2023-2024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省巴中市高三上册“零诊”考试数学试题（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置．2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B．C． D．2．已知集合，则（

）A． B．C． D．3．已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件5．双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（

）A． B．C． D．6．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（

）

A． B． C． D．7．第31届世界大学生夏季运动会以“绿色、智慧、活力、共享”为理念，向全世界送出来自中国的美好祝愿．某高校田径组拟从甲、乙两名女同学中选一人参加本届大运会，已知甲、乙两名同学近五次800米训练成绩（单位：秒）如下面的茎叶图所示．根据两人训练成绩的平均值及方差，现有下列4种推荐意见．

①甲成绩的平均值低于乙成绩的平均值，推荐甲参加大运会．②甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，推荐乙参加大运会．③甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会．④甲成绩的方差小于乙成绩的方差，推荐甲参加大运会．其中合理推荐意见的编号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．已知函数的部分图象如下图所示，则（

）

A． B． C．1 D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．310．已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（

）A． B．C． D．11．已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．712．已知，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知的展开式中，的系数为6，则．14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则．15．已知数列的前项和为，，则．16．在三棱锥中，，分别为棱的中点．现有以下4个结论：①三棱锥的外接球表面积为；②；③平面；④当时，平面平面．则其中正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，制成如下表格：年龄男性人数4012016080比较关注人数87211248女性人数107010020比较关注人数5498016(1)完成下面的列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；比较关注不太关注总计男性女性总计(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目，记其中男性的人数为，求的分布列与期望．附：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918．在中，角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求的面积．19．如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．20．已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.21．已知.(1)讨论函数的单调性；(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）22．在直角坐标系中，圆的圆心为点，且半径长为2，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆的极坐标方程；(2)已知直线与圆相交于两点，且，求．【选修4-5：不等式选讲】23．已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.1．A【分析】根据复数的几何意义确定复数z，再根据共轭复数的概念以及复数的运算，即可得答案.【详解】由题意知复数对应的点的坐标是，故，所以，故选：A2．C【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得，即，而集合，所以.故选：C3．D【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合已知条件，列式计算，即可得答案.【详解】设等差数列的公差为d，则，故由可得，即，故选：D4．A【分析】利用向量数量积的坐标表示，求出对应的x的值，再根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】当时，，则，所以，故有，当时，因为，所以，即，解得或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．B【分析】求出渐近线方程，再同一坐标系内画出三条直线，得到表示三角形区域的不等式组.【详解】的渐近线方程为和，画出，和，如下：

故表示三角形区域的不等式组为.故选：B6．A【分析】根据给定的三视图还原几何体，再按圆锥及圆柱表面积公式计算求解.【详解】由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个底面直径为2，高为的圆锥构成的组合体，如图，

则有圆锥的母线为，圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，圆柱下底面圆面积，这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，所以这个几何体的表面积为.故选：A7．C【分析】由茎叶图分别求出甲乙成绩的平均值和方差，比较后得到结论，求出答案.【详解】对于①②，甲的成绩平均值为，乙的成绩平均值为，甲的成绩的平均值大于乙的成绩的平均值，推荐乙参加大运会，①错误，②正确；对于③④，甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为，因为，所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，推荐乙参加大运会，③正确，④错误.故选：C8．B【分析】根据函数的图象，由三角函数的性质求得，，在结合题意和，求得，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，又由，可得，所以，所以，因为，即，解得，即，又因为，可得，所以函数的表达式为，所以.故选：B9．C【分析】设交y轴与A，可推出，从而，结合的斜率，设可推出之间的关系，即可求得答案.【详解】如图，设交y轴与A，A为的中点，

因为O为的中点，故为的中位线，则，而，则,因为直线的斜率为，故中，，故设，则，结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有，则，故选：C10．C【分析】构造，由函数单调性得到，通过变换可得到ABD正确，C错误.【详解】由题意得，令，，则恒成立，所以在上单调递增，故，所以，B正确，，A正确，，D正确，C选项，，，又在上单调递增，，故，所以，故，设，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，故，即，当且仅当时，等号成立，故，则，所以，又，故，C错误.故选：C常见的不等式放缩有，，，，，等，常用来比较大小.11．B【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B12．D【分析】记，从而化为，利用导数研究函数单调性，再结合偶函数性质解不等式即可.【详解】因为，所以，记，，因为在上为增函数，则在上为增函数，时，，时，，此时单调递减；时，，此时单调递增；又因为且定义域为R，所以函数为偶函数，则不等式等价于等价于，所以，所以，化简得，解得或，即不等式的解集为.故选：D关键点睛：涉及解不等式问题，往往将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性，利用函数性质解不等式是解决问题的关键.13．1【分析】根据二项展开式的通项公式可确定的展开式中的系数，可得方程，即可求得答案.【详解】由题意得，而的通项公式为，故的展开式中，的系数为，解得，故114．【分析】由题意求出B点坐标，继而求出直线BC的方程，联立抛物线方程，求得点C坐标，即可求得答案.【详解】如图，由题意可知轴，，将代入中得，即,

又，则，故的方程为，联立，可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），则，故，故答案为.15．【详解】分析：由，当时，当时，相减可得，则，由此可以求出数列的通项公式详解：当时，当时由可得二式相减可得：又则数列是公比为的等比数列点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式即数列递推式，在解答此类问题时看到，则用即可算出，需要注意讨论的情况．16．①③④．【分析】利用直角三角形的性质，结合球的性质、线面垂直和面面垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】①：因为，所以，又因为是中点，所以，同理由和是中点，可得，因此是三棱锥的外接球的球心，半径为，所以三棱锥的外接球表面积为，因此本结论正确；②：因为分别是的中点，所以，又因为分别是的中点，所以，因此可得，所以四边形是平行四边形，若，此时平行四边形是菱形，则，因为分别是的中点，所以，因此，题中没有给出的长度，因此不一定成立，本结论不正确；③：由①可知，是的中点，所以，又因为因为分别是的中点，所以，因此有，因为，所以，而是中点，由全等三角形的性质可知，而是中点，因此，而，所以有平面，所以平面，因此本结论正确；④：当时，有，而，平面，因此平面，而平面所以平面平面，因此本结论正确，故①③④关键点睛：本题的关键在于多次使用三角形中位线定理、球的性质、全等三角形的性质.17．(1)表格见解析，能；(2)分布列见解析，2.【分析】（1）根据给定的数表，完善列联表，再求出的观测值，并与临界值表比对作答.（2）求出抽取的6人中男女性人数，求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【详解】（1）由给定的数表知，男性总人数为400，其中比较关注的有240人，女性中比较关注的有150人，列联表如下：比较关注不太关注总计男性240160400女性15050200总计390210600则所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关.（2）已知600人中男性与女性的比为，则所抽男性人数为人，所抽女性人数为人，依题意，的可能值为1，2，3，，因此，，，所以的分布列为：123期望为.18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式得到，故，求出；（2）法一：由求出，结合（1）中，由余弦定理得到，结合（1）中所求得到，利用三角形面积公式求出答案；法二：由求出，结合（1）中所求得到，，利用，求出，利用三角形面积公式求出答案；法三：由求出，结合（1）中，由余弦定理得到或，排除，结合，求出三角形面积.【详解】（1）由及正弦定理得：，由得：．，由知，，；（2）法一：当时，代入得：，由（1）知，由余弦定理得：，整理得：，解得：，由（1）知：，．法二：当时，代入得：，由（1）得：，，由得，，．法三：当时，代入得：，由（1）得：，由余弦定理得：，整理得：，解得：或，若，则为等腰三角形，此时，由及内角和定理得：，与矛盾，不合题意，，∵，．19．(1)证明见解析(2)【分析】方法一方法二，先构造并证明面面平行，继而利用面面平行的性质定理证明结论；方法三，连结延长交的延长线于，连结，证明，根据线面平行的判定即可证明结论；方法四，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明结论.（2）方法一，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面和平面的法向量，利用空间角的向量求法即可求得答案；方法二，作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.【详解】（1）证明：方法一：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如下图）由分别为的中点及中位线定理得，平面平面，平面平面，又平面，故平面平面，平面，平面；方法二：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如下图）由分别为的中点及中位线定理得，平面平面，平面，，，平面平面,平面，又平面，平面平面，平面，平面.方法三：综合法——直线与平面平行的判定连结延长交的延长线于，连结，，即，又，，又，，平面平面，平面．方法四：空间向量方法底面平面，，又，故两两垂直，以A为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图:由知：，，设平面的一个法向量为由得，取得，平面，平面.（2）方法一由（1）方法四可得：，，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，由几何体的空间结构知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.方法二连结，由得：，，，在中，，由余弦定理得：，则，，底面平面，，平面，平面．又平面，，为二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，二面角的余弦值为．20．(1)(2)【分析】（1）利用点在椭圆上及数量积的坐标运算列方程求解即可；（2）设直线联立方程，韦达定理，方法一：求出弦长及三角形的高即可求出面积，方法二：利用面积分割法求解面积即可.【详解】（1）由题意知，又，则，，解得(负值舍去)，由在椭圆上及得，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）知，右焦点为，据题意设直线的方程为，则，于是由得，化简得（*）由消去整理得，，由根与系数的关系得：，代入（*）式得：，解得，直线的方程为，方法一：，由求根公式与弦长公式得：，设点到直线的距离为，则，.

方法二：由题意可知，代入消去得，，.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导函数，分类讨论研究函数的单调性；（2）方法一：求导函数，分类讨论研究单调性，利用函数有两个零点得函数最小值为负数，解对数不等式即可；方法二：把零点问题转化为即有两个实根，构造函数，利用导数研究函数的单调性，数形结合即可求解.【详解】（1）因为，所以，①当，即时，由得，由得，则在上为减函数，在上为增函数；②当即时，由得或，由得，则在上为增函数，在上为减函数；③当即时，恒成立，故在上为增函数；④当即时，由得或，由得，则在上为增函数，在上为减函数.综上：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.（2）方法一：由已知得，故，①当时，在上单调递增，不存在两个零点；②当时，令得，令得，故在上为减函数，在上为增函数.，由有两个零点得：即，又，故，解得，又，且当无限趋向正无穷大时，趋向正无穷大，当时，函数有两个零点.综上可知：的取值范围为.方法二：有两个零点等价于：关于的方程有两个实根，即有两个实根，由（1）知，由方程（*）得有两个实根，令，则，由得，解得，由得解得，在上为增函数，在上为减函数，，又当时，，当时且当无限趋向正无穷大时，无限趋向于0，（如下图）

当，即时，有两个零点，的取值范围为.方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论