摩擦型带传动的运动分析

摩擦型带传动的运动分析

摩擦带的传动利用了带和轴之间的摩擦运动和动力。由于带是弹性体,在传递运动和动力时,紧边和松边不同的拉力,造成带不同的拉伸弹性变形,使带与带轮之间产生弹性滑动。带传动的这一物理现象在许多文献中只给出较为准确的定性描述。笔者利用摩擦理论对带传动的弹性滑动进行定量分析,从理论上证明弹性滑动总是出现在带绕出带轮的一侧,并推导了在给定工作情况下弹性滑动角和弹性滑动率的计算公式,为带传动的设计计算提供一些理论依据。1计算的弹性滑动角的位置和公式1.1弹性模量法求解实践表明,带传动的弹性滑动总是发生在带绕出带轮的一侧,如图1(a)中的α′1和α′2即为主、从动带轮上的弹性滑动角(α″1和α″2为主、从动带轮上的静角),这一点可从理论上给予证明。在图1(a)示的2个带轮上,装有截面积为A(带传动不传递载荷时)的带。工作时,紧边受拉力F1,带截面积变为A1;松边受拉力F2,带截面积变为A2。若紧边和松边带的密度为ρ1、ρ2,带速为υ1、υ2,则按每个截面单位时间内通过的带质量相等的条件可得:A1ρ1υ1=A2ρ2υ2(1)A1ρ1υ1=A2ρ2υ2(1)设在F1,F2拉力作用下,带的纵向应变量为ε1、ε2,若带的泊松比为γ,则得:{A1=A(1-γε1)2A2=A(1-γε2)2(2){A1=A(1−γε1)2A2=A(1−γε2)2(2)若带不传递载荷时的密度为ρ,则由一段带受力前后质量不变的条件可得:{ρ1=ρ/[(1+ε1)(1-γε1)2]ρ2=ρ/[(1+ε2)(1-γε2)2](3){ρ1=ρ/[(1+ε1)(1−γε1)2]ρ2=ρ/[(1+ε2)(1−γε2)2](3)将式(2)、(3)代入式(1)可得:υ1=(1+ε1)(1+ε2)υ2(4)υ1=(1+ε1)(1+ε2)υ2(4)设E为带的弹性模量,则ε1=F1/EA,ε2=F2/EA,则υ1>υ2。如图1(a)示,在主动带轮上,B0B1是静弧,带在B0点以主动带轮的表面速度υ1进入主动带轮,带与带轮表面间无相对滑动,即在B0B1段,带与带轮表面速度是相等的,都是υ1。而在带进入滑动弧B1B2段时,带速会逐渐小于带轮表面速度υ1,在绕出端终点B2,带以速度υ2离开主动带轮,而主动带轮的表面速度始终为υ1。由此可知,带在绕过主动带轮时,由于带中拉力逐渐降低,应变逐渐减小,带在弹性滑动弧B1B2段发生与带轮表面运动方向相反的弹性滑动。主动带轮对带的摩擦力与带的运动方向一致,如图1(a)示,此分布摩擦力对主动带轮转动中心O1之矩与带传动的驱动力矩M1方向相同。在从动带轮上,D0D1是静弧,带在D0点以从动带轮的表面速度υ2进入从动带轮,带与带轮表面间无相对滑动,即在D0D1段,带与带轮表面速度是相等的,都是υ2。而在带进入滑动弧D1D2段时,带速会逐渐大于带轮表面速度υ2,在绕出端终点D2,带以速度υ1离开从动带轮,而从动带轮的表面速度始终为υ2。由此可知,带在绕过从动带轮时,由于带中拉力逐渐增大,应变逐渐增加,带在弹性滑动弧D1D2段发生与带轮表面运动方向相同的弹性滑动。从动带轮对带的摩擦力与带的运动方向相反,如图1(a)示,此分布摩擦力对从动带轮转动中心O2之矩与带传动的工作阻力矩M2方向相同。若假定弹性滑动角的位置出现在每个带轮的绕入端,如图1(b)示。在主动带轮上,B0B1是滑动弧,在带的绕入端带与带轮之间将产生弹性滑动,而在带的绕出端带与带轮表面速度是相等的,即松边带速与主动带轮表面速度相等。这时,若要满足紧边带速υ1大于松边带速υ2的条件,就必须使带速在滑动弧上超前于带轮表面速度,即带相对于带轮的弹性滑动与主动带轮转向相同。带的弹性滑动方向与其工作面所受到的驱动摩擦力的方向一致,显然这与摩擦定律相矛盾。若要使带速在弹性滑动弧上滞后于带轮表面速度,即使带相对于带轮的弹性滑动方向与主动带轮转向相反,也会产生紧边的带速υ1小于松边的带速υ2,这又与在每个截面位置处单位时间内通过的带质量相等的条件相矛盾。因此,在主动带轮上,只有当弹性滑动弧处于带的绕出端时,才能同时满足紧边带速υ1大于松边带速υ2和带速在弹性滑动弧上滞后于主动带轮的表面速度。对从动带轮也可作同样的证明。也就说,弹性滑动的区域,即弹性滑动角只能在每个带轮的绕出端,并且它的大小会随工作条件的变化而变化,它不是一个定值。1.2弹性滑动角的计算如图1(a)示,若带的单位长度质量为q,带与带轮槽的当量摩擦系数为f′(对V带传动,通常取f′=0.51),带速为υ,主动带轮上的包角为α1。分离主动带轮为研究对象,考虑离心惯性力的影响,由柔韧体摩擦的欧拉公式可得出紧边拉力F1与松边拉力F2间的关系为:F1-qυ2=(F2-qυ2)ef′α′1(5)若带传动的计算功率为Pc,有效拉力为Fe,带的初拉力为F0,则对于非自动张紧的带传动,有:F1+F2=2F0(6)又F1-F2=Fe(Fe=1000Pc/υ)(7)由式(6)、(7)可得:{F1=F0+Fe/2F2=F0-Fe/2(8){F1=F0+Fe/2F2=F0−Fe/2(8)将式(8)代入式(5)得主动带轮上弹性滑动角的计算公式为:α´1=1f′ln2(F0-qυ2)+Fe2(F0-qυ2)-Fe分离从动带轮为研究对象,用类似的方法可得从动带轮上弹性滑动角的计算公式为:α´2=1f′ln2(F0-qυ2)+Fe2(F0-qυ2)-Fe可见,主、从动带轮上弹性滑动角α′1和α′2是相同的,故带传动弹性滑动角的计算公式为:α′=1f′ln2(F0-qυ2)+Fe2(F0-qυ2)-Fe(9)由式(9)可见,弹性滑动角α′不是常量,它随带的初拉力F0、有效拉力Fe等发生变化,B1和D1点的位置在主、从带轮上是变动的。初拉力F0减小,弹性滑动角α′增加;工作阻力矩增加,紧边拉力F1与松边拉力F2之差也增加,使得弹性滑动角α′也增加。而α1是一个决定于带传动几何尺寸的常量,若带传动的初拉力过大或实际功率大于额定功率时,就会使α′>α1,所以就会首先在小带轮上出现打滑现象(对于减速传动,α1<α2)。若能事先计算出α′的大小,就可以对带传动工作时出现打滑的可能性进行预测,并根据预测结果采取相应措施,以保证带传动正常工作。例1:已知一带传动采用B型V带,根数z=4,带的基准长度Ld=2000mm,主、从动带轮的基准直径分别为dd1=140mm,dd2=315mm,中心距a=637mm,小带轮包角α1=164°,带速υ=10.6m/s(小带轮转速n1=1440r/min),V带每米带长质量为q=0.17kg/m,带传动计算功率Pc=9kW。试求单根带初拉力分别为150N、190N、300N时,弹性滑动角α′的计算值,并分别预测打滑的可能性。qυ2=0.17×10.62=19.1ΝFe=1000×9/10.6×4=212.3Ν工况1:α′=10.51ln2×(150-19.1)+212.32×(150-19.1)-212.3=4.41rad=252.8°α′>α1,带传动打滑,不能正常工作,应增大初拉力。工况2:α′=10.51ln2×(190-19.1)+212.32×(190-19.1)-212.3=2.85rad=163.3°α′≈α1,带传动处打滑临界状态,发挥最大工作能力。工况3:α′=10.51ln2×(300-19.1)+212.32×(300-19.1)-212.3=1.553rad=89°α′<α1,带传动不打滑,但初拉力过大,将引起带中应力过大,缩短带的寿命。2弹性滑动速度和弹性滑动率2.1摩擦滑动角内各点协同关系弧上式滑动如图2示,在主动带轮内取微段dl=υdt,若dl的原长(带传动不传递载荷时的长度)为dl0,微段带长所受拉力为F,相应的纵向线应变为ε,则:dl=dl0(1+ε)即:dl0=dl1+ε=dl1+F/EA,经过C0截面后,由于拉力减小而引起的缩短量为:Δdl0=-dFdl0EA=-dFEA(1+F/EA)dlBB0段带在接触弧上的缩短量为:s=∫α0Δdl0=-∫α0dFEA(1+F/EA)dl则弹性滑动速度为:υs=dsdt=-1EA∫α0dF1+F/EAdldt=υln1+F1/EA1+F/EA(10)弹性滑动角内任意点带速:υ=υ1-υs(11)将式(11)代入式(10),可得:υs=υ1ln1+F1/EA1+F/EA1+ln1+F1/EA1+F/EA(12)式(12)中F1/EA<<1,F/EA<<1,故近似取:ln1+F1/EA1+F/EA=ln(1+F1-FEA)将上式展开成级数,只保留第一项代入式(12),可得:υs=υ1(F1-F)EA(1+F1-FEA)(13)由式(13)可知,带在主动带轮的绕入端,F=F1,故υs=0;在主动带轮的绕出端,F=F2=Fmin,故υs=υmax。即在主动带轮上,随着带沿着带轮的绕进,弹性滑动速度逐渐增加,在绕出端达到最大值。若在从动带轮上进行分析,可得到类似的结果。2.2弹性滑动率计算公式带在主动带轮的绕出端,υ=υ2,F=F2,则由式(11)得υs=υ1-υ2,故由式(13)可得:υ1-υ2=υ1(F1-F2)EA(1+F1-F2EA)(14)由于F1-F2EA＜＜1,故式(14)可近似写成:υ1-υ2υ1≈F1-F2EA=FeEA=ε1-ε2=Δε=ξ(15)式中:ξ为弹性滑动率,上式就是带传动弹性滑动率的计算公式。由式(15)可见,弹性滑动率ξ等于带紧边应变量ε1与松边应变量ε2之差Δε。在正常工作情况下,ξ与带传动的有效拉力Fe成正比(假设E为常量),当带传动的有效拉力达到极限值Felim时,弹性滑动率也达到最大值ξmax。例2:已知带传动传递的计算功率Pc=12kW,小带轮转速n1=1450r/min,大带轮转速n2=630r/min,采用B型V带,根数z=5,带速υ=10.6m/s,试计算其弹性滑动率。查手册:A=138mm2,E=80MPaFe=1000×12/5×10.6=226.415Ν则∶ξ=