工程力学8-轴向拉伸与压缩

工程力学主讲教师：门玉涛1轴向拉伸与压缩第八章问题：1、如何计算轴力？如何画轴力图？2、拉压杆截面上的应力是多少？圣维南原理是什么？3、材料在拉伸与压缩时的力学性能是什么？4、胡克定律是什么？拉压杆的强度和刚度条件？2§8-1引言曲柄冲压机mABPBA曲柄连杆滑块二力杆3轴向拉伸与压缩PP拉伸PP压缩4

材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。轴向拉伸？轴向拉伸与弯曲变形5§8-2轴力与轴力图一、轴力如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？截面法qqFNFN6FN--------轴向力，简称轴力FN--------拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位:ＮkN7FN~轴向力正负号规定及其他注意点1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负符号为正符号为负3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力8试求直杆在外力作用下I-III-IIIII-III截面的轴力二、轴力9[解]取I-I截面左侧为研究对象，进行受力分析，轴力预先设为正（拉）：列平衡方程求FN1FN1=－5kN表明该轴力方向与预设方向相反，其效果为压10同法求II截面上的内力列平衡方程求FN2若取截面的右侧则:注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号11同法求III截面上的内力,可取右侧计算较为简单。将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示–内力图将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示–轴力图12

为了清楚地表示杆内轴力随截面位置的改变而变化的规律、我们可以画出截面位置与轴力的关系图：用平行于杆轴线的坐标来表示横截面的位置；用垂直轴的坐标表示轴力。轴力图1314

例8－2.

一直杆受力如图所示。试求各段中横截面上的轴力。6kN10kN8kN4kNDABC156kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kN10kNABIIII6kNAIIN1N26kN10kN8kNABCIIIIIIN3假想截面图16

解：一、求轴力

（1）、AB段

在AB段内沿任意横截面I－I把杆件假想截开，保留左段，设断面处有正号的轴力N1。以杆轴为x轴，由静力平衡条件(kN)

注意：N1为正，表明将轴力假设为拉力是正确的。另外，可以看出，由于AB段内外力无变化，故其内任一横截面上的轴力都应是+6kN。6kNAN1II17

（2）、BC段

与AB段类似，仍取左段为研究对象，断面处轴力设为正号的N2，由静力平衡条件：(kN)

N2为负，表明N2的实际指向与所设方向相反，为轴向压力，也就是材料力学规定的负号轴力。显然，BC段任一横截面的轴力均为4kN,整个BC段受压。6kN10kNABIIIIN218

（3）、CD段

取右段为研究对象，设轴力N3

为正，由平衡方程，得(kN)

CD段内任意横截面的轴力均为4KN，整个CD段受拉。N34kNDIIIIII6kN10kN8kNABCIIIIIIN3N34kNDIIIIII19NxN6kN10kN8kN4kNDABC(单位:kN)4+4+644+6+

轴力图受力图20课堂练习（时间3分钟）试画出下列直杆的轴力图21你做对了吗？22§8-3拉压杆的应力与圣维南原理一、拉压杆横截面上的应力两个拉杆任意截面上的内力相同，但是常识告诉我们，直径细的拉杆更容易破坏。23观察中间部分，拉伸变形后，竖线仍然垂直轴线，只是发生了平移平面假设:变形前为平面的横截面变形后仍保持平面且垂直于轴线由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的根据胡克定律横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀思考--横截面上有没有切应力？24横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀有得到横截面上

正应力公式为:适用条件：A、弹性体，符合胡克定律；

B、轴向拉压；

C、离杆件受力区域较远处的横截面。25

正应力，拉应力为“+”，压应力为“－”FN

轴力A

横截面面积x是横截面的位置。若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？为什么？26二、拉压杆斜截面上的应力PP

(a)KK27截面法PN

p

kk由平衡方程N

=P均匀材料，均匀变形，故p

均布A

斜截面面积，A横截面面积28将p

正交分解p

只要知道横截面上的正应力和截面的方位角

，就可求出该截面上的正应力和剪应力。29

不同方向的斜截面上的正应力和切应力一般不相同。30三、圣维南原理通过刚性板传递的压力会可以使应力和应变分布趋于均匀。31从力作用点后相对较短的距离后应力和应变分布变的趋向均匀。集中压力会引起力作用点附近很大的应力分布。text,p.10432Stress&Strain:AxialLoading圣维南原理:将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。有限元分析的圣维南原理33

阶梯杆OD,左端固定，受力如图所示，OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的两倍,求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置。例题341、求反力易知O处反力

仅有水平方向的分量FOx2、画出轴力图因此FNmax=3F

在OB段，性质为拉力353、计算应力最大应力位于CD段最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。36§8-4材料在拉伸与压缩时的力学性能一、

拉伸试验与应力——应变图PP37应力——应变测试text,p.5038Stress&Strain:AxialLoading拉伸试件PPl∇2∇7l=5d或

l=10dd39ABCDEFP

lOABCDEF

b

O

s

e

p

401、变形发展的四个阶段第I阶段弹性阶段二、低碳钢的拉伸力学性能AO

p

弹性阶段比例极限直线(服从胡克定律)

AB

O

e

p

弹性阶段弹性极限曲线(不服从胡克定律)直线41工程认为，在弹性范围内材料服从胡克定律。B点对应应力

e——弹性极限，卸载后试件上不产生塑性变形的应力最大值。

A点对应应力

p——比例极限，应力应变成正比例关系的应力最大值。42第II阶屈服阶段

s——屈服极限(下屈服点的应力值)出现大的塑性变形，有滑移线存在。AB

O

s

e

p

屈服阶段屈服极限4344第Ⅲ阶段硬化阶段E点对应应力

b——强度极限材料的最大抗力。ABCDE

b

O

s

e

p

.强度极限45第Ⅳ阶段

颈缩阶段(局部变形阶段)变形集中于一小段范围，横截面迅速收缩，称为颈缩现象

ABCDE

bO

s

e

p

颈缩阶段颈缩现象实验时注意断口特点F462.塑性指标杆件拉断后取残余变形来表征材料的塑性性能。常用塑性指标：延伸率截面收缩率47

>5%——塑性材料

<5%——脆性材料

、

都是材料到拉断时为止，其塑性变形所能达到的最大程度。、越大，说明材料的塑性性能越好。483.卸载规律如果把试件拉到超过屈服极限的d点:此时卸载应力应变关系沿dd’回到d’点dd’与Oa平行卸载过程中，应力和应变按照直线规律变化这就是卸载定律49卸载后短期内再次加载:可见在再次加载时，直到d点以前的材料的变形都是弹性的，过了d点才开始出现塑性变形。第二次加载时，其比例极限得到了提高，但是塑性变形和延伸率却有所下降，这种现象称为冷作硬化弹性极限升高，塑性性能下降的现象。50卸载后放置一段时间再次加载:可见在再次加载时，超过d点。第二次加载时，其比例极限得到了提高，并且获得更高的强度极限，但是塑性变形和延伸率却有所下降，这种现象称为冷拉时效。获得更高的抗拉强度指标51其他塑性材料的拉伸有些材料

明显的四个阶段有些材料

没有屈服、颈缩阶段，但有弹性阶段和强化阶段对于没有明显屈服点的塑性材料，规定以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服指标，成为名义屈服点。52铸铁的拉伸铸铁拉伸的应力应变曲线53铸铁拉伸的应力应变曲线拉伸：

与

无明显的线性关系，拉断前应变很小.只能测得。抗拉强度差。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。破坏时沿横截面拉断。54三、材料在压缩时的力学性能1、低碳钢压缩金属材料的压缩试样一般都制成很短的圆柱，以免被压弯(参考第七章压杆稳定)，圆柱高度约为直径的1.3~3倍。混凝土、石料等则制成立方体的试块。d0h0粗短圆柱体：h0=1~3d0低碳钢压缩变扁，不会断裂，由于两端摩擦力影响，形成“腰鼓形”。55低碳钢压缩的应力应变曲线在屈服阶段以前，低碳钢压缩力学性能与拉伸力学系能相同。在屈服阶段以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，抗压能力也继续增高，因而测不出压缩时的强度极限。562、铸铁压缩铸铁压缩的应力应变曲线压缩后破坏的形式:破坏面与轴线大约成35°~39°与拉伸比较铸铁抗压的强度比抗拉高4~5倍其他脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度。57§8-5应力集中概念由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增大，这种现象称为应力集中。

58开有圆孔的板条带有切口的板条应力集中现象5960理论应力集中系数：：发生应力集中的截面上的最大应力：同一截面上按净面积算出的平均应力61随着载荷增加，塑性区域不断扩张，直到整个横截面上的应力均匀达到屈服应力弹性变形下的最大应力小于屈服应力在最大弹性载荷下的最大应力等于屈服应力在超过以上最大弹性载荷时，在孔周围会出现一个塑性区域。应力集中对塑性材料的影响62对于组织均匀的脆性材料，由于材料没有屈服阶段，所以当载荷不断增加时，最大拉伸局部应力会不停顿地达到材料的强度极限，并在此处形成裂缝，从而引起更严重的应力集中，迅速导致整个截面的破坏。所以对于此类脆性材料，必须十分注意应力集中的影响。具有塑性阶段的塑性材料在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。63对于组织粗糙的脆性材料，如铸铁，其内部本来就存在大量的片状石墨、杂质和缺陷等，这些都是产生应力集中的主要因素，孔、槽引起的应力集中并不比它们更严重，因此构件的承受能力没有影响。这类材料在静载荷下可以不考虑应力集中的影响。各类材料在动载荷下都要考虑应力集中的影响。64均匀的脆性材料或塑性差的材料非均匀的脆性材料，如铸铁塑性材料、静荷载不考虑应力集中的影响要考虑应力集中的影响动荷载65在加力点附近或截面急剧变化处引起的应力局部增大的现象，称为应力集中。应力集中会产生危害，也可以利用它为我们服务。6667选择题：应用拉压正应力公式的条件是：()(A)应力小于比例极限;(B)外力的合力沿杆轴线;(C)应力小于弹性极限;(D)应力小于屈服极限.68图所示四种材料的应力一应变曲线中，强度最大的是材料（），塑性最好的是材料（）。69材料经过冷作硬化后，其（）。（A）弹性模量提高，塑性降低。（B）弹性模量降低，塑性提高。（C）比例极限降低，塑性提高。（D）比例极限提高，塑性降低。70§8-6失效、许用应力与强度条件一、失效与许用应力1.失效的概念与分类

1.失效的概念：由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象.2.失效分类：

强度失效

由于断裂或屈服引起的失效。

刚度失效

由于过量的弹性变形引起的失效。

屈曲失效

由于平衡构形的突然转变而引起的失效。71

蠕变失效

在一定的温度和应力下，应变随着时间的增加而增加，最终导致构件失效。

松弛失效

在一定的温度下，应变保持不变，应力随着时间增加而降低,从而导致构件失效。

疲劳失效

由于交变应力的作用，初始裂纹不断扩展而引起的脆性断裂。72极限应力

u——材料强度遭到破坏时的应力。破坏：断裂、过大塑性变形脆性材料

u=

b塑性材料

u=

s刚度条件中对变形的限制，指的是弹性变形。1.材料的极限应力73工作应力：根据分析计算所得构件之应力。理想情况下：工作应力＝极限应力1.构件上的外力估计不准确；2.构件的外形与所受外力往往复杂，计算应力带有一定程度的近似性。3.材料的组成和品质存在差异；4.由标准试件测得的力学性能有一定的分散性。742.许用应力、安全系数n>1安全系数[

]许用应力－工作应力的最大允许值塑性材料脆性材料75工作应力不超过许用应力强度计算以危险截面为准进行计算二、强度条件76三种不同情况下的强度计算

强度校核：在已知荷载、构件尺寸和材料的情况下，构件是否满足强度要求，由下式检验工程认可77

设计截面：已知荷载情况、材料许用应力，构件所需横截面面积，用下式计算。78

计算许用荷载：已知构件几何尺寸和材料许用应力，则构件的最大轴力可用下式计算利用平衡方程即可求出许用荷载。79塑性材料的极限应力为（

）。比例极限

(B)弹性极限(C)屈服极限

(D)强度极限80材料的许用应力[σ]是保证物件安全工作的：（

）(A)最高工作应力(B)最低工作应力(C)平均工作应力(D)以上都不正确81例8-1

图中所示的结构由两根杆组成，设两杆材料相同，许用拉应力[s]=170MPa.(1)如AC杆的截面积为400mm2

，BC杆的截面积为250mm2，试求许用载荷[F]；(2)如载荷F=60kN，试求两杆所需的最小截面积。82（1）求许可载荷[F]对节点C受力分析解得:83由强度条件:因此，结构的许可载荷为:84（2）两杆所需要的最小面积85§8-7胡克定律与拉压杆的变形一、拉压杆的轴向变形与胡克定律l1ll1b1bb1PPPP(a)(b)86轴向变形：=变形后的长度

变形前的长度

L=L1

L引入比例常数

，则有E：弹性模量，与材料性质有关，表示材料抵抗弹性变形的能力。量纲和常用单位均与应力相同87—胡克定律EA也代表杆件抵抗变形的能力，称为拉压刚度。88轴向变形公式的适用条件线弹性（比例极限内）

L长度内，N、E、A为常数(均匀变形)---------等截面常轴力拉压杆89二、拉压杆的横向变形与泊松比

设变形前横向尺寸为b,变形后为b1，则均匀变形时横向应变为b1b90实验表明v：泊松比，无量纲

与

恒反号91杆伸长计算公式：均匀变形分段均匀变形非均匀变形92例4-1如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。931）求出轴力，并画出轴力图2）求伸长量mm伸长缩短缩短94例8－6

图示杆系由两根圆钢杆1和2组成，已知杆端铰连，两杆与铅垂线均成

=30的角，长度均为L=2m,直径均为d=25mm,钢的弹性模量为E=210Gpa.设在节点A处悬挂一重物P=100KN,试求节点A的位移A.

PABC1295解：由于两杆受力后变形，而使A点有位移，所以须先求出各杆的伸长，为此，应先求各杆轴力.由于AB、AC均为二力杆，因此，可假定两杆均受拉，作A点的受力图如图，由静平衡方程，有

PAF1F296解之，可得：

F1，F2为正号，说明先前假设的轴力方向为正确的。将F1，F2代入公式，得每杆的伸长为式中为杆的横截面面积97

由于结构对称，两杆伸长量相等，故变形后节点A将沿铅垂方向下移至A

点，于是1，2杆最终铰连于A点.

A

ABC

A198即以B点为圆心，BA为半径画弧交BA

于A1点，则A1A

即为

l1.由于微小变形，因此，可将弧AA1视为A点到BA

的垂线，

BAA

，于是

A

ABC

A199将已知数据代入上式可得节点位移与杆伸长是两个不同的概念100ABCL1L2B'解：变形图如图，B点位移至B'点，由图知：101CFABD123CFAB12

问题的提出

两杆桁架变成三杆桁架，缺一个方程，无法求解102§8-8简单拉压静不定问题一、静定与静不定问题1、基本概念静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数，也就是说根据静力平衡方程即可求出全部支反力和轴力。

超静定问题与超静定结构：未知力个数多于独立的静力平衡方程数。

超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差。

多余约束：保持结构静定多余的约束103求解静不定问题必须考虑三个方面：1.静力学关系——满足平衡方程2.几何关系——满足变形协调条件3.物理关系——力与变形之间的关系，如线弹性范围之内，满足胡克定律。104建立平衡方程，确定内外力的静力关系；建立几何方程，确定各杆间的变形协调关系；建立物理方程，确定各杆的力与变形的关系；联立几何方程与物理方程，导出补充方程；联立平衡方程与补充方程，求出未知力。关键：建立变形协调方程。二、静不定问题的求解步骤105解：、平衡方程:AN1N2N3FCFABD123已知：杆1与杆2横截面的拉压刚度均相同，均为E1A1,杆3横截面的拉压刚度为E3A3，杆1与杆2长度为L1，杆3长度为L3，在A点作用载荷F。求：各杆的内力。106几何方程——变形协调方程：物理方程——胡克定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。

解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:CABD123A1107静不定问题的特点：1.一般来说，增大静不定结构某杆的刚度，该杆的轴力亦相应增大。2.在静不定结构中，各杆（或各杆段）的变形必须满足变形协调条件。108解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力。三、装配应力——预应力1、静定问题无装配应力。如图，3号杆的尺寸误差为

，求各杆的装配内力。ABC12DA13A1N1N2N3ABC12109、物理方程及补充方程：

、解平衡方程和补充方程，得:、几何方程ABC12DA13dAA1110

线膨胀系数α:

单位长度的杆温度升高

1℃

时杆的伸长量。

例：求图示杆件在温度增高∆T后，杆件的横截面上的正应力。

温度应力：温度变化导致杆件的膨胀或收缩，由此而产生的应力。温度应力也称为热应力。四、温度应力111解：1.变形协调关系温度升高∆T

（2）施加约束力RB，杆的压缩变形为

（1）移去B端约束，温度引起的变形（伸长）为

（3）几何关系物理方程物理方程几何方程1122.横截面上的正应力补充方程联立物理与几何方程，有解得应力为113

例：

图所示构件由横截面面积和材料都不相同的两部分所组成，在C截面处受P力作用。试求杆两端的约束反力。BCAE1A1l2l1PE2A2114解：(1)画受力图、列静力平衡方程

解除上、下固定端对构件的约束，并分别以RA、RB代表两端的约束反力图由于这是共线力系问题，只能列出一个独立的平衡方程：RARBPCBA两个未知量，一个静平衡方程，仅由平衡方程无法求解，这种问题称为超静定问题，需寻找补充方程方能求解。115(2)

建立变形几何方程—变形协调方程

根据约束对变形的限制可知，杆的总伸长不变，即(3)

建立物理方程—补充方程—物理方程(4)

建立补充方程RARBPCBA116(5)

联立求解将平衡方程与补充方程联立求解，得117

例：刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷[P]123aaaABCDP118解：1.静力平衡条件：2.变形协调条件：3.物理关系：4.补充方程：联立(2)、(3)，得123aaaABCDP1195.联立求解(1)和(4),得：其中，3杆的轴力为最大,其强度条件为:即：于是有许用载荷：120

例：如图所示，ＡＣ为刚杆，1、2、3杆E、Ａ、l均相同，求各杆内力值。121解：1.静力平衡条件：2.变形协调条件：4.补充方程：3.物理关系：122例：求图示等直杆件的两端支反力。杆件两端固定。123解：变形协调条件：1241、静定问题无温度应力。三、装配温度如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为

i;△T=T2-T1)ABC12CABD123A12、静不定问题存在温度应力。125CABD123A1、几何方程解：、平衡方程:、物理方程：AN1N3N2126CABD123A1、补充方程解平衡方程和补充方程，得:127§8-9连接部分的强度计算工程背景剪切和挤压128剪切的工程实例129130传动131挤压成型132连接件133联轴节134工程上剪切件135螺栓连接铆钉连接销轴连接136平键连接榫连接焊接连接137二、概述工程中有时需将几个构件连成一体，在连接部分，一般要有起连接作用的部件，称为连接件。如螺栓、铆钉、键等。1382、连接件的受力变形特点受力特点:受到一对大小相等，方向相反，作用线很近而且平行的力作用PP变形特点:连接面沿着剪切面发生相对错动nn（合力）（合力）PP1393、连接件的失效形式A、沿着剪切面发生的剪切破坏B、构件与连接件的接触面上（挤压面）产生较大的挤压应力，从而引起过量的塑性变形，导致失效。nn（合力）（合力）PP1404、连接件的剪切强度计算由于连接件剪切面上的切应力和接触面上的挤压应力分布比较复杂，因此工程上一般采用简化计算。假定切应力在剪切面上均匀分布强度条件:FS141受剪的销子和受剪的螺栓142例两块矩形截面木杆用两块钢板连接如图所示，P=60kN，木材顺纹剪切许用应力为[

]=1MPa，木板截面宽度b=0.15m，试求接头的长度L。PhbPLL143

解：拿掉钢板，取左段木杆为分析对象，因为对称，钢板对木杆的作用为S1=S2=S，由平衡方程易得S=P/211面为受剪面(受剪面总是平行于引起剪切的外力)Ps1s2s111取L=0.2m144例

右图为一冲床示意图。已知钢板厚度为t=10mm，极限名义切应力=300MPa，要冲出直径为d=25mm的孔，试求冲剪力P的大小。t受剪面PPd145解：146四、挤压与挤压强度条件PPPP挤压面联结件与被联结件在接触面上相互压紧---挤压挤压应力挤压面积=接触面面积?147PbsPbs1485、连接件的挤压强度计算假定:挤压应力在有效挤压面上均匀分布有效挤压面是指接触面在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。实际挤压面有效挤压面强度条件:

Abs是有效挤压面面积；Fbs是接触面上的总挤压力；[sbs]是许用挤压应力。149Fbs：挤压力Abs：计算挤压面面积接触面为平面，则计算挤压面为接触面。

接触面为半圆柱面，则计算挤压面为直径投影面。

挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因此，当两者材料不相同时，应校核挤压许用应力较低的材料的挤压强度。直径投影面挤压强度条件：常由实验方法确定150挤压强度条件：切应力强度条件：脆性材料：塑性材料：151152153为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足154例一销钉连接如图所示。已知外力P=15kN，被连接件的厚度分别为t1=6mm和t2=10mm，材料的许用切应力[