工程力学(1)-第7章

第七章弯曲强度§7-1

工程中的弯曲构件§7-2

梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§7-3

与应力分析相关的截面图形几何量§7-4

平面弯曲时梁横截面上的正应力§７-5

平面弯曲正应力公式应用举例§７-６

梁的强度计算§７-７

结论与讨论1§７-1

工程中的弯曲构件Ⅰ.关于弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。2弯曲变形3工程实例F2F14纵向对称面

对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。

非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。5本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。6Ⅱ.梁的计算简图对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。F7(1)支座的基本形式1.固定端——实例如图a，计算简图如图b,c。(b)(c)MRFRxFRy(a)8

2.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。

3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。9悬臂梁(2)梁的基本形式简支梁外伸梁10在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3)静定梁和超静定梁图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。11§７-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图Ⅰ.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)

图a所示跨度为l的简支梁其约束力为梁的左段内任一横截面m－m上的内力，由m－m左边分离体(图b)的平衡条件可知：12它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是m－m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加以检验：13从而有14梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。15为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。16综上所述可知：

(1)

横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。

(2)

横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。

1.

不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。17

2.

截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。18Ⅱ.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。19图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。(a)20距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有解：1.列剪力方程和弯矩方程当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。FS(x)212.

作剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。(b)(c)22由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为(负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。(b)(c)(a)23图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束力(a)242.

列剪力方程和弯矩方程FS(x)25由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为(正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为发生在跨中横截面上。3.

作剪力图和弯矩图26简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！27图a所示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。F(a)解：1.

求约束力282.列剪力方程和弯矩方程此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。FAC段梁FS(x)29CB段梁FFxFS(x)303.作剪力图和弯矩图如图b及图c。由图可见，在b>a的情况下，AC段梁在0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大，；集中荷载作用处(x=a)横截面上的弯矩值最大，。(b)(c)314.

讨论由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度

x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在

x范围内是均匀的(图a),则剪力图在

x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。32图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.

求约束力332.列剪力方程和弯矩方程

此简支梁的两支座之间无集中荷载作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同，从而可知两段梁的剪力方程相同，即xxFS(x)FS(x)34至于两段梁的弯矩方程则不同：AC段梁：CB段梁：xxFS(x)FS(x)353.作剪力图和弯矩图36如图可见，两支座之间所有横截面上剪力相同，均为。在b>a的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，为（负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。37思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问：

(a)此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？

(b)荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。38思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问：

(a)如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？

(b)如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？C39

例

简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：1.求支座约束力可利用平衡方程对所求约束力进行校核。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB402.建立剪力方程和弯矩方程

AC段：

CB段：

(a)

xBAl/2l/2CqFAFB413．求控制截面内力，绘FS,M图

FS图：AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可CB段内剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql42M图：AC段内弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql243我们可以发现，对于该梁来说有CB段内弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，并连成直线即可。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql244

（a）

当梁上有向下的均布荷载时，剪力图为一条直线，其斜率为负；而且，这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中：(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql245(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2

（b）从剪力图可见，随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值，故弯矩图切线的斜率也应随x的增大而由正值逐渐变为负值；且在的截面处，即弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值；46

（c）由可知，弯矩图的曲率为负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时，弯矩图为下凸的二次曲线。(a)

xBAl/2l/2Cq(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql247Ⅲ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x),FS(x)与q(x)间微分关系的导出

从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。48从而得：由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项，即得49应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得50常见荷载下FS，M图的一些特征51集中力作用处集中力偶作用处若某截面的剪力FS(x)=0，根据，该截面的弯矩为极值。

52

利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：

(1)

求支座约束力；

(2)

分段确定剪力图和弯矩图的形状；

(3)

求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；

(4)

确定|FS|max和|M|max

。53

例题一简支梁在其中间部分受集度为q=100kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq-54而根据可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为1.

校核剪力图

解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq该梁的AC段内无荷载，55对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100kN/m。+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq根据可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100kN。根据斜直线的斜率为，可证实D截面处的剪力确应为56对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq572.

校核弯矩图这与图中所示相符。该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq58事实上，这个弯矩值也可根据此式中的从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）通过积分来复核：59对于该梁的CD段，根据可知：弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq60由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq61在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据可知，这些均与图(c)中所示相符。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）62对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。+-100kN100kNFSxFS

图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq63已知：图中梁的约束力为思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：(a)64图中梁的约束力为正确答案：(b)65图中梁的约束力为正确答案：(c)66Ⅳ.

按叠加原理作弯矩图67

(1)在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为(a)68这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。(b)(c)(a)69

(2)

叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。70

(3)示例图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载

作用的悬臂梁，其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c所示，该梁分别受集中荷载F和满布均布荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)71○-﹢○F(a)﹢○○-FF=ql/4(b)(c)﹢○﹢○F○-○-72图d为直接将图b和图c中两个弯矩图叠加后的图形，将图中斜直线作为弯矩图的水平坐标轴时，它就是图a中的弯矩图。(c)○-○-﹢○○-(d)73作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理作弯矩图。由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为(负值),最大弯矩为(负值)，而极值弯矩并非最大弯矩。○-﹢○F(a)﹢○○-F74第一节静矩和形心一、静矩(面积矩）定义：微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为和

截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为：

静矩为代数值。静矩单位：

不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。75

二、形心公式：

三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：四、组合截面形心公式：

例5-1求图示T形截面形心位置。

解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。

分解图形为１、２两个矩形，则若分解为１、２、３三个矩形，则76

解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则求图示图形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xc=0目录77求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，

所以

目录78第二节惯性矩和惯性积一、极惯性矩：

定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。

截面对坐标原点o的极惯性矩为：

简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。

实心圆截面：

空心圆截面：

二、惯性矩：

定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：79

定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。

特点：①惯性积是截面对某两个正交坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积均不同。惯性积是代数值。

单位：②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。

惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。

惯性矩单位：m4或mm4；惯性矩恒为正值。

简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。三、惯性积：80例5-2求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。

解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：取微面积dA=hdz,则：例5-3圆形截面对其形心轴的惯性矩。解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：取微面积dA=dzdy，则：81第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式

组合截面的惯性矩和惯性积1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式设有面积为A的任意形状的截面。C为其形心，Cxcyc为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy,形心C在在Oxy坐标系下的坐标为(a,b)任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx82同理，有：（此为平行移轴公式）注意：式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。832.组合截面的惯性矩和惯性积根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：84求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：（1）求形心坐标xyb(y)ycCdxc85（2）求对形心轴xc的惯性矩由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc86试求图a

所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。（1）矩形对x的惯性矩：（2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p87（3）一个半圆对x的惯性矩：由平行移轴公式得：（4）整个截面对于对称轴x的惯性矩：88

第四节主惯性轴和主惯性矩：

主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积

的这对正交坐标轴；

主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；

形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；

形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。返回下一张上一张小结若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。几个结论89303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：再求截面对形心轴的惯性矩：yCzyCzC90求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆91思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正确答案是(C)xABDyOab92思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中

为任意值），该图形的:(1)惯性积Ixy＝＿＿(2)惯性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa

答案：0；a4/24;a4/24

93小结一、静矩：性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；

二、极惯性矩：实心圆截面：空心圆截面：三、惯性矩：

四、惯性积：矩形截面：圆形截面：几何关系：五、平行移轴公式：返回下一张上一张小结94

六、主惯性轴和主惯性矩：

形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；

形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。

主惯性轴（主轴）—使

的这对正交坐标轴；

主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；七、平面图形几何性质的几何意义：

1.

静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度；

2.

极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度；

3.

惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程度；

4.惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。返回下一张上一张小结95§７-4

梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件

纯弯曲

(purebending)━━梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。MeM96

横力弯曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。97Ⅰ.纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导

(1)

几何方面━━藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：(a)98弯曲变形99

1.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；100

2.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。101

根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。102横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层

(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴

(neutralaxis)。（f)103令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义有纵向线应变在横截面范围内的变化规律

图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为(c)104即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离

y成正比。(c)弯曲变形105小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。

(2)物理方面━━藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律找出横截面上正应力的变化规律。梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。M106

(3)静力学方面━━藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即(d)107将代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而108其中为截面对于z轴的静矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其单位为m3。为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。为截面对于z轴的惯性矩(momentofineritaofanarea)或二次轴矩，其单位为m4。109由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：

1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴

z通过横截面的形心；

2.横截面对于

y轴和

z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)110由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：(c)111

应用此式时，如果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。112

中性轴z

为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。第四章弯曲应力dzyo(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)113中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(sectionmodulusinbending)，其单位为m3。hbzyodzyo114中性轴

z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为115简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数(1)矩形截面116思考:

一长边宽度为

b，高为

h的平行四边形，它对于形心轴

z的惯性矩是否也是？117(2)

圆截面在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：zoyyzdA而由图可见，ρ2=y2+z2,

从而知118而弯曲截面系数为根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA119(3)

空心圆截面由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有式中，。dOyzD120根据对称性可知：思考：

空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？而空心圆截面的弯曲截面系数为第四章弯曲应力dOyzD121型钢截面及其几何性质：参见型钢表需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。122Ⅱ.纯弯曲理论的推广工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即123图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。计算A截面上K点的弯曲正应力。124解：先计算截面上的弯矩截面对中性轴的惯性矩(momentofinertia)A截面上的弯矩为负，K点在中性轴(neutralaxis)的上边，所以为拉应力。

125图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。126

解：在不考虑梁的自重()的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为127由型钢规格表查得56a号工字钢截面于是有危险截面上点a处的正应力为128该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：129显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为130Ⅲ.梁的正应力强度条件等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：式中，[s]为材料的许用弯曲正应力。131对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作由拉、压许用应力[st]和[sc]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。132①强度校核在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。

σmax=Mmax/Wz≤［σ］②截面设计当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数

Wz≥Mmax/［σ］再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。③确定许可荷载如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最大弯矩

Mmax≤Wz［σ］再由Mmax与荷载间的关系计算出许可荷载。133(a)(b)图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。134解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示135强度条件要求：此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为136此时危险截面上的最大工作应力为其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。如果计入梁的自重，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为137图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493×104mm4。已知图a中，b=2m。铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa

。试求梁的许可荷载[F]。(a)(b)138

解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为根据可知此sc,max并未达到许用压应力[sc]，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。139最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则上边缘处的最大压应力sc,max为，它远小于[sc]故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。140由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：C截面：141当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]：由此得F≤19200N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2kN。142dx§7-5

梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件Ⅰ.

梁横截面上的切应力(1)矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO143由于m－m和n－n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mm'A1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。144它们分别为式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。145即由于，故纵截面AA1B1B上有切向内力dF'S(图b)：146为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dF'S对应的切应力t'，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t的情况：147

1.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；

2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。148从而对于狭长矩形截面可以假设：1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy149于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t'均与横截面正交，且大小相等。至于t'在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t'在该纵截面范围内是没有变化的。于是有150以上式代入前已得出的式子得根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t必与t'互等，从而亦有151矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式zyyy1式中，FS为横截面上的剪力；Iz

为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。152横截面上切应力的变化规律前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t在与中性轴垂直方向的变化规律。上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关