第08讲第四章数列重点题型章末总结

第08讲第四章数列重点题型章末总结一、思维导图二、题型精讲题型01等差与等比数列的基本运算1．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2(2)1596(3)11【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得；（2）数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得，则；（3）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，则，解得，由，得，解得或（舍去），故.2．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）由，，，则．（2）由，，，则，解得．（3）由，，则．（4）由，，则．3．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2700(2)(3)．【详解】（1）因为，，根据公式，可得．（2）因为，，所以．根据公式，可得．（3）把，，代入，得．整理，得．解得，或（舍去）．所以．4．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求．【答案】(1)44(2)【详解】（1）设，则解得故.（2）设，则解得故.5．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）在正项等比数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设正项等比数列的公比为，则．由，，得，解得，则，则，故．（2）由（1）可知，则是以1为首项，2为公差的等差数列，故．6．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列．(1)若，，求；(2)若，，求和q；(3)若，，求.【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）因为数列为等比数列，且，，所以，（2）因为，，所以，解得，（3）因为，，所以，由题意可知，所以，所以，解得或，当时，，所以，当时，，所以，综上或7．（2023·全国·高二随堂练习）求下列等比数列的前n项和．(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)(4)378【详解】（1）由，，得（2）由，，得（3）由，，得（4）由，，得8．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列，前n项和为．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）等比数列中，，，，解得．（2）在等比数列中，，，显然公比，，整理得，解得或．（3）因为，，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，则.题型02等差、等比数列的判定1．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知下列数列的前n项和的公式.(1)求的通项公式；(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由.【答案】(1)(2)不是等差数列，理由见解析【详解】（1）因为，当时，，当时，，当时，上式不成立，所以；（2）由（1）得，因为，所以数列不是等差数列.2．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）数列满足，是常数．(1)当时，求及的值；(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；【答案】(1)，(2)数列不是等差数列，理由见解析【详解】（1）因为，又，，解得，所以；（2）因为，，，假设数列是等差数列，则，则，即，解得，当时，，，，，故，数列不是等差数列，故假设不成立，故数列不可能为等差数列3．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等差数列.【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）当时，，当时，，令，满足，所以.（2）由（1）知，，所以数列是以首项为，公差为等差数列.4．（2023春·贵州铜仁·高二统考期末）已知数列满足，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式及它的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)，【详解】（1）证明：因为，所以，所以，所以，因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；【答案】证明见解析【详解】（1）由题意，当时，，得，解得．由题意知，①

当时，，②①②得，因为，所以．则，∵，∴所以是以为首项，2为公比的等比数列．6．（2023秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）在数列中，，.(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；；(2)【详解】（1），当时，，数列是首项为，公比为的等比数列，，；（2）数列的前项和．7．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，已知，且．(1)求证：数列是等比数列．(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）令，∴，∵，故，∴数列是公比为2的等比数列，即数列是公比为2的等比数列．（2）由（1）易知，即，得，即．题型03等差、等比数列的性质及应用1．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）若数列满足，且，则其前17项和（

）A．136 B．119 C．102 D．85【答案】B【详解】根据可得，所以数列是公差为2的等差数列，利用等差数列性质由可得；所以其前17项和.故选：B2．（2023春·新疆伊犁·高二统考期中）记等差数列的前项和为，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】解：因为为等差数列，，即，解得，所以（为等差数列的公差）.故选：D.3．（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由等差数列的性质，，又，解得或，又是递增数列，所以，，.故选：C.4．（2023春·河南周口·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以．故选：D5．（2023春·新疆·高二八一中学校考期末）若两个等差数列，的前n项和满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得.故选：B.6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】C【详解】解：因为，所以异号，因为，所以，又有，所以，即，因为，，所以的最大整数n为17.故选：C7．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A.8．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（

）A．90 B．135 C．150 D．180【答案】C【详解】由题意，在等比数列中，，由等比数列前n项和的性质可得，，，成等比数列，∴有，即，整理可得，解得（舍）或，∵，∴有，解得，故选：C.9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设等比数列的公比为（），则，解得：，又，所以，故选：C.10．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则．【答案】【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知；可得为定值，所以即为等差数列，又，即是以为首项，公差为1的等差数列，所以，从而．故答案为：11．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）已知等差数列，，其前项和分别为，，且满足，．【答案】【详解】运用等差数列的性质,可得即，由等差数列性质可知．故答案为：.12．（2023秋·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，则．【答案】【详解】由为等比数列，则，又，则，即，所以．故答案为：．13．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的前n项和为，且，，求．【答案】81【详解】由于等差数列的前n项和为，故也成等差数列，即，即，解得.14．（2023·全国·高二随堂练习）在由正数组成的等比数列中，若，求的值．【答案】【详解】数列是由正数组成的等比数列，，，又，故，则.题型04数列求通项、求和1．（2023·浙江·模拟预测）已知数列满足(1)若，求数列的通项；(2)记为数列的前项之和，若，求的取值范围.【答案】(1)(2)或.【详解】（1）当,①,②,①②可得,左右同时乘以可以得出:,即得当时,应用累加法可得:,当时,,,且,（2）由（1）,,,若，则,或.2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由，得，又，所以当时，，所以，又，符合上式，，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，，两式相减得，所以．3．（2023·湖南永州·统考一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，即得，则，即，可得，由于，故得，则，故；（2）由（1）结论可得，故的前项和.4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列中，已知，，记．(1)证明：数列为等比数列；(2)记______，数列的前n项和为，求．在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【详解】（1）由，得，则，而，因此，显然，所以数列为以2为首项，2为公比的等比数列．（2）选择①：由（1）得，，则所以．选择②：由（1）得，，则，所以.选择③：由（1）得，，则，所以.5．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）记等差数列的前项和为，已知，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公差为，由，得．因为，所以，整理得，所以，即，解得或．当时，，所以，符合题意；当时，，所以，不符合题意，舍去，所以．（2）由（1）知，则，所以，则，两式相减，得令，则，两式相减，得，所以，所以，所以．三、数学思想与方法函数方程1．（2023·上海浦东新·统考三模）已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是．【答案】【详解】由题意，当时，，令，，即是，公比为3的等比数列，，，当，也成立，；对于，即，令，考察=，其中是对称轴为，开口向下的抛物线，当时，，当时，，

，当时最大，；故答案为：.2．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知等差数列满足，成等比数列，且公差，数列的前n项和为．(1)求；(2)若数列满足，且，设数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为数列为等差数列，，成等比数列，所以，因为，所以，所以．（2）因为，所以，两式相减得，所以．所以，所以，所以．因为对任意的，都有，所以，所以．令，则，所以当时，递增，而，所以，所以．3．（2023·山东潍坊·统考二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的最大项.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，又因为，即，解得，又，所以.（2）由（1）知，设，所以，又因为，所以，因为函数在时递减，所以的最大值可能出现在或时，时，，时，，所以数列的最大项为.4．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列的前n项和满足．(1)求首项的值及的通项公式；(2)设，求满足的最大正整数n的值．【答案】(1)，(2)11【详解】（1）解法1：当时，，则，即，因为数列是等比数列，所以公比为2，当时，，即，所以，且满足题意，所以的通项公式为．解法2：由题知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去），所以的通项公式为．（2）由（1）得，所以，所以，由得，即，令，则，所以在时单调递增，且，而，所以满足条件的最大正整数．分类讨论思想1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设公比为，由，得，即，得，解得或（舍去），得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故数列的通项公式为.（2）由为数列在区间中的项的个数，可知，，.当时，；当时，；当时，；当时，.∴.∴数列前100项的和为.2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式．故．（2）由（1）可知：．记，设数列的前项和．当时，；当时，综上：3．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比