新教材2023高中数学第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系分层演练新人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系A级基础巩固1.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,-5)关于Oxy平面对称的点的坐标是()A.(-1,3,-5)B.(1,3,5)C.(1,-3,5) D.(-1,-3,5)解析:点P(1,3,-5)关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,3,5).答案:B2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若向量a在单位正交基底{AB,AD,AA1}下的坐标为(2,1,-3),则向量a在单位正交基底{DA,DC,DD1}下的坐标为A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)解析:因为a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=-DA+2DC-3DD1,所以向量a在基底{DA,DC,D答案:B3.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在Oyz平面内,若∠BDC=90°,∠DCB=30°,则点D的坐标为（0,-12,32解析:如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3,所以DE=CD·sin30°=32,OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1-12=所以点D的坐标为0,-4.如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且AB=AP=1,以{DA,AB,AP}为单位正交基底建立空间直角坐标系,求MN,DC的坐标.解:设DA=e1,AB=e2,AP=e3,则DC=AB=e2,所以DC的坐标为(0,1,0).因为MN=MA+AP+PN=MA+AP+1=MA+AP+12(PA+AD+DC=-12e2+e3+12(-e3-e1+e=-12e1+12e所以MN的坐标为-1B级能力提升5.已知向量OA和OB在单位正交基底{a,b,c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1).若OC=25AB,则向量OC在单位正交基底{a,b,c}下的坐标是(A.（-65,-45,-85） B.（65,-4C.（-65,-45,85） D.（65,解析:因为AB=OB-OA=(2b+c)-(3a+4b+5c)=-3a-2b-4c,所以OC=25AB=-65a-45b-85c,所以向量OC在单位正交基底{a,b,答案:A6.一个向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为32解析:设p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.由题意,得x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=327.在正四棱锥V-ABCD中,O为底面中心,若AB=2,VO=3,建立适当的空间直角坐标系,确定各顶点的坐标.解:答案不唯一,如:以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为顶点V在z轴正半轴上,且VO=3,所以它的横坐标与纵坐标都是0,所以点V的坐标是(0,0,3).因为A,B,C,D四点都在Oxy平面上,所以它们的竖坐标都是0.又因为AB=2,O为底面中心,所以点A的坐标是(1,-1,0),点B的坐标是(1,1,0),点C的坐标是(-1,1,0),点D的坐标是(-1,-1,0).8.多空题如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:AM=(-2,0,1),OB1=解析:设i,j,k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,则AM=AD+DM=-DA+12DD1=-2i+0j+12×2k=-2i+OB1=OB+BB1=12DB+BB1=12DA+12DC+BB1=C级挑战创新9.多选题在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立空间直角坐标系如图所示,则下列向量对应坐标正确的是()A.AA1B.A1C1=（-1C.DA1D.AB1=（-12,解析:设与DC,DA,DD1方向相同的单位向量为i,j,k,则DC=12i,DA=32j,DD1=2k,故AA1=DD1=2k,从而AA1=(0,0,2),故A正确.A1C1=AC=DC-DA=12i-32j,即A1C1=12,-32,0,故B错误.DA1=DA+DD1=32j+2k,即DA1=0,答案:AD10.多空题在棱长为2的正四面体AOBC中,D是AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点A的坐标是33,1,2解析:设x轴、y轴、z轴上的单位向量分别为i,j,k,过点A作AG⊥平面OBC于点G,连接BG,并延长交OC于点M,如图所示,则G为△OBC的重心,OM=j,MG=13MB=13×32×2i在Rt△ABG中,BG=23所以AG=AB2-所以GA=263所以OA=OM+MG+GA=33i+j+26即点A的坐标是33因为OB=OM+MB=j+3i,所以OD=12(OA+OB=1=233i+j+6即OD的坐标是2311.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA所在直线为z轴,OC所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系,x轴与BC交于点E,M为AB的中点,求OM的坐标.解:由题意,易知OE=13BD=23,△BCD的中线长为32×2=3,则所以