基于有理分式多项式的正交多项式

基于有理分式多项式的正交多项式

负频率下的拟合频响函数基于等分法建立的频响函数结构函数的分析模型，然后应用最小二乘方法确定系统的模型参数，这是实验模型分析中最常用的方法之一。但是为保证拟合频响函数在傅氏域的共轭对称,拟合时需引入负频率的虚拟测量点,从而导致方程式在多项式阶次较高时出现病态,尤以应用有理分式幂多项式拟合频响函数时最为严重。为使病态问题得到缓解,一般应用有理分式正交多项式构建频响函数的分析模型,但是当被拟合的测量频率点数增加时,其计算量和方程式的病态仍然是值得考虑的问题。本文针对该问题对实域离散点列上的正交多项式进行了推广,得到一种改进的傅氏域离散点列上的正交多项式,不但避免了由负频率引入的冗余计算问题而且使方程式得到解耦。这一改进使应用有理分式多项式进行模态参数识别的方法更为高效。1模态补偿ij在实验模态分析中,结构的频响函数往往采用有理分式多项式模型。即频响矩阵中第i行,第j列元素为Ηij(jω)=Ν(jω)D(jω)=a0+a1jω+⋯+a2Ν-2(jω)2Ν-2b0+b1jω+⋯+b2Ν(jω)2Ν(1)Hij(jω)=N(jω)D(jω)=a0+a1jω+⋯+a2N−2(jω)2N−2b0+b1jω+⋯+b2N(jω)2N(1)式(1)的形式仅适用于待识别的模态数与系统的自由度数量相等的情况,而实际系统往往并非如此,一般需计及分析频段外的模态影响。Richardson曾用增加分子多项式阶数的方法来补偿频段外模态对分析频段内频响的影响。在此,有必要将频响矩阵元素写成更为通用的形式Ηij(jω)=Ν(jω)D(jω)=m∑k=0akφk(jω)n∑k=0bkθk(jω)(2)Hij(jω)=N(jω)D(jω)=∑k=0makφk(jω)∑k=0nbkθk(jω)(2)式中待定系数ak,bk∈R,bn=1;φk(jω),θk(jω)为幂函数或傅氏域离散点列上的正交多项式。2频响测量条件令频响函数的理论模型值与测量值之间误差为e´l=Η(jωl)-˜Η(jωl)=m∑k=0akφk(jωl)n∑k=0bkθk(jωl)-˜Η(jωl)(3)e′l=H(jωl)−H˜(jωl)=∑k=0makφk(jωl)∑k=0nbkθk(jωl)−H˜(jωl)(3)式中˜Ηij(jωl)为频响函数在频率ωl处的实测值。为使误差对系数ak,bk线性化,变换式(3)为el=m∑k=0akφk(jωl)-˜Ηij(jωl)[n-1∑k=0bkθk(jωl)+θn(jωl)](4)进一步可将误差向量e表示为e=ψA-ΘB-w(5)式中e=(e1e2⋯eL)Τ,L为频响测量点数。定义总方差J=L∑k=1e*kek=eΗe(6)为求得J的极小值,可使J对向量A,B偏导为零,即令∂J∂A=0,∂J∂B=0,推得[YXXΤΖ](AB)={GF}(7)式中X=-Re(ΨΗΘ)‚Y=12(ψΗψ+ψΤψ*)‚Ζ=12(ΘΗΘ+ΘΤΘ*)‚G=Re(ψΗw)‚F=-Re(ΘΗw)。3离散点列上的本类型化求解式(7)得到最小二乘意义上频响函数的最佳拟合。然而分析模型式(2)若采用幂多项式将导致式(7)在幂次较高时出现病态。为此,文献应用forsythe正交多项式构建频响函数的分析模型,使式(7)得到解耦,从而改善方程的病态问题。由forsythe正交多项式结构易知其构造过程需要负频率上的虚拟测量值。为避免引入虚拟测点,需要对其进行改进。文献详述了实域离散点列上正交多项式的性质和构造方法。前者应用归纳法证明正交多项式的存在性,后者则给出了构造方法。本节将对其进行推广,提出一种改进的傅氏域离散点列上的正交多项式,该正交多项式无需考虑负频率,亦能使方程式解耦。下面将给出该多项式的构造过程。为使方程式(7)解耦,本文作出下面假设条件{L∑k=112(φ*s(jωk)φt(jωk)+φs(jωk)φ*t(jωk))={0,s≠t1,s=tL∑k=112|˜Ηij(jωk)|2(θ*s(jωk)θt(jωk)+θs(jωk)θ*t(jωk))={0,s≠t1,s=t(8)在条件(8)下,式(7)的分块矩阵的对角元素将简化为单位矩阵,从而得到解耦形式的方程{(Ι-XΤX)B=-XΤGA=G-XB(9)根据式(8),对于给定点列{jωk}Lk=1(ωk<ωk+1)及加权系数{wk}Lk=1(wk>0),定义在离散傅氏域中的内积公式(f(jω),g(jω))△=L∑k=112wk(f*(jωk)g(jωk)+f(jωk)g*(jωk))(10)易证该内积公式具有如下性质{(αf,βg)=αβ(f,g),(α,β∈R)(jωf,g)=-(f,jωg)(f,g)=(g,f)(f,g+h)=(f,g)+(f,h)(11)给出傅氏域离散点列上的正交多项式递推公式如下{φ0(jω)=1φk(jω)=(jω)k-k-1∑s=0((jω)k,φs(jω))(φs(jω),φs(jω))φs(jω)(k=1,2,⋯,L-1)(12)由上式生成的多项式序列{φk}L-1k=0是在式(10)内积意义下正交的,其正交性可利用内积的性质检验。然而值得注意的是式(12)中幂项的存在使得计算时易造成溢出或截断误差。为克服该缺陷,下面将首先给出式(12)的等价表达式,即傅氏域离散点列上的三项递推公式,并推导之。{φ0=1φ1=jωφk+1=(jω)φk+(φk,φk)(φk-1,φk-1)φk-1(k=1,2,⋯,L-2)(13)推导过程如下φ0=1(13a)φ1=jω-(jωφ0,φ0)(φ0,φ0)(13b)φk+1=(jω)k+1-k∑s=0((jω)k+1,φs)(φs,φs)φs(k=1,2,⋯,L-2)(13c)因为φk是首“1”多项式,(jω)k+1可表示为(jω)k+1=(jω)φk+k∑s=0csφs(13d)注意到(jω)φs=φs+1+Ρs(13e)式中Ps为次数不超过s的某一多项式。利用正交性得((jω)k+1,φs)=(jωφk,φs)+cs(φs,φs)=-(φk,jωφs)+cs(φs,φs)=-(φk,φs+1)-(φk,Ρs)+cs(φs,φs)(13f)(s=0,1,2,⋯,k)分段表示之为((jω)k+1,φs)={cs(φs,φs),(s=0,1,⋯,k-2)-(φk,φk)+ck-1(φk-1,φk-1),(s=k-1)-(φk,jωφk)+ck(φk,φk),(s=k)(13g)将式(13d)和(13g)代入式(13c),得φk+1=(jω+(φk,jωφk)(φk,φk))φk+(φk,φk)(φk-1,φk-1)φk-1(13h)由内积性质知(φk,jωφk)=-(jωφk,φk)=-(φk,jωφk)即有(φk,jωφk)=0,从而式(13-8)化为φk+1=(jω)φk+(φk,φk)(φk-1,φk-1)φk-1(13i)至此证毕。进一步对各正交多项式进行归一化处理,以满足式(8)中自积为“1”条件。归一化如下˜φk=φk√(φk,φk)(14)4n2n的及其归纳法证明文献为保证拟合频响函数在傅氏域中具有共轭对称性,在拟合时引入负频率上的虚拟测量点,并令˜Ηij(jω-l)=˜Ηij(-jωl)=˜Η*ij(jωl)(l=1,2,⋯,L)(15)该方法使被拟合的离散点列数量增加了一倍,扩大了式(7)系数矩阵的规模,并易使该方程式产生病态。本节将论证若分析模型(2)采用正交多项式式(13),则在进行频响数据拟合时无需引入负频率上的虚拟测量点亦能满足式(15)的约束。由三项递推公式(13)得到如下结论(假设L为偶数){φk=n∑i=0cki(jω)2i,k=2nφk=n∑i=0cki(jω)2i+1,k=2n+1(n=0,1,2,⋯,L/2-1)(16)据归纳法证明如下φ0=1(16a)φ1=jω(16b)显然满足式(16),假设φ2n及φ2n+1满足式(16),将φ2n和φ2n+1代入式(13)得φ2n+2=(jω)φ2n+1+(φk,φk)(φk-1,φk-1)φ2n=n∑i=0c(2n+1)i(jω)2(i+1)+(φk,φk)(φk-1,φk-1)n∑i=0c2ni(jω)2i=n+1∑i=0di(jω)2i(16c)式中di为常系数。可见φ2n+2亦满足式(16),结论得证。由式(16)易知序列号为偶数的多项式为偶函数,而序列号为奇数的多项式为奇函数。故有下式成立Ηij(jω)=Ν(jω)D(jω)=m∑k=0akφkn∑k=0bkθk△=Νeven(ω)+jΝodd(ω)Deven(ω)+jDodd(ω)(17)式中{Νeven=∑evenakφk,jΝodd=∑oddakφkDeven=∑evenbkθk,jDodd=∑oddbkθk∑even为多项式序列号为偶数的和式,∑odd为多项式序列号为奇数的和式,Neven,Deven为偶函数,Nodd,Dodd为奇函数。最后,由式(16)得Ηij(-jω)=Νeven(-ω)+jΝodd(-ω)Deven(-ω)+jDodd(-ω)=Νeven(ω)-jΝodd(ω)Deven(ω)-jDodd(ω)=Η*ij(jω)(18)可见,采用式(13)正交多项式拟合的频响函数能自动满足式(15)的约束,无需再引入任何负频率上的虚拟测量点。5拟合频响函数的建立本节将对四自由度和八自由度线性阻尼系统(图1所示)进行分析,目的是验证本文所提出的傅氏域离散点列上的正交多项式对频响函数的拟合能力,同时,给出其与普通forsythe正交多项式的比较。四自由度系统参数为m1=0.4,m2=0.8,m3=1.2,m4=1.6,c1=c2=c3=c4=12,k1=k2=k3=k4=36000八自由度系统参数为m1=0.4,m2=0.8,…,m7=2.8,m8=3.2,c1=c2=…=c8=12,k1=k2=…=k8=72000易求得该系统频响函数H11(jω)的理论值,并加入3%～5%的随机噪声。以频率间隔5rad·s-1对受噪声污染的频响函数H11(jω)进行取样,取得频响值{Η11(jω1),Η11(jω2),⋯,Η11(jωL)}由式(13)可得式(2)所需的各正交多项式序列{φk},{θk},继而求解式(9)得其待定系数{ak},{bk}。将所得正交多项式和系数代入式(2)即得拟合频响函数ˆΗ11(jω)。其各正交多项式拟合得到的频响函数ˆΗ11(jω)和受噪声污染的原始频响函数H11(jω)的幅值曲线如图2和3所示。由图2和3可见,应用傅氏域离散点列上的正交多项式式(13)拟合频响函数得到的结果与原始频响函数十分吻合。而计及负频率虚拟测点的forsythe正交多项式在模态数量较少时拟合效果较好,但是在模态数量较多时,由于虚拟测点的引入造成系数矩阵规模增大,从而使方程产生病态,其拟合效果较差,甚至出现丢峰现象。6改进的