2022-2023学年广东省佛山一中石门中学高三冲刺模考数学试题

2022-2023学年广东省佛山一中，石门中学高三冲刺模考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a=log23,Z>=log46,。=5如，则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>hD.c>b>a

2,若各项均为正数的等比数列{a,J满足％=3%+2%,则公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

22

3.已知双曲线C：二—与=1（。>0力>0）的左右焦点分别为K，F2,p为双曲线。上一点，。为双曲线C渐近

a~b~

线上一点，P,。均位于第一象限，且2QP=P/2，Q4•。尸则双曲线。的离心率为（）

A.V3-1B.V3+1C.713+2D.V13-2

2x+1,x<0__

4.已知函数/口心小l.*〉0，则方程/=3的实数根的个数是（）

A.6B.3C.4D.5

5.设集合A={x|/-5X-6<。},8={X|X-2<0},则AB=（）

A.{x卜3<x<2}B.{x|-2<x<2}

C.{x|-6cx<2}D.{x|-l<x<2}

6.执行如图所示的程序框图，若输出的左=5,则输入的整数P的最大值为（）

7.双曲线一：_：的离心率为J，则其渐近线方程为

5-不=八二＞。：匚＞4

A。二=+、1二B.二二+、？二C._D._

O=±yDa=±yD

8.如图，在一二二二中，点M是边二二的中点，将二二二二沿着AM翻折成一二二'二，且点二不在平面二二二内，点二是

线段二二上一点.若二面角二一二二一二与二面角二一二二一二的平面角相等，则直线二二经过一二二二的（）

Mc

A.重心B.垂心C.内心D.外心

9.设函数/(x)=sin(0x+?)((y〉O),若/(x)在[0,2划上有且仅有5个零点,

则①的取值范围为（）

■1229)<1229](1229>「1229-

L5ioj15loj(510JL5ioj

10.若复数z满足Z—百(l+z)i=l,复数2的共扼复数是三，则Z+W=()

1h

A.1B.0C.-1D.一一+—i

22

x+y<10

11.设实数X、y满足约束条件x-,则z=2x+3y的最小值为（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

12.已知/（x）为定义在R上的偶函数，当xe（TO）时，〃x）=3'+；则”log3£|=（）

A.-2B.3C.-3D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛q,｝的前〃项和公式为S,=2〃2一〃+1,则数列｛4｝的通项公式为一.

22

14.双曲线，一£=1（。>0,6>0）的左焦点为耳（一2,0）,点A（0,6），点尸为双曲线右支上的动点，且A4P耳周

长的最小值为8,则双曲线的实轴长为,离心率为.

15.函数〃力=/一**一。|2]-1|在（0,1）内有两个零点，则实数〃的取值范围是.

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将六大板块依次各完成一次，贝心阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有

种.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在直角坐标系龙。）中，已知点例1,半，G的参数方程为+'Q为参数），以坐标原点。为极

3

点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为3=2+COS2。.

（1）求G的普通方程和C2的直角坐标方程;

11

（2）设曲线G与曲线C?相交于A，B两点,求网+画的值・

18.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PAl^ABCD,AD//BC,NA6C=90。,

AB=BC=-AD=-PB=2,E为必的中点，F是PC上的点.

22

p

（1）若EE〃平面B4O,证明：ER_L平面243.

（2）求二面角B-PD-。的余弦值.

1*

19.（12分）已知数列的前〃项和为S,,,且满足4=]5“+l（"eN）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若或=10g24,c„=—,且数列｛%｝前〃项和为T“，求7"的取值范围.

DnDn+\

20.（12分）在底面为菱形的四棱柱4JCD-AAG。中，AB=AA,=2,A.B=A,D,ZBAD=60°,ACBD=O,AO±^

面A,B。.

（1）证明：B、C平面AB。；

（2）求二面角B-AA-。的正弦值.

21.（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米

/小时、600千米/小时，等干米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为"，元（加>0）,

运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y（元）、

y2（元）、y3（元）•

（1）请分别写出%、为、丫3的表达式；

（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.

22.（10分）已知非零实数。力满足a<b.

(1)求证：a3-b3<2a2b-2ab2i

(2)是否存在实数2'使得》一苣24(5一/)恒成立？若存在,求出实数2的取值范围；若不存在,请说明理由

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较。力，再由中间值1可得三者的大小关系.

【详解】

01

«=log,3G(1,2),b-Iog46=log276G(1,log,3),c=5e(0,l),因此a>6>c,故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

2、C

【解析】

由正项等比数列满足4=34+24，即6r=34+244,又qwO,即q?—24—3=0,运算即可得解.

【详解】

解：因为a?=36+2a2,所以4/=3q+2qq,又a尸0,所以q?-2q-3=0,

又4>0,解得q=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.

3、D

【解析】

2

由双曲线的方程］y2

=1的左右焦点分别为耳，工,p为双曲线。上的一点，。为双曲线c的渐近线上的一点,

a一瓦

且P,Q都位于第一象限，且

可知P为。6的三等分点，且。耳，。死，

点。在直线法—纱=0上，并且[0。=。，则。（。力），居（C,O）,

设P（X1,X）,则2（x,-a,yt-b）=（c-xl,-yi）,

ma2a+c2bann/2a+c2b、

解得玉=三一，y=可，即P（二—，石），

代入双曲线的方程可得—J,=1,解得6=£=屈一2,故选D.

4矿4a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重

要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出",C,代入公式e=2；②只需要

a

根据一个条件得到关于6的齐次式，转化为。，c的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范围）.

4、D

【解析】

画出函数x〉0，将方程/[/（切=3看作r=/（x），/⑺=3交点个数，运用图象判断根的个数.

【详解】

2x+l,x<0

画出函数〃x）=[|ln心>0

令，=/（。；./。）=3有两解4€（0,1）山€（1,+8）,则4=/（x）J（x）=%分别有3个，2个解，故方程

/[/（X）]=3的实数根的个数是3+2=5个

故选：D

本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题.

5、D

【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.

【详解】

由题意知，集合4={目-1<*<6},8=卜,<2},

由集合的交运算可得,Ac8=(x|-l<x<2}.

故选:D

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.

6、B

【解析】

试题分析：由程序框图可知：①S=o,k=l；②5=1，k=③5=3，；：=3；④k=4；

⑤S=15，太=3第⑤步后;.输出，此时$=15之尸，则尸的最大值为15,故选B.

考点：程序框图.

7,A

【解析】

分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

因为渐近线方程为c，所以渐近线方程为二=±、;二，选A.

口=土和

点睛：已知双曲线方程一：求渐近线方程：一：一：一.

=--5-=/(Z.Z>0)m一$=。=二=±三二।

8、A

【解析】

根据题意二到两个平面的距离相等，根据等体积法得到二二二二-二一一，得到答案.

【详解】

二面角二一二二一二与二面角二一二二一二的平面角相等，故二到两个平面的距离相等.

故二=二-_-一，即二=二-_-一，两三棱锥高相等，故二——二二——，

故二二=二二故二为二二中点.

故选：n.

【点睛】

本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9、A

【解析】

n

由0WxW2力求出3x+g范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立。不等量关系，即可求解.

【详解】

入冗兀冗

当xi［。,24］时，COX+—€—,,

•••在［0,2句上有且仅有5个零点，

式，1229

:.57r<2。乃HV67V,：•<69<—.

5510

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.

10、C

【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出z,再根据共轨复数的概念求解即可.

【详解】

解「：z-亚-布zi=l，

.1+73/173.

••Z-------7=-=------1------I9

1-V3z22

则三=一_1一立〃

22

,•z+z=-1，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共加复数的概念，属于基础题.

11、D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+”10

做出满足y<2的可行域，如下图阴影部分，

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值，

由彳解得<即44,2),

[x~y=21y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

12、D

【解析】

2

判断-1<log3-<0,利用函数的奇偶性代入计算得到答案.

+r2-

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2,〃=1

13、ci=：

”[4n-3,n>2

【解析】

由题意，根据数列的通项与前n项和S“之间的关系，即可求得数列的通项公式.

【详解】

由题意，可知当〃=1时，q=S[=2；

当〃22时，q=S,—S“_|=2〃2_〃_2(〃一1『+〃-1=4〃一3.

又因为％=1不满足。“=4〃-3,所以

[4n-3,n>2

【点睛】

本题主要考查了利用数列的通项an与前n项和Sn之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项a„与

前n项和S“之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14、22

【解析】

设双曲线的右焦点为6(2,0),根据A4P6周长为P耳+PA+A耳<4工+2。+3,计算得到答案.

【详解】

22

设双曲线£—g=1(a>0力>0)的右焦点为F2(2,0).

尸片周长为：PF1+PA+AFi=PF?+2。+尸A+3WAF2+2。+3=6+2。=8.

当AP居共线时等号成立，故。=1,即实轴长为2a=2,e=-=2.

a

故答案为：2；2.

【点睛】

本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15、^yl~e,e—lj

【解析】

1/11、>11

设f=I,设g(r)=e2+'_e।2T,函数为奇函数，+er，>0>函数单调递增，

g'(0)=2&<2(e—l),画出简图，如图所示，根据2&<勖<2(0-1),解得答案.

【详解】

e''-2^LC-^L设/=x—fe(一；,g),则x=/+g.

〃x)=e'e'-x-b\2x-\\=ex

原函数等价于函数v=-2b\t\>即/_才=2b\t\有两个解・

111I

设g«)=e2+'_e5T,则g(v)==_g«),函数为奇函数.

g'(/)=%+'+1T>0,函数单调递增，g(0)=0，g]£|=e-1,

当。=0时，易知不成立;

当力＞0时，根据对称性，考虑x»0时的情况，g'(o)=2血＜2(e—1),

画出简图，如图所示，根据图像知：故2及＜2人＜2(e—l),即“

根据对称性知：b&[\-e,-4e^

故答案为：(1-e,

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.

16、432

【解析】

先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数，最后求和得结果.

【详解】

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有2父=240种；

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有2C：A：=192种;

因此共有240+192=432种.

故答案为：432

【点睛】

本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y=y/3x--;V+苴=1(2)4

23

【解析】

(1)消去G参数方程中的参数/，求得G的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得G的直角坐标方程・

(2)求得曲线G的标准参数方程，代入的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得

画土画的直

【详解】

'1厂

x=—Ftn

(1)由G的参数方程2a为参数)，消去参数可得y=Gx-组,

)=62

3

由曲线的极坐标方程为=T=2+cose,得2"+炉cos^0=3,

所以的直角坐方程为3/+2：/=3,即/+*2L=i.

(2)因为M1,彳在曲线a上,

尤=1+一/■

2

故可设曲线G的参数方程为G6a为参数)，

122

代入3/+2y2=3化简可得3/+&+2=0.

82

设A,3对应的参数分别为f],t2,则。+/2=-§，丫2=§，

卜I+右|

所以画+画加+门

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的

几何意义进行计算，属于中档题.

18、(1)证明见解析(2)13阿

190

【解析】

(1)因为BCHAD,利用线面平行的判定定理可证出BC〃平面Q4O,利用点线面的位置关系，得出BC〃PM和

EFHBC,由于Q4_L底面A3CD,利用线面垂直的性质，得出

PALBC,且A3_LBC,最后结合线面垂直的判定定理得出8CL平面即可证出所，平面Q48.

(2)由(1)可知A3,AD,AP两两垂直，建立空间直角坐标系A-型，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求

出所需向量，分别求出平面BDP和平面CDP的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出B—PO—C的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为BC〃AD,平面PA。，ADu平面B4。，

所以8c〃平面PAD，

因为Pe平面P8C,Pe平面PAD，所以可设平面PBCj平面QAZ)=PA/,

又因为BCu平面PBC,所以BC//PM.

因为EF〃平面PAD，石尸u平面PBC,

所以EF//PM,从而得EF//BC.

因为底面ABC。，所以Q4_L3C.

因为NABC=90°,所以AB_LBC.

因为24AB=A,所以BCL平面上钻.

综上，平面B43.

(2)解：由(1)可得AB，AD,AP两两垂直，以A为原点，AB，AD,AP所在

直线分别为“，y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系4-型.

因为A8=BC=gAO=gpB=2,所以©4=1尸3?—AB?=26，

则8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,2回

所以80=(-2,4,0),BP=(-2,0,26),CD=(-2,2,0),CP=(-2,-2,26).

设机=(%,以1，4)是平面BOP的法向量,

m•BD=0,—2%|+4y=0,

由，取＜

m•BP=0,-2工1+2^3Zj—0,

取菁=26,得加=(2百,6,2).

设〃=(x2,%,z?)是平面CDP的法向量,

n-CD=0,—2%2+2y2=0，

由*得V

nCP=0,—2%2—2y2+2yBz)—0,

取％2=G，得〃=(道,6,2),

m-n_13Ji丽

所以cos(/n,〃

|/n||n|190

即3-P。—c的余弦值为受叵

190

【点睛】

本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、

空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.

(|

19、(1)«„=2(2)Tlte

【解析】

(1)由4=；£+1,可求q,然后由〃..2时，勺=s“一S,-可得⑸=2。,”1,根据等比数列的通项可求

1111

(2)由〃=log,a“=log,2"=",而。"=1厂=二一-=------7,利用裂项相消法可求『.

b力“+1〃(〃+1)〃〃+1

【详解】

(1)当〃=1时，q=；S]+l,解得q=2,

当〃..2时，a”T=；S“_1+l…①

4.=；s.+i…②

②一①得an-%=ga“,即an=2a„_1,

,数列仅“｝是以2为首项，2为公比的等比数歹！J,

1'-an=2"：

(2)bn=log2an=log22"=n

1111

，c-------=----------=-----------,

‘"+i〃(〃+1)n〃+1'

.।1111111,1

••T=1-----1--------1--------F...H-----------=1--------,

22334n〃+1n+1

；nsN"，Try"。，；〕

”,叫1).

【点睛】

本题考查递推公式。“=%-5,1(〃-2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数

与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

20、(1)证明见解析；(2)占8

7

【解析】

(1)由已知可证用。〃4。，即可证明结论；

(2)根据已知可证A。1平面ABC。，建立空间直角坐标系，求出A,A，8,。坐标,进而求出平面4AB和平面A.AD

的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【详解】

方法一：(1)依题意，%B、&AB,且AB&CD、：.'B也CD,

...四边形A48是平行四边形，

•••耳。2平面43。，4。＜=平面48£),

Afi,C平面ABO.

(2)•••AO_L平面A/。，.IAO，A。，

•.•48=4。且。为8。的中点，；.4。上3。，

VAO.8。u平面ABC。且AOBD=O,

：.4。，平面ABC。，

以。为原点，分别以04,08,。4为x轴、y轴、Z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙Z,

*

则A(6,o,o),8(0,1,0),0(0,—1,0),4(0,0』),

:.M=N，0』),48=N』,0),AO=N，-1,0),

设平面AfAB的法向量为n=(x,y,z),

n_LAA[->/3X4-Z=0

则，取x=l,则力=

nA.AB-6x+y=Q

设平面AAD的法向量为=(%,mzj,

—

n_LAAj>/3x+z=0

则取x=l,贝!=

AD-yf3x-y=0

m-n1_」

cos<m,n>=

x/7xV7-7

设二面角的平面角为。，贝！Isina=

二二面角B-AA,-D的正弦值为迪.

7

方法二：(1)证明：连接AB1交48于点。，

因为四边形为平行四边形，所以。为A4中点,

又因为四边形ABC。为菱形，所以。为AC中点，

.•.在VA4c中，OQ〃耳C,且OQ=ggC,

：OQu平面ABZ),与。U平面43。，

AB,C平面ABO

(2)略，同方法一.

【点睛】

本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,

属于中档题.

,、“c侬mS「ccmS

21、(1)y=20sH------,y,=1OSH----,%—50sH----.

160--1203600

(2)当机<6000时，此时选择火车运输费最省；

当力>6000时，此时选择飞机运输费用最省；

当加=6000时，此