新教材2023高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及其应用分层演练新人教A版选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及其应用A级基础巩固1.在各项都为正数的等比数列{an}中,若首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=()A.84 B.52C.26 D.13解析:在各项都为正数的等比数列{an}中,设公比为q(q>0),由首项a1=3,前三项和为21,得3+3q+3q2=21,所以q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=21×22=84.答案:A2.已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为()A.10 B.20C.100 D.200解析:a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=a42+2a4a6+a62=答案:C3.在正项等比数列{an}中,a510a511=1100,则lga1+lga2+…+lga1020=()A.1019 B.1020C.-1019 D.-1020解析:由正项等比数列{an}的性质可知a1a1020=a2a1019=…=a510a511=1100则lga1+lga2+…+lga1020=lg(a1a2·…·a1020)=lg1100510=-1020答案:D4.若等比数列{an}中的a4,a8是方程x2-10x+4=0的两个实根,则a2a6a10=8.解析:在等比数列{an}中,a4a8=a2a10=a62.因为a4,a8是方程x2-10x+4=0的两个实根,所以a4a8=4,a4+a8=10,所以a4>0,a8>0,所以a6=a4q2>0.因为a62=4,所以a6=2,所以a2a6a10=5.若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足a1+a2019=π,b1b2019=2,函数f(x)=sinx,则fa1009+a解析:因为{an}是等差数列,所以a1009+a1011=a1+a2019=π.因为{bn}是等比数列,所以b1009·b1011=b1b2019=2,所以a1009+a10111+b1009b1011=π1+2=6.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)当a1=76时,求数列{an}的通项公式解:(1)由题意,可知an+12-4an≥0,且α+β=a又因为6α-2αβ+6β=3,即6(α+β)-2αβ=3,所以6an+1an-2an=3,即an+(2)因为an+1=12an+1所以an+1-23=1又因为a1-23=12,故an-23是首项为所以an-23=12n,所以数列{an}的通项公式为an=23+B级拓展提高7.已知数列{an}为等比数列,若a4+a7=2,a42+a72=20,则a1a10的值为A.16 B.8 C.-8 D.-16解析:因为a4+a7=2,a42+a所以20=(a4+a7)2-2a4a7,所以a1a10=a4a7=-8.答案:C8.已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来的14以下,则至少需要重叠玻璃板的块数为(参考数据:lg2≈0.3010)()A.4 B.5 C.6 D.7解析:设经过n块玻璃板后,光线的强度为an,则数列{an}是以45为首项,45则an=45n由题意可得45n<两边同时取对数,得nlg45<-所以n>-2lg22lg2-lg5=则n的最小值为7.故选D.答案:D9.在等比数列{an}中,an>0,若a1+a2+…+a8=9,a1a2·…·a8=81,则1a1+1a2+…+1aA.3 B.6 C.9 D.27解析:1a1+1a2+…+1a8=a8+a1又因为a8a1=a7a2=a6a3=a5a4,所以①式可变形为a1+a因为a1a2·…·a8=81,得(a4a5)4=81,所以a4a所以9a4a5=93=3,即1a1+1答案:A10.在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=32解析:因为数列{an}是正项等比数列,所以a3a4a5=a43=3因为a1a2·…·a7=a47=(a所以log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2·…·a7)=log337π3=所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=sin7π3=sinπ3=11.已知在数列{an}中,Sn=4an-1+1(n≥2),且a1=1.(1)若bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;(2)若cn=an2n,求证:数列{cn证明:(1)当n≥2时,an+1=Sn+1-Sn=4an+1-(4an-1+1)=4(an-an-1),所以an+1-2an=2(an-2an-1),即bn=2bn-1.因为S2=4a1+1=5,且a1=1,所以a2=4,b1=a2-2a1=2.所以{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知bn=2n,所以an+1=2n+2an.所以cn=an2n=2n-1+2an即cn-cn-1=12又因为c1=a12=所以{cn}是以12为首项,1212.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=55,S20=210.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=anan+1,是否存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m,k的值解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(由已知,得10即2a1所以an=a1+(n-1)d=n(n∈N*).(2)假设存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列,则bm2=b1b因为bn=anan所以b1=12,bm=mm+1,b所以mm+12=12·kk因为k∈N*,所以-m2+2m+1>0.解得1-2<m<1+2.因为m≥2,且m∈N*,所以m=2,此时k=8.故存在m=2,k=8使得b1,bm,bk成等比数列.C级挑战创新13.多空题设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)=-12;若b5b6+b4b7=4,则b1b2·…·b10=32