2022江西省中考数学试卷及解析

2022江西省中考数学试卷及解析word

此套北师大版八班级数学下册教学设计及反思，…部分图片、

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2022年江西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只

有一个正确选项）

1.（3分）2的相反数是（）

A.2B.-2C.D.

2.（3分）计算♦（-）的结果为（）

A.aB.-aC.D.

3.（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向

为主视图方向，则它的俯视图为（）

A.B.C,D.

4.（3分）依据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数

据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（）

A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比

B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%

C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%

D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角

是108°

5.（3分）已知正比例函数yl的图象与反比例函数y2的图象相

交于点A（2,4）,下列说法正确的是（）

A.反比例函数y2的解析式是y2=-

B.两个函数图象的另一交点坐标为（2,-4）

C.当x<-2或0<x<2时，yl<y2

D.正比例函数yl与反比例函数y2都随x的增大而增大

6.（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2

根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法

共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）因式分解：x2-l=

8.（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，

邪（通“斜”）七.见方求邪，七之，五而一.”译文为：假如正

方形的边长为五，则它的对角线长为七.已知正方形的边长，求

对角线长，则先将边长乘以七再除以五.若正方形的边长为1,

由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的

对角线的长是.

9.（3分）设xl,x2是一元二次方程x2-x-l=0的两根，则

xl+x2+xlx2=.

10.（3分）如图，在AABC中，点D是BC上的点，NBAD=NABC

=40°,将4ABD沿着AD翻折得到AAED,则NCDE=°.

11.（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的

敬重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路

段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，

小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2

倍，求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/

秒，依据题意列方程得：第

12.（3分）在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为（4,

0）,（4,4）,（0,4）,点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA

=1,CP_LDP于点P,则点P的坐标为

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）（1）计算：-（-1）+2|+（~2）0；

（2）如图，四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD

相交于点0,且0A=0D.求证：四边形ABCD是矩形.

14.（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集.

15.（6分）在4ABC中，AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请

仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.

（1）在图1中作弦EF,使EF〃BC；

（2）在图2中以BC为边作一个45。的圆周角.

16.（6分）为纪念建国70周年，某校进行班级歌咏竞赛，歌曲

有：《我爱你，中国》，《唱歌祖国》，《我和我的祖国》（分别用字

母A,B,C依次表示这三首歌曲）.竞赛时，将A,B,C这三个

字母分别写在3张无差别不透亮的卡片正面上，洗匀

后正面对下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡

片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，

进行歌咏竞赛.

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是承

（2）试用画树状图或列表的方法表示全部可能的结果，并求出

八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率.

17.（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为

（-,0）,（,1）,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.

（1）求点C的坐标；

（2）求线段BC所在直线的解析式.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（8分）某校为了解七、八班级同学英语听力训练状况（七、

八班级同学人数相同），某周从这两个班级同学中分别随机抽查

了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练状况，依据调

查状况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

班级参与英语听力训练人数

周一周二周三周四周五

七班级1520a3030

八班级2024263030

合计3544516060

(1)填空：a=；

(2)依据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

班级平均训练时间的中位数参与英语听力训练人数的

方差

七班级2434

八班级14.4

(3)请你利用上述统计图表对七、八班级英语听力训练状况写

出两条合理的评价；

(4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估量该校

七、八班级共480名同学中周一至周五平均每天有多少人进行英

语听力训练.

19.(8分)如图1,AB为半圆的直径，点。为圆心，AF为半圆

的切线，过半圆上的点C作CD〃AB交AF于点D,连接BC.

(1)连接DO,若BC〃OD,求证：CD是半圆的切线；

(2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时，连接AE,AC,推断

NAED和NACD的数量关系，并证明你的结论.

20.(8分)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B

-A-0表示固定支架，A0垂直水平桌面0E于点0,点B为旋转

点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终

垂直于水平桌面0E,经测量：A0=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,

BC=35cm.(结果精确到0.1).

(1)如图2,NABC=70°,BC〃OE.

①填空：NBAO=°.

②求投影探头的端点D到桌面0E的距离.

(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D

到桌面0E的距离为6cm时，求NABC的大小.

(参考数据：sin70°^0.94,cos20°^0.94,sin36.8°^0.60,

cos53.2°^0.60)

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1,将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直

尺F0的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图.

活动一

如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D,当

旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点0重合.

数学思索

(1)设CD=xcm,点B到0F的距离GB=ycm.

①用含x的代数式表示：AD的长是cm,BD的长是cm；

②y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是w

活动二

(2)①列表：依据(1)中所求函数关系式计算并补全表格

x(cm)6543.532.521

0.50

y(cm)00.551.21.582.473

4.295.08

②描点：依据表中数值，连续描出①中剩余的两个点(x,y).

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图

象.

数学思索

(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论.

22.(9分)在图1,2,3中，已知口ABCD,ZABC=120°,点E

为线段BC上的动点，连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且

ZEAG=120°.

(1)如图1,当点E与点B重合时，ZCEF=°；

(2)如图2,连接AF.

①填空：ZFADZEAB(填“>”，"<"，"=”)；

②求证：点F在NABC的平分线上；

(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,

当四边形AEGH是平行四边形时，求的值.

六、(本大题共12分)

23.(12分)特例感知

(1)如图1,对于抛物线yl=-x2-x+1,y2=-x2-2x+l,y3

=-x2-3x+l,下列结论正确的序号是；

①抛物线yl,y2,y3都经过点C(0,1)；

②抛物线y2,y3的对称轴由抛物线yl的对称轴依次向左平移个

单位得到；

③抛物线yl,y2,y3与直线y=l的交点中，相邻两点之间的距

离相等.

形成概念

（2）把满意yn=-x2-nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系

列平移抛物线”.

学问应用

在（2）中，如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为Pl,P2,P3,…，Pn,用

含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横

坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数

的点）”：Cl,C2,C3,…，［n,其横坐标分别为-k-l,-k

-2,-k-3,…，_k-n（k为正整数），推断相邻两点之间的

距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不

相等，说明理由.

③在②中，直线y=l分别交“系列平移抛物线”于点Al,A2,

A3,…，An,连接CnAn,Cn-lAn-1,推断［nAn,Cn-lAn-1

是否平行？并说明理由.

2022年江西省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只

有一个正确选项）

1.（3分）2的相反数是（）

A.2B.-2C.D.

【分析】依据相反数的定义求解即可.

【解答】解：2的相反数为：-2.

故选：B.

【点评】本题考查了相反数的学问，属于基础题，把握相反数的

定义是解题的关键.

2.（3分）计算+（-）的结果为（）

A.aB.-aC.D.

【分析】除法转化为乘法，再约分即可得.

【解答】解：原式=•（-a2）=-a,

故选：B.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是把握分式的

除法运算法则.

3.（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向

为主视图方向，则它的俯视图为（）

A.B.C.D.

【分析】依据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：它的俯视图为

故选：A.

【点评】本题考查了简洁几何体的三视图，熟记常见几何体的三

视图是解题关键.

4.（3分）依据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数

据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（）

A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比

B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%

C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%

D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角

是108°

【分析】依据扇形统计图中的百分比的意义逐一推断即可得.

【解答】解：A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分

比，此选项正确；

B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1-40%=

60%,超过50%,此选项正确；

C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%,此选项错误；

D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角

是360°X（1-40%-10%-20%）=108°,此选项正确；

故选：C.

【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示

总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.

5.（3分）已知正比例函数yl的图象与反比例函数y2的图象相

交于点A（2,4）,下列说法正确的是（）

A.反比例函数y2的解析式是y2=-

B.两个函数图象的另一交点坐标为（2,-4）

C.当x<-2或0<xV2时，yl<y2

D.正比例函数yl与反比例函数y2都随x的增大而增大

【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由

正比例函数和反比例函数的性质可推断求解.

【解答】解：...正比例函数yl的图象与反比例函数y2的图象相

交于点A（2,4）,

正比例函数yl=2x,反比例函数y2=

.•.两个函数图象的另一个角点为（-2,-4）

:.A,B选项错误

...正比例函数yl=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2

=中，在每个象限内y随x的增大而减小，

二.D选项错误

二当x<-2或0<xV2时，yl<y2

二.选项C正确

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，娴熟运

用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键.

6.（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2

根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法

共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【分析】依据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解.

【解答】解：共有6种拼接法，如图所示.

故选：D.

【点评】本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画

出图形是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）因式分解：x2-1=（x+1）（x-1）.

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=（x+1）（X-1）.

故答案为：（x+1）（X-1）.

【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，娴熟把握平方差公

式是解本题的关键.

8.（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，

邪（通“斜”）七.见方求邪，七之，五而一.”译文为：假如正

方形的边长为五，则它的对角线长为七.已知正方形的边长，求

对角线长，则先将边长乘以七再除以五.若正方形的边长为1,

由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的

对角线的长是1.4.

【分析】依据估算方法可求解.

【解答】解：依据题意可得：正方形边长为1的对角线长==

1.4

故答案为：1.4

【点评】本题考查了正方形的性质，读懂题意是本题的关键.

9.（3分）设xl,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根，则

xl+x2+xlx2=0.

【分析】直接依据根与系数的关系求解.

【解答】解：•「xl、x2是方程x2-x-l=0的两根，

/.xl+x2=l,xlXx2=-1,

.*.xl+x2+x1x2=1-1=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a70）的根与

系数的关系：若方程两个为xl,x2,则xl+x2=-，xl・x2=.

10.（3分）如图，在AABC中，点D是BC上的点，ZBAD=ZABC

=40°，将4ABD沿着AD翻折得到△AED,则NCDE=20。.

【分析】依据三角形内角和和翻折的性质解答即可.

【解答】解：•.•NBAD=NABC=40°,将4ABD沿着AD翻折得

至QAED,

/.ZADC=40°+40°=80°,ZADE=ZADB=180°-40°-40°

=100°,

.,.ZCDE=100°-80°=20°,

故答案为：20

【点评】此题考查翻折的性质，关键是依据三角形内角和和翻折

的性质解答.

11.（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的

敬重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路

段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，

小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2

倍，求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/

秒，依据题意列方程得：，

【分析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，依据题意列出分式

方程解答即可.

【解答】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得：，

故答案为：，

【点评】此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是依据题意列

出分式方程解答.

12.(3分)在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为(4,

0),(4,4),(0,4),点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA

=1,CPJ_DP于点P,则点P的坐标为(2,0)或(2-2,0)

或(2+2,0).

【分析】先由已知得出D1(4,1),D2(4,-1),然后分类争

论D点的位置从而依次求出每种状况下点P的坐标.

【解答】解：:A,B两点的坐标分别为(4,0),(4,4)

，AB〃y轴

•.•点D在直线AB上，DA=1

ADI(4,1),D2(4,-1)

如图：

(I)当点D在D1处时，要使CP_LDP,即使△COPIZ^PIADI

即

解得：OP1=2

API(2,0)

(II)当点D在D2处时,

VC(0,4),D2(4,-1)

，CD2的中点E(2,)

VCP1DP

.•.点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点

设P(x,0),则PE=CE

即

解得：x=2±2

二.P2(2-2,0),P3(2+2,0)

综上所述：点P的坐标为(2,0)或(2-2,0)或(2+2,0).

【点评】本题考查了动点型问题，主要涉及相像三角形的判定与

性质，勾股定理的应用，圆的相关学问，本题比较简单，难度较

大.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.(6分)(1)计算：一(-1)+1-2+(-2)0；

(2)如图，四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD

相交于点0,且0A=0D.求证：四边形ABCD是矩形.

【分析】(1)先依据相反数，肯定值，零指数嘉进行计算，再求

出即可；

(2)先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC=BD,最终

依据矩形的判定得出即可.)

【解答】解：(1)-(-1)+|-2+(-2)0

=1+2+1

二4；

(2)证明：•.•四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,

，四边形ABCD是平行四边形，

.•.AC=2A0,BD=20D,

VOA=OD,

.\AC=BD,

四边形ABCD是矩形.

【点评】本题考查了相反数，肯定值，零指数嘉，平行四边形的

性质和判定，矩形的判定等学问点，能求出每一部分的值是解(1)

的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解(2)的关键.

14.(6分)解不等式组：并在数轴上表示它的解集.

【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答

案.

【解答】解：，

解①得：x>-2,

解②得：xW-1,

故不等式组的解为：-2<xWl,

在数轴上表示出不等式组的解集为:

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示

不等式的解集，正确解不等式是解题关键.

15.（6分）在4ABC中，AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请

仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.

（1）在图1中作弦EF,使EF〃BC；

（2）在图2中以BC为边作一个45。的圆周角.

【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F,利用圆周角定理

可等腰三角形的性质可得到NE=NABC,则可推断EF/7BC；

（2）在（1）基础上分别延长AE、CF,它们相交于M,则连接

AM交半圆于D,然后证明MALBC,从而依据圆周角定理可推断

DBC=45°.

【解答】解：（1）如图1,EF为所作；

（2）如图2,ZBCD为所作.

【点评】本题考查了作图-简单作图：简单作图是在五种基本作

图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图

方法.解决此类题目的关键是熟识基本几何图形的性质，结合几

何图形的基本性质把简单作图拆解成基本作图，逐步操作.也考

查了圆周角定理.

16.（6分）为纪念建国70周年，某校进行班级歌咏竞赛，歌曲

有：《我爱你，中国》，《唱歌祖国》，《我和我的祖国》（分别用字

母A,B,C依次表示这三首歌曲).竞赛时，将A,B,C这三个

字母分别写在3张无差别不透亮的卡片正面上，洗匀

后正面对下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡

片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片，

进行歌咏竞赛.

(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是：

(2)试用画树状图或列表的方法表示全部可能的结果，并求出

八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.

【分析】(1)直接依据概率公式计算可得；

(2)画树状图得出全部等可能结果，再从中找到符合条件的结

果数，利用概率公式计算可得.

【解答】解：(1)由于有A,B,C3种等可能结果，

所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；

故答案为.

(2)树状图如图所示：

共有9种可能，八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率==.

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法

展现全部等可能的结果n,再从中选出符合大事A或B的结果数

目m,然后利用概率公式计算大事A或大事B的概率.

17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为

(-,0),(,1),连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.

(1)求点C的坐标;

（2）求线段BC所在直线的解析式.

【分析】（1）由点A、点B,易知线段AB的长度，ZBAH=30°,

而AABC为等边三角形，得CALx轴，即可知CA的长即为点C

的纵坐标，即可求得点C的坐标

（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即

可求线段BC所在的直线的解析式

【解答】解：（1）如图，过点B作BH_Lx轴

•.•点A坐标为（-，0）,点B坐标为（，1）

/..ABI==2

VBH=1

/.sinZBAH==

.,.ZBAH=30°

「△ABC为等边三角形

，AB=AC=2

.\ZCAB+ZBAH=90o

...点C的纵坐标为2

...点C的坐标为（,2）

（2）由（1）知点C的坐标为（，2）,点B的坐标为（，1）,

设直线BC的解析式为：y=kx+b

则，解得

故直线BC的函数解析式为y=x+

【点评】此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角

形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得点C的坐标,

再利用待定系数法求一次函数的解析式

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.(8分)某校为了解七、八班级同学英语听力训练状况(七、

八班级同学人数相同)，某周从这两个班级同学中分别随机抽查

了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练状况，依据调

查状况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

班级参与英语听力训练人数

周一周二周三周四周五

七班级1520a3030

八班级2024263030

合计3544516060

(1)填空：a=259

(2)依据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

班级平均训练时间的中位数参与英语听力训练人数的

方差

七班级2434

八班级2714.4

(3)请你利用上述统计图表对七、八班级英语听力训练状况写

出两条合理的评价；

(4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估量该校

七、八班级共480名同学中周一至周五平均每天有多少人进行英

语听力训练.

【分析】(1)由题意得：a=51-26=25；

(2)根据从小到大的挨次排列为：18、25、27、30、30,由中

位数的定义即可得出结果；

(3)参与训练的同学人数超过一半；训练时间比较合理；

(4)求出抽查的七、八班级共60名同学中，周一至周五训练人

数的平均数为50,用该校七、八班级共480名X周一至周五平

均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可.

【解答】解：(1)由题意得：a=51-26=25；

故答案为：25；

(2)根据从小到大的挨次排列为：18、25、27、30、30,

二.八班级平均训练时间的中位数为：27；

故答案为：27；

(3)参与训练的同学人数超过一半；训练时间比较合理；

(4)抽查的七、八班级共60名同学中，周一至周五训练人数的

平均数为(35+44+51+60+60)=50,

...该校七、八班级共480名同学中周一至周五平均每天进行英语

听力训练的人数为480X=400(人).

【点评】此题考查了条形统计图，统计表，以及用样本估量总体，

弄清题中的数据是解本题的关键.

19.(8分)如图1,AB为半圆的直径，点。为圆心，AF为半圆

的切线，过半圆上的点C作CD〃AB交AF于点D,连接BC.

(1)连接DO,若BC〃OD,求证：CD是半圆的切线；

(2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时，连接AE,AC,推断

NAED和NACD的数量关系，并证明你的结论.

【分析】(1)连接0C,依据切线的性质得到ABXAD,推出四边

形BODC是平行四边形，得到OB=CD,等量代换得到CD=OA,推

出四边形ADCO是平行四边形，依据平行四边形的性质得到0C//

AD,于是得到结论；

(2)如图2,连接BE,依据圆周角定理得到NAEB=90°,求得

ZEBA+ZBAE=90°,证得/ABE=NDAE,等量代换即可得到结

论.

【解答】(1)证明：连接0C,

TAF为半圆的切线，AB为半圆的直径，

；.AB±AD,

VCD^AB,BC〃OD,

二.四边形BODC是平行四边形，

.\OB=CD,

V0A=0B,

.\CD=OA,

二.四边形ADCO是平行四边形，

.,.0C/7AD,

VCD/7BA,

；.CD±AD,

V0C/7AD,

AOCICD,

二.CD是半圆的切线；

（2）解：ZAED+ZACD=90°,

理由：如图2,连接BE,

•「AB为半圆的直径，

.\ZAEB=90o,

.,.ZEBA+ZBAE=90°,

VZDAE+ZBAE=90°,

：.ZABE+ZDAE,

,/NACE=NABE,

.\ZACE=ZDAE,

VZADE=90°,

?.ZDAE+ZAED=ZAED+ZACD=90°.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四

边形的判定和性质，正确的作出帮助线是解题的关键.

20.（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B

-A-0表示固定支架，A0垂直水平桌面0E于点0,点B为旋转

点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终

垂直于水平桌面0E,经测量：A0=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,

BC=35cm.（结果精确到0.1）.

(1)如图2,NABC=70°,BC〃OE.

①填空：ZBAO=160°.

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.

(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D

到桌面OE的距离为6cm时，求NABC的大小.

(参考数据：sin70°^0.94,cos20°^0.94,sin36.8°^0.60,

cos53.2°^0.60)

【分析】(1)①过点A作AG//BC,依据平行线的性质解答便可；

②过点A作AFLBC于点F,解直角三角形求出AF,进而计算AF+OA

-CD使得结果；

(2)过点DEJ_0E于点H,过点B作BMJ_CD,与DC延长线相交

于点M,过A作AFLBM于点F,求出CM,再解直角三角形求得

ZMBC便可.

【解答】解：(1)①过点A作AG〃BC,如图1,则NBAG=NABC

=70°,

VBC/70E,

.\AG#OE,

.•.NGA0=NA0E=90°,

.,.ZBA0=90°+70°=160°,

故答案为：160；

②过点A作AF_LBC于点F,如图2,

则AF=AB-sinZABE=30sin70°^28.2(cm),

•••投影探头的端点D到桌面0E的距离为：AF+端-CD=28.2+6.8

-8=27(cm)；

(2)过点DEJ_OE于点H,过点B作BMJ_CD,与DC延长线相交

于点M,过A作AF_LBM于点F,如图3,

则NMBA=70°,AF=28.2cm,DH=6cm,BC=30cm,CD=8cm,

；.CM=AF+AO-DH-CD=28.2+6.8-6-8=21(cm),

，sinNMBC=,

：.ZMBC=36.8°,

；.ZABC=ZABM-ZMBC=33.2°.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学

与实际生活的亲密联系，解题的关键是构造直角三角形.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1,将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直

尺F0的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图.

活动一

如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D,当

旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点0重合.

数学思索

(1)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm.

①用含x的代数式表示：AD的长是(6+x)cm,BD的长是(6

-x)cm；

②y与x的函数关系式是y=,自变量x的取值范围是0

WxW6.

活动二

(2)①列表：依据(1)中所求函数关系式计算并补全表格

x(cm)6543.532.521

0.50

y(cm)00.551.21.5822.473

4.295.086

②描点：依据表中数值，连续描出①中剩余的两个点(x,y).

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图

象.

数学思索

(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论.

【分析】(1)①利用线段的和差定义计算即可.

②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

(2)①利用函数关系式计算即可.

②描出点(0,6),(3,2)即可.

③由平滑的曲线画出该函数的图象即可.

(3)依据函数图象写出两共性质即可(答案不唯一).

【解答】解：(1)①如图3中，由题意AC=0A=AB=6(cm),

*/CD=xcm,

.♦.AD=(6+x)(cm),BD=12-(6+x)=(6-x)(cm),

故答案为：(6+x),(6-x).

②作BGJ_OF于G.

V0A10F,BG±OF,

...BG〃OA,

/.二,

:.—,

.♦.y=(0WxW6),

故答案为：y=,0Wx<6.

(2)①当x=3时，y=2,当x=0时，y=6,

故答案为2,6.

②点(0,6),点(3,2)如图所示.

③函数图象如图所示.

(3)性质1：函数值y的取值范围为0WyW6.

性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例

定理，函数的图象等学问，解题的关键是理解题意，敏捷运用所

学学问解决问题，属于中考常考题型.

22.(9分)在图1,2,3中，已知口ABCD,ZABC=120°，点E

为线段BC上的动点，连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且

ZEAG=120°.

(1)如图1,当点E与点B重合时,ZCEF=60O

(2)如图2,连接AF.

①填空：ZFAD=ZEAB(填“>”，"<"，”=”)；

②求证：点F在NABC的平分线上；

(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,

当四边形AEGH是平行四边形时，求的值.

【分析】(1)依据菱形的性质计算；

(2)①证明NDAB=NFAE=60。，依据角的运算解答；

②作FM1BC于M,FN1BA交BA的延长线于N,证明△AFN^4

EFM,依据全等三角形的性质得到FN=FM,依据角平分线的判定

定理证明结论；

(3)依据直角三角形的性质得到GH=2AH,证明四边形ABEH为

菱形，依据菱形的性质计算，得到答案.

【解答】解：(1)...四边形AEFG是菱形，

，NAEF=180°-NEAG=60°,

.\ZCEF=ZAEC-ZAEF=60°,

故答案为：60°；

(2)①•..四边形ABCD是平行四边形，

.,.ZDAB=180°-NABC=60°,

•.•四边形AEFG是菱形,ZEAG=120°,

.\ZFAE=60o,

；.ZFAD=ZEAB,

故答案为：=；

②作FMLBC于M,FN_LBA交BA的延长线于N,

则NFNB=NFMB=90°,

ZNFM=60°,又NAFE=60°,

ZAFN=ZEFM,

VEF=EA,NFAE=60°,

.♦.△AEF为等边三角形,

，FA=FE,

在AAFN和4EFM中，

/.△AFN^AEFM(AAS),

.\FN=FM,又FMJ_BC,FN±BA,

二.点F在NABC的平分线上；

(3)•.•四边形AEFG是菱形，ZEAG=120°,

，NAGF=60°,

/.ZFGE=ZAGE=30°,

•.•四边形AEGH为平行四边形，

，GE〃AH,

.,.ZGAH=ZAGE=30°,NH=NFGE=30°,

.,.ZGAH=90°,又NAGE=30°,

，GH=2AH,

VZDAB=60°,NH=30°,

，NADH=30°,

，AD=AH=GE,

•.•四边形ABEH为平行四边形，

.\BC=AD,

，BC=GE,

•.•四边形ABEH为平行四边形，NHAE=NEAB=30°,

，平行四边形ABEH为菱形，

.\AB=AH=HE,

AGE=3AB,

二.=3.

【点评】本题考查的是相像三角形的判定和性质、全等三角形的

判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，把握全等三角形

的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题

的关键.

六、(本大题共12分)

23.(12分)特例感知

(1)如图1,对于抛物线yl=-x2-x+1,y2=-x2-2x+l,y3

=-x2-3x+l,下列结论正确的序号是①②③；

①抛物线yl,y2,y3都经过点C(0,1)；

②抛物线y2,y3的对称轴由抛物线yl的对称轴依次向左平移个

单位得到；

③抛物线yl,y2,y3与直线y=l的交点中，相邻两点之间的距

离相等.

形成概念

（2）把满意yn=-x2-nx+l（n为正整数）的抛物线称为“