物线共有3个交点，向下平移，直线与两抛物线均有大于或等于3个交点，∴b2<b<b1时，与两抛物线有2个交点．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋b1，,y＝－x2＋4x＋3，))得－x2＋eq\f(7,2)x＋3－b1＝0.∵只有一个交点，∴Δ＝(eq\f(7,2))2－4×(－1)×(3－b1)＝0，解得b1＝eq\f(97,16).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋b2，,y＝－（x＋2）2＋4，))得x2＋eq\f(9,2)x＋b2＝0.∵只有一个交点，∴Δ＝(eq\f(9,2))2－4b2＝0，解得b2＝eq\f(81,16)，∴eq\f(81,16)<b<eq\f(97,16).③由题意可画出图象，如图2.∵y＝－(x＋2)2＋4＝－x2－4x，∴点A的坐标为(－2，4)．设点P的坐标为(m，－m2－4m)．令y＝0，即－x2－4x＝0，解得x1＝－4，x2＝0，∴点B的坐标为(－4，0)．如图，过点A作AH⊥x轴．则AH＝4，BH＝2，∴tan∠ABO＝eq\f(AH,BH)＝eq\f(4,2)＝2.设直线AP的解析式为y＝kx＋d，将(m，－m2－4m)，(－2，4)代入解得k＝－(m＋2)，d＝－2m，∴y＝－(m＋2)x－2m，∴点Q的坐标为(0，－2m)，∴QO＝－2m.∵点P的坐标为(m，－m2－4m)，∴DO＝－m，∴tan∠QDO＝eq\f(QO,DO)＝eq\f(－2m,－m)＝2，∴∠ABO＝∠QDO，∴AB∥DQ.【例2】解：(1)抛物线的解析式为y＝x2＋4x－5.(2)S△EAD＝20.(3)当点P的坐标为(－eq\f(5,2)，－eq\f(35,4))时，△ABP的面积最大为eq\f(125,8).【跟踪训练】2．解：(1)抛物线解析式为y＝x2－6x＋5，点B坐标为(5，0)．(2)M(3，－4)，S四边形AMBC＝eq\f(1,2)×4×5＋eq\f(1,2)×4×4＝18.(3)如图，在线段AB上取点N，使BN＝1，即N(4，0)，连接PN，BP，CN.∵eq\f(BN,BP)＝eq\f(1,2)，BA＝5－1＝4，BP＝2，∴eq\f(BP,BA)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).又∵∠NBP＝∠PBA.∴△NBP∽△PBA，∴eq\f(NP,PA)＝eq\f(BP,BA)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)PA＝NP，∴PC＋eq\f(1,2)PA＝PC＋PN.当PC＋eq\f(1,2)PA最小时，即PC＋PN最小，此时点C，P，N三点共线．∵C(0，5)，N(4，0)，∴OC＝5，ON＝4.在Rt△CON中，由勾股定理得CN＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴PC＋eq\f(1,2)PA的最小值CN＝eq\r(41).【例3】解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)如图，分别作点M，D关于y轴，x轴的对称点M′，D′，连接M′D′交x轴，y轴于点N，F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小，即为M′D′＋MD的长．由抛物线的解析式可知，顶点M的坐标(1，4)，∴点M′的坐标(－1，4)．设直线M′D′的解析式为y＝kx＋t.∵点D′的坐标为(2，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋t＝4，,2k＋t＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(7,3)，,b＝\f(5,3)，))∴直线M′D′的解析式为y＝－eq\f(7,3)x＋eq\f(5,3).令y＝0，则－eq\f(7,3)x＋eq\f(5,3)＝0，解得x＝eq\f(5,7)，∴点N的坐标为(eq\f(5,7)，0)．令x＝0，则y＝eq\f(5,3)，∴点F的坐标为(0，eq\f(5,3))．(3)9－2eq\r(15).【跟踪训练】3．解：(1)抛物线的解析式为y＝eq\f(2,3)x2－eq\f(5,3)x－4.(2)－2≤a≤eq\f(5,2).(3)如图，连接BC，CM，过点D作DG⊥OE于点G.点M的坐标为(eq\f(32,23)，－eq\f(100,23))．【例4】解：(1)抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)