基本初等函数的导数（教学设计）

§5一、内容和内容解析内容：利用导数定义求常用函数的导数，导数公式表应用内容解析：本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式.接着，通过具体实例让学生直观感知两个函数的和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系.在此基础上，直接给出导数的四则运算法则.最后通过实例，在让学生直观感知求复合函数导数的方法的基础上，直接给出复合函数的求导法则.本节在相关内容的展开过程中，着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，求简单函数及简单的复合函数的导数，并从中进一步体现极限思想，提升学生的数学运算素养。二、目标和目标解析目标：（1）能根据导数定义求常用函数的导数，掌握导数公式表并学会应用（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）学生能够根据之前所学导数的概念对常见的基本初等函数的导数公式进行推导；（2）学生通过学习熟练掌握基本初等函数的导数公式并能应用三、教学问题诊断分析教学问题一：学生有一定的运算能力但是对于抽象的导函数概念理解不透，导致基本初等函数的导数公式在推导时遇到障碍，从而出现错误。教学问题二：部分学生可以推导出基本初等函数的导数运算公式，但由于练习不到位从而出现使用错误，特别是指数函数和幂函数的导数运算公式混淆。基于以上分析，确定本节课的教学重难点：重点：基本初等函数的导数公式及公式的推导过程.难点：基本初等函数的导数公式及公式推导过程及应用.教学策略分析：引入导数概念后，教科书在巩固导数概念的3个例题中，直接利用定义求函数在一点处的导数；在5.2利用导函数的定义求6个常用的具体函数的导函数，通过这些具体实例渗透极限思想。从具体到抽象，适度进行“规则”的抽象概括。由于高中阶段不专门介绍极限的有关知识，因此不可能通过严格的逻辑推理的方式，推导出基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，以及导数与函数单调性之间关系等公式与“规则”。这样，如何以适当的方式给出这些“规则”，就成了教科书需要着重思考的问题之一。教科书基于高中学生的认知规律，结合“规则”的具体特点，从具体实例出发，从具体到抽象、从特殊到一般地给出“规则”，使得过程自然、合理，不突兀。五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习引入问题1：什么是平均变化率？什么是瞬时变化率？什么又是导数的定义呢？问题2：什么是导数的几何意义呢？教师给出问题后让学生结合前几节课所学的知识来回答.通过复习导数的定义和几何意义，引入本节新课.建立知识间的联系，为推导基本初等函数的导数奠定基础，为从数与形两个角度理解基本初等函数的导数提供依据，提高学生概括、类比推理的能力.探究新知探究新知问题1：根据刚刚复习的导数定义，请同学们说一说求函数的导数的步骤是什么？问题2：求函数的导数.追问1：若表示路程关于时间的函数，则从物理的角度可以怎么解释呢？问题3：求函数的导数.追问2：若表示路程关于时间的函数，则从物理的角度可以怎么解释呢？问题4：求函数的导数.追问3：若表示路程关于时间的函数，则从几何的角度和物理的角度可以怎么解释呢？问题5：求函数的导数.追问4：从几何的角度可以怎么解释呢？问题6：求函数的导数.问题7：求函数的导数.追问1：以上这些函数均可表示为的形式，其导数有何规律？追问2：还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，我们知道很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数了.师生活动：教师抛出问题后让学生思索片刻，再归纳得出结论.求函数导数的步骤：（1）求平均变化率；（2）求极限.根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.师生活动：前两个基本初等函数的求导相对比较简单，由教师分别给出问题后让学生先独立完成并回答,然后师生一起进行修正.函数和函数的导数计算过程都会碰到取极限时出现0比0型，需要利用完全平方公式、和的立方公式化简后再求极限.思考方法有相通之处，可以先由教师带着学生做一个，再由教师提示和的立方公式后再由学生类比完成，教师适时做出引导.师生活动：画出函数的图象，根据图象，描述它的变化情况，并要求曲线在点（1，1）处的切线方程.师生活动：6配套的探究中设计了两个问题，第一个问题要求学生画出函数的图象，并结合函数的导数描述图象的变化情况；第二个问题要求学生求出曲线在点（1，1）处的切线方程.前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用.师生活动：教师给出6个常用的基本初等函数的导数，指出公式2与前面推导的五个函数导数之间的关系．对于后面4个函数，让学生观察规律，教会学生如何记忆．再一次明确求导的步骤，为推导基本初等函数的导数做好准备，并培养学生的归纳概况能力.和的导数后，让学生从物理的角度去解释导数的意义；计算完的导数后，让学生从几何和物理两个角度去解释导数的意义；计算完的导数后，让学生从几何的角度去解释导数的意义.这样有意识地引导学生将导数与导数的意义联系起来，使学生深刻认识导数的内涵，逐渐养成应用数学解释现实问题的习惯，提高学生分析问题、解决问题的能力.通过师生共同完成和的导数推导过程，进一步提升学生的数学运算素养.通过探究，让学生从几何的角度去解释导数的意义，并对导数的几何意义做进一步的回顾.通过两个思考题，让学生总结规律，归纳得出幂函数的求导公式，培养学生的归纳概括能力.同时让学生思考还有哪些基本初等函数的导数需要研究，培养学生思维的完备性.通过梳理常见6个常用基本初等函数的导数的特征和记忆方法，为后续解决函数求导问题奠定基础，在引导学生进行观察的过程中加强学生的归纳概况能力.知识应用例1：求下列函数的导数：（2）例2：假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？问题：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？师生活动：教师通过PPT提出问题后，请学生回答问题，教师对学生的回答进行评价与修正.教师给出例题后，由学生独立思考后提问学生，教师做出评价和修正.讲完例2后提出问题，让学生交流讨论，教师进行指点解惑.例1是导数公式的直接应用，通过这道例题使学生熟悉基本初等函数导数公式的应用，进一步理解基本初等函数的导数公式，并养成有序思考解决问题的能力.在解决关于指数函数求导的实际问题中进一步熟悉基本初等函数导数公式，体会导数的实际应用.在讲解完例2抛出问题，发现的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式来进行解答，从而为下一节课介绍导数的四则运算法则埋下伏笔.课堂小结1.今天我们利用导数定义推导了哪些函数的导数？从物理和几何角度如何来看待这些函数的导数？推导了函数、、、、、的导数3.导数公式的应用（准确