对称Shannon-Cosine小波的设计及性能分析

对称Shannon-Cosine小波的设计及性能分析摘要本文提出了一种新的加窗框架，不但克服一般加窗Shannon函数的缺点，同时提供一种新颖有效的Shannon-Cosine小波谱方法用于求解分数阶偏微分方程。用Shannon小波和三角多项式构造的Shannon-Cosine小波，可以充分利用sinc函数波形的优势来保持统一的划分。经证明，目标小波函数具有紧支撑性、插值性、对称性、正则性等优异的数值特性。同时，论文运用偏微分方程求解的方法利用构造出来的小波进行图像降噪处理，得到了良好的效果。

AbstractInthispaper,anewwindowedframeworkisproposed,whichnotonlyovercomestheshortcomingsofthegeneralwindowedShannonfunction,butalsoprovidesanovelandeffectiveShannon-Cosinewaveletspectralmethodforsolvingfractionalpartialdifferentialequations.Shannon-CosinewaveletconstructedbyShannonwaveletandtriangularpolynomialcanmakefulluseoftheadvantagesofsincfunctionwaveformtomaintainaunifieddivision.Ithasbeenprovedthattheobjectivewaveletfunctionhasexcellentnumericalcharacteristicssuchascompactsupport,interpolation,symmetryandregularity.Atthesametime,thepaperusesthemethodofsolvingpartialdifferentialequationtodenoisetheimagebyusingtheconstructedwavelet,andachievesgoodresults.

目录中文摘要3英文摘要4目录5选题背景61.1小波的应用与图像的降噪61.2本文的组织结62.Shannon-Consine小波的构建62.1Shannon-Consine小波尺度函数的定义62.2参数的选择72.3Shannon-Cosine函数的傅里叶变换93.逼近误差分析和参数N的选择114.图像的变分偏分方程模型及图像降噪124.1微偏方程的概念124.2图像去噪134.21图像噪声模型及去噪方法144.3蝗虫切片实验降噪实验154.31蝗虫切片显微图像的获取154.32蝗虫切片显微图像降噪效果对比165.总结196.参考文献19选题背景小波的应用与图像降噪本文的组织结构本文第2章描述了Shannon-Cosine小波是如何构建的。第3章给出了小波的误差公式，并在此基础上构造了支持域上的参数N下的优化模型。提供了一系列具有不同支撑域和平滑度的Shannon-Cosine小波。第4章构建图像降噪处理的偏微分方程，并利用该小波进行求解以达到图像降噪的目的。以及蝗虫切片图像降噪的实验。Shannon-Cosine小波的构建Shannon-Cosine小波尺度函数的定义Shannon尺度函数表现为基于以逼近狄拉克δ函数作为带宽限制函数，该式为Φ(2.1)如上文所提到的，Shannon-Gabor尺度尺度函数不是一个紧支撑函数。实际上，指数函数同（2.1）式所示的Shannon尺度尺度函数一样没有紧支撑性。为了克服Shannon-Gabor尺度函数的这两个缺点，我们用余弦函数替代指数函数来调制Shannon尺度函数如下：STR其中，RNx是一个在−N2χ矩形波方程RNx是使得新的模块化香农尺度函数变成一个紧方程，但是破坏了在x=±N/2点的连续性，不满足Sc(x)的归一化。通过选择参数ai(i=0,1,2,…,m)和N可以满足其端点的连续性和归一性。参数N的选择与参数的选择方程式(2.2)中的参数ai(i=0,1,2,…,m)被用于特性化在边界点x=±N/2d(2.3) 很明显Scx的在区间−N2,N2区域上是一个可微函数，但是在区域端点不连续。d(2.4)定义一个截断方程S(2.5)替代x=N2(或者x=−N2)和x=0代入(2.4)式和(2.6)其中行(0,1,…,m)和列(0,1,…,m)表示矩阵M的行和列，A=a0,a1,…,a其中，a0可由式i=0mai=1图1展示了方程Sc(x)和sinc(x)的区别。与sinc(x)相比，Sc(x)拥有紧支撑特性和归一化特性。Shannon-Cosine尺度函数的傅里叶变换为了使Shannon-Cosine尺度函数满足归一化特性，应当合理选择参数N。选择框架依据尺度函数做傅里叶变换。定理2.1（卷积定理）记ℱ为傅里叶变换算子，所以ℱf1(x)ℱ基于卷积定理，可以推断出Shannon-Cosine函数的傅里叶变换。使：t与之相对应的傅里叶形式为:ℱ==依据傅里叶变换的线性属性，我们得到:ℱ=sinc(x)的傅里叶形式可以直接得到，如下ℱ通过频率域卷积定理，函数Sc(x)的傅里叶形式如下：S======当SiS事实上，Shannon-Cosine尺度函数有小波函数的所有特性，并且拥有插值特性和紧支撑域。依据差值小波的定义，我们可以得到综合小波如下：ψ逼近误差分析和参数N的选择等式(2.2)定义了综合插值小波，其紧支撑域为[−N2.随着T→0对于所有的f∈W21(可进行一次微分的L2（4.1）式子说明了，条件∀f∈W21,limϕ(x)是ϕ(x)的对偶函数，也就是显然ϕx=ϕ(x)ϕ使ϕx=S 事实上，使用区间二分法，可以简单得到N的值使得PN=1,在这一部分，提出了一个参数N的选择方法。事实上，Shannon-Cosine整体的划分被这个框架所确定，所以它完全克服了其他加窗sinc函数的缺点。图像的变分偏微分方程模型及图像降噪偏微分方程的概念偏微分方程（partialdifferentialequation缩写为PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。目前在研究中广泛使用的偏微分方程有热传导方程、拉普拉斯方程和波动方程。（1）热传导方程∂u其中u=u(x,t)时扩散过程中某种物质的浓度，或是固体的传热过程中在x处，t时刻的温度。系数ki（2）拉普拉斯方程∆当物体处于热稳定状态时，他的温度不随时间变化，那么温度u=u(x,t)（3）波动方程∂其中u=u(x,t),而F（x图像去噪蝗虫切片图像是研究蝗虫生理结构的有效工具。和普通生物切片图像一样，蝗虫切片图像中的纹理结构呈现为具有多尺度特性的光滑曲线，且边界轮廓不清晰。另外，由于蝗虫切片图像是在图1蝗虫切片图像显微镜下拍摄得到的，空气中的尘埃及由此带来的光线反射会形成图像中的椒盐和高斯混合噪声，如图1所示。因此，采用常见的典型图像降噪方法很难获得蝗虫切片图像的高质量降噪效果。为此，李丽、梅树立等先后尝试了非线性偏微分方程降噪方法、剪切波方法、以及二者相结合的方法。非线性偏微分方程方法是生物图像处理常用方法，可实现图像的保边降噪，但该方法缺少多尺度特性，因此对细小纹理保护较差。小波变换具有多尺度特性，但缺少方向自适应性，导致在轮廓边界处、特别是椒盐噪声点的周围出现明显的边界效应。近年来提出的剪切波变换是在已有方向小波（轮廓波、脊波、曲线波等）基础上的改进，通过引入错切变换代替角度参数，实现了方向参数的多尺度特性。相对于小波变换，剪切波变换用于图像降噪对细小纹理保护较好，但也容易将噪声点看作细小纹理，从而带来较大的人工伪影。实际上，小波类（含剪切波）变换降噪方法都是基于卷积运算构建的，尽管具有多尺度特性，但对细小纹理和噪声之间的区别并不敏感；变分法则是因为不具有多尺度特性而对细小纹理无法起到保护作用。相对于普通小波，具有插值特性的小波对纹理和噪声非常敏感，以至于大多数学者认为，具有插值特性的小波变换只适合用于光滑信号的逼近，无法应用于图像描述中。斯坦福大学著名学者Donoho则指出，将具有插值特性的小波变换和均值、中值滤波器相结合，不但可用于图像逼近和降噪，而且相对于普通小波，具有更广泛的适用性。鉴于此，本文尝试将最新提出的Shannon-Cosine小波和单元滤波器相结合，构造适合蝗虫切片图像降噪的新方法，为研究蝗虫的生理机制奠定基础。图像噪声模型及去噪方法4.3蝗虫切片图像降噪实验4.3.1蝗虫切片显微图像的获取根据项目任务和目标的要求，筛选满足条件的蝗虫直接作超薄连续切片，以获取蝗虫与微生物农药在组织水平上互作的图片，为在组织水平上的三维重建提供数据。图5是蝗虫体腔部分序列显微切片图像。显微镜下观察到的原始图像稍显模糊。经增强及灰度化处理后（图5（a1-a4）），除了蝗虫体腔轮廓外，图像中的噪声也变得更加清晰了。不同于典型的人工噪声（如高斯噪声、椒盐噪声等），在显微镜上观察得到的图像噪声属于混合噪声，成分负责且含量不明确。(a1)切片1(a2)切片2

(a3)切片3

(a4)切片4

(b1)切片1-维纳滤波(b2)切片2-维纳滤波

(b3)切片3-维纳滤波

(b4)切片4-维纳滤波

(c1)切片1-小波变换(c2)切片2-小波变换

(c3)切片3-小波变换

(c4)切片4-小波变换

(d1)切片1-本文方法(d2)切片2-本文方法

(d3)切片3-本文方法

(d4)切片4-本文方法

17400/8676815624/8676811750/8676830483/112428(e1)切片1-稀疏点/总像素点数(e2)切片2-稀疏点/总像素点数(e3)切片3-稀疏点/总像素点数(e4)切片4-稀疏点/总像素点数图5蝗虫序列切片图像降噪效果对比4.3.2蝗虫切片显微图像降噪效果对比可用于生物图像降噪的典型方法包括：维纳滤波、小波降噪、偏微分方程方法（变分法）、剪切波变换等。均值算子和中值算子也是图像降噪的常见方法，但适用范围较窄，不适合多种类型噪声混杂的情况。变分法通过迭代求解偏微分方程实现图像降噪，且容易将细小纹理当作噪声处理，尽管提高偏微分方程的阶数可以改善降噪效果，但迭代求解效率较低，精度也相应下降。因此，本节重点对比维纳滤波方法和小波降噪方法。维纳滤波是一种自适应滤波器，具有较广的适用范围和较好的降噪效果。在众多的小波中，Daubechies小波是唯一同时具有正交性、光滑连续性、紧支撑性的小波；Symlets小波是在Daubechies小波的基础改进得到的，保留了Daubechies小波的优点，且具有近似对称的特性，相对于Daubechies小波，具有更好的图像处理效果。本节有关于对比的小波变换数值实验采用的sym4小波，直接采用Matlab内嵌函数wdencmp进行图像降噪，对应的阈值、逼近系数等参数由Matlab内嵌函数ddencmp根据被处理图像自适应获取。维纳滤波方法则采用Matlab内嵌函数wiener2来实现。图5（b1-b4）是序列切片图像的维纳滤波结果，估算局部图像噪声均值和方差的邻域图块的大小为66；图5（c1-c4）是通过小波变换实现图像降噪的结果。本文方法则采用Shannon-Cosine小波（N=23.123447719961405）构造多尺度插值算子，采用中值算子做为单元滤波器，对序列切片图像进行降噪效果如图5(d1-d4)所示，对应的稀疏点阵图如图5（e1-e5）所示。由稀疏点阵图可见，在图像纹理丰富区域，特征点自动加密，特征点在平滑区域则自动减少。这样，利用稀疏点阵重构图像时，可有效消除噪声，同时保持较为清晰的纹理。单纯从视觉效果来看，无论是噪声含量较少的切片1图像，还是噪声含量较高的切片4图像，本文方法均优于小波变换方法和维纳滤波方法，维纳滤波又优于symlets小波降噪。(a)原始图像(b)含混和噪声图像(c)小波降噪(d)维纳滤波(e)本文方法(f)稀疏点/总像素点数(16357/198338)图6含人工混合噪声图像的降噪效果对比(2)噪声种类对降噪效果的影响为便于量化对比，利用变分法对噪声含量较少的图5（a1）进行“过”降噪，只保留较大的图像轮廓，将噪声全部去除，如图6(a)所示。对不含噪声的图像增加人工混合噪声（强度为0.05的椒盐噪声和均值与方差分别为0/0.02的高斯噪声），结果如图6(b)所示。视觉效果和图5(a1)所示真实图像非常接近。从降噪视觉效果可以直接看出，小波变换（图6c）和维纳滤波(图6d)对椒盐噪声的降噪效果不好，本文方法无论地高斯噪声还是椒盐噪声均具有较好的适应能力(图6e和图6f)。表1给出了采用不同方法得到的降噪图像的峰值信噪比（PeakSignal-To-NoiseRatio，PSNR）和结构相似度(StructuralSimilarityIndex,SSIM)度量参数。这两个参数是评价图像降噪方法优劣的常用指标，此处直接采用Matlab中的内嵌函数psnr和ssim计算得到。表4噪声种类对降噪效果的影响椒盐噪声(噪声强度d=0.05)和高斯噪声(均值m=0,方差v=0.02)的混合噪声椒盐噪声(噪声强度d=0.05)高斯噪声(均值m=0,方差v=0.02)PSNRSSIMPSNRSSIMPSNRSSIM均值滤波22.86831188562100.768244429203927.68820513702500.799355125208725.54503620542940.87868553181969中值滤波28.80234864679650.819396765238732.77114627911100.959326021344629.27177404736530.83847975997081小波方法22.36157053460220.626858704219516.68834760792900.322102064282625.49500033959440.80506677891017维纳滤波21.58090359596910.627890700470123.31984503253330.657731439138625.04039409864080.83414398646212本文方法29.67493642904150.912025259000031.69691438275060.949693247873829.83901076369700.91859162335531众所周知，中值滤波对椒盐噪声具有非常强的敏感性，表4所示数值结果也反映了该点。而对混合噪声和高斯噪声来说，本文方法的降噪效果是最好的，明显优于其它方法。(3)噪声含量对降噪效果的影响对于椒盐噪声来说，无论强度多大，中值滤波都具有非常明显的优势。此处重点讨论高斯噪声含量对降噪效果的影响。通常，随着高斯噪声基本偏差的增大，噪声含量也相应增加。表5给出了在噪声含量增加时，不同滤波方法去噪效果的变化情况。表5高斯噪声方差值对降噪效果的影响（均值m=0）方差均值滤波中值滤波小波方法维纳滤波本文方法0.1PSNR19.13853457270724.34357704188618.75902807383218.28616427737026.275392544275SSIM0.6804367315580.6078802776740.5337620251870.5620281653270.7961593092840.08PSNR20.06814946894925.22159176770319.71015406052019.11534011079827.172239445105SSIM0.7185308536700.6505040611130.5790032232420.6006250257910.8263135752070.06PSNR21.32806866586226.18376713383621.00832390311720.35362406508027.915179982848SSIM0.7627101105290.6970064937000.6354536883410.6555258155990.8536050957180.04PSNR22.87504736667427.42751915321222.58952564017421.95532102138628.829395993052SSIM0.8145197889330.7574409711590.7030366695920.7253152795590.888135024949不难看出，无论哪种方法，峰值信噪比（PSNR）和结构相似度（SSIM）两个参数都随着噪声含量的增加而衰减，但本文方法始终具有最好的降噪效果。图7直观表示了常用降噪方法随噪声含量降噪效果指标（PSNR&SSIM）下降的趋势。随着高斯噪声方差由0.02增加到0.1，采用本文方法得到的降噪图像的PSNR值下降了11.94%；而维纳滤波、小波方法、中值滤波和均值滤波方法得