概率论与数理统计(1,6)

第一章概率论的基本概念上节内容复习：第一章概率论的基本概念一、独立性的定义例1袋中有a

只黑球，b

只白球．每次从中取出一球，令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，分有放回和不放回情形讨论第一章概率论的基本概念§4独立性（1）有放回情形：（2）不放回情形：第一章概率论的基本概念§4独立性由此例题你会得到什么结论？说明由例1，可知，两种情形中都有这表明，在有放回情形，事件A

是否发生对事件B

是否发生在概率上是没有影响的，即事件A

与B

呈现出某种独立性．由此，我们引出事件独立性的概念第一章概率论的基本概念§4独立性在不放回情形有：在有放回情形有：在不放回情形，事件

A

是否发生对事件B

是否发生在概率上是有影响的，即事件A

与B呈现出不独立性．定义：设A、B

是两个随机事件，如果则称A

与B

是相互独立的随机事件．二、事件独立性的性质：1）如果事件A

与B

相互独立，而且第一章概率论的基本概念§4独立性()())()(APABPABPBP==第一章概率论的基本概念§4独立性2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．证明留给同学们思考。3)若随机事件A

与B

相互独立，则也相互独立.证明：为方便起见，只证相互独立即可．这个性质很重要！第一章概率论的基本概念§4独立性注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。例2设事件A

与B

满足：若事件A

与

B

相互独立，则AB≠Φ；若AB=Φ，则事件A

与B

不相互独立．证明：第一章概率论的基本概念§4独立性若AB=Φ，则但是，由题设这表明，事件A与B不相互独立．第一章概率论的基本概念§4独立性此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。三、多个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，第一章概率论的基本概念§4独立性1）三个事件的独立性：则称A、B、C是相互独立的随机事件．注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．试想：n个随机事件的独立性的定义及性质。如果

例3

袋中装有4

个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：

A={取出的球涂有红色}

B={取出的球涂有白色}

C={取出的球涂有黑色}

则：第一章概率论的基本概念§4独立性由此可见但是这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．第一章概率论的基本概念§4独立性2）n个事件的相互独立性：第一章概率论的基本概念§4独立性说明在上面的公式中，第一章概率论的基本概念§4独立性第一章概率论的基本概念§4独立性3）独立随机事件的性质：则：（1）其中任意个随机事件也相互独立；若是相互独立的事件，则4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：第一章概率论的基本概念§4独立性在本章第2节介绍了下面这个公式在独立的条件下有：第一章概率论的基本概念§4独立性注意()()()pAPAPAPn====L21特别地，如果则有,时当¥®n第一章概率论的基本概念§4独立性此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。不论p多么小3）2）1）n例4

如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：第一章概率论的基本概念

1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为第一章概率论的基本概念2）一条通路发生故障的概率为两条通路同时发生故障的概率为故系统的可靠性为即附加通路可使系统可靠性增加。3）每对并联元件的可靠性为系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为由数学归纳法可证明当解：§4独立性

例5

设有电路如图，其中1,2,3,4为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为

p。求L至R为通路的概率。LR2134

解：设事件Ai(i=1,2,3,4)为“第i个继电器接点闭合”,L

至

R为通路这一事件可表示为：第一章概率论的基本概念§4独立性由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到

第一章概率论的基本概念§4独立性

例6

要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。不纯纯纯q纯、纯、纯接受ppA1：纯纯纯纯、纯、纯接受pppA0：第一章概率论的基本概念设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为0.01。如果这件乐器中恰有4件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05解：以Ai

(i=0,1,2,3)表示事件“随机取出的3件乐器中恰有i件音色不纯”，以B表示事件“这批乐器被接受”，即3件都被测试为音色纯的乐器。A2：不纯纯不纯q纯、纯、纯接受pq不纯、不纯、不纯q纯、纯、纯接受qqA3：第一章概率论的基本概念§4独立性p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05纯、纯、纯纯、纯、纯接受不纯纯、纯纯、纯、纯接受不纯纯不纯纯、纯、纯接受不纯纯、纯、纯接受A0A1A2A3pppqqqqqqppp第一章概率论的基本概念§4独立性不纯不纯由全概率公式有由测试的相互独立性得：另外，按照超几何分布的概率计算公式得：第一章概率论的基本概念§4独立性代入公式有例7

三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9．试求目标被摧毁的概率．第一章概率论的基本概念§4独立性解：设B={目标被摧毁}由全概率公式，得由题意知第一章概率论的基本概念§4独立性所以第一章概率论的基本概念§4独立性第一章概率论的基本概念§4独立性例8

甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,

对甲而言，采用三局两胜制有利，还是五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。

解：采用三局两胜制，其甲最终获胜的情况有：甲甲，乙甲甲，甲乙甲。由于这三种结局互不相容，由独立性有甲获胜的概率为采用五局三胜制，其甲最终获胜至少比赛3局，也可能4局或5局，但最后一局必须是甲胜。第一章概率论的基本概念§4独立性甲获胜的概率为而对甲而言，采用五局三胜制有利。两种赛制甲乙最终获胜机会均等。第一章概率论的基本概念§4独立性本节要点：1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；3）在独立性条件下，求n个事件至少发生一个的概率公式：注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系；两两独立与相互独立的区别。第一章概率论的基本概念思考题：1.一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸，但要到达目的地，非要有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机将独立地进行轰炸且炸毁目标的概率为0.3。在到达目的地之前