理解练习知识题及参备考资料答案解析

**第四章静态场的解 练习题1、设点电荷q位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求谢谢阅读（1）画出镜像电荷所在的位置（2） 直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式精品文档放心下载（3）qqq图1图2解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。（2）如图2所示任一点(x,y,z)处的电位为q11114rrrr01234r x12y22z2精品文档放心下载1r x12y22z2感谢阅读其中， 2r x12y22z2感谢阅读3r x12y22z2感谢阅读42、两个点电荷Q和Q位于半径为a的接地导体球的直径延长线上，距球心均为感谢阅读2a3Qd。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为 d2 。感谢阅读证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q和－Q的镜像电荷Q,Q分别位于球内＋Q和－精品文档放心下载Q连线上大小分别为aQa2（分别位于球心两侧）。可见Q,Q构D，且分别距球心为D**成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：aa22a3QpqlQ。结论得证。DDD23、已知一个半径为a的接地导体球，球外一个点电荷q位于距球心O为d处。利用镜感谢阅读像法求球外空间任意点的电位分布。解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷q必定位于球内，且在q与球心0连线上，感谢阅读位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件(球）=0可取球面上两个特殊感谢阅读A,B讨论。A,B是q与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：谢谢阅读q(A)4(d0q(B)4(d0解此方程组得：qaq,fa2。谢谢阅读d d所以任意场点P(x,y)处的电位为：

q，0a)4(af)0a)4(af)0。0q4r4r。0 0其中r,r分别是点电荷q和q到场点P的距离。谢谢阅读值分别为r[(xd)2y2]12,r[(xf)2y2]12。精品文档放心下载4、半径为a的不接地导体球附近距球心O为d（da）处有一点电荷q，用镜像法计算感谢阅读球外任一点的电位。解：由点电荷的球面镜像法可知，q的像电荷除了有q（即导体球接地时对应的结果，谢谢阅读aq，其位置为fa2），还在球心处有另外一个镜像电荷q，以保证导体球面电qdd势不为零的边界条件成立，且可知qq。感谢阅读**所以任意场点P处的电位为：qq4r4r4r感谢阅读0 0 0其中r,r,r分别是点电荷q、q和q到场点P的距离（可在具体坐标系中表示出来）。谢谢阅读5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h。精品文档放心下载（1）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。精品文档放心下载（2）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为－1。精品文档放心下载解：（1）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即0。故电位函数满足拉普拉谢谢阅读斯方程 20。建立坐标系，令z0为导体平面，已知点电荷位于z轴上，坐标为（0，谢谢阅读0，h）。边界条件为： ()0,(z0)0。则镜像电荷位于z轴上（0，0，h）精品文档放心下载点，大小为-1.于是空间任意场点P【坐标为（x,y,z），】的电位为已知点电荷1与镜像电谢谢阅读荷-1共同产生的，其值为11。其中r,r是场点分别到已知点电荷1与4r4r/00镜像电荷-1的距离，其值分别为r2x2y2(zh)2,rx2y2(zh)2。（2）证明：由上题电位值可计算出P点的电场强度各分量的值份分别为Ex(11),Ey(11),E1(zhzh)x4r3r3y4r3r3z4r3r3000由静电场的边界条件D，可得导体表面的电荷面密度为：nsEhs0Z2(x2y2h2)32所以导体表面上总感应电荷为：qdshdxdy1，结论得证。s2(x23y2h2)26、如题图（a）所示，在z0的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为谢谢阅读空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q。求**（1）z0和z0的两个半空间内的电位；精品文档放心下载（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。感谢阅读z z zqho

qR1qqhPhR2o0ohR0P2.13q题4.24图（a）题4.24图（b）题4.24图（c）解：（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷精品文档放心下载替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）谢谢阅读、（c）所示）q0q，位于zh0q0q，位于zh0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即谢谢阅读qq4R4R1010q14r2(zh)20

10(zh)2r20下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即感谢阅读qqq12)r2(zh)24R2(20（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为感谢阅读n•PP (EE)感谢阅读p 1 2 z0 0 1z 2z z0**(()hq21)00zzz02()(r2h2)320极化电荷总电量为q2rdr()hqrdrdS0(r2h2)32PPPS000(0)qq07、如图示，一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点D电荷q。dQqoqqz（1）求点电荷q与导体球之间的静电力；R（2）证明当q与Q同号，且QRD3RqD(D2R2)2成立时，F表现为吸引力。解：（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异精品文档放心下载号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题图所感谢阅读示）Rq，R2qdDDqqDRq，d0谢谢阅读导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电精品文档放心下载力为FFFFqqqqqqQq4(Dd)24D200**qQ(RD)qRqD42（2）当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F0时，则应有Q(RD)qRq0D2DDRD22由此可得出QRD3RqD(D2R2)28、已知一点电荷q与无穷大导体平面相距为h，若把它移动到无穷远处需要作谢谢阅读多少功？解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。令已知点电荷q位谢谢阅读于坐标轴上，距坐标原点为h。直接计算电场力做功为谢谢阅读WqE•dl其中电场是已知点电荷q所在空间的电场（由q以外的电荷所激发），即镜像电谢谢阅读荷q在此空间产生的电场：qˆqeˆyE4(2y)2ey4(2y)200则要求的功为qqdyWqE•dlqEdyq2hh4(2y)16200可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为q2W09、无限大导体平面上方有一电荷线密度为l的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为h，求此电荷线单位长度所受的力。精品文档放心下载**解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知，精品文档放心下载同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。因此，长直线电荷的镜像电荷为线精品文档放心下载l密度为，距离导体平面为h的电荷。已知线电荷所受的力即镜像电荷感谢阅读l l l在此空间产生的电场E所施加。其电场为lrerl0则长度为L的线电荷l（总电荷QlL）所受的电场力为谢谢阅读FQEL2Llll2π(2h)4πh00故单位长度所受的力为：F2fLl4πh010、一导体长槽两侧壁向y方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为U，如图精品文档放心下载0所示。求槽横截面内的电位分布。解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数x,y满足的拉普拉斯方程为：2x,y2202y2边界条件为：0x00aUy0 00利用分离变量法，令：x,yfxgy谢谢阅读则得：**d2fk2f0dx2xd2gk2g0dy2yk2k20xy0，x,y的通解可写为：根据边界条件x0xaynnx,yAsinaxeaynn1再由边界条件，可得nUAsinxy0na0n1利用三角函数的正交归一性，求得A为：nA4U0n1,3,5nn则得槽内的电位分布为x,y4Unnyn0sinxean1,3,5...a11、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相精品文档放心下载绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U，求槽内的电位函数。谢谢阅读0解：根据题意，电位(x,y)满足的边界条件为感谢阅读**(0,y)(a,y)0(x,0)0(x,b)U0根据条件①和②，电位(x,y)的通解应取为Asinh(ny)sin(nx)(x,y)aan1由条件③，有UAsinh(nb