新教材2023高中数学第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式分层演练新人教A版选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.2两点间的距离公式A级基础巩固1.已知△ABC的顶点分别为A(7,8),B(10,4),C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为()A.8B.13C.215 D.65解析:由B(10,4),C(2,-4),得中点M的坐标为(6,0).因为点A的坐标为(7,8),所以|AM|=(6-7答案:D2.已知△ABC的顶点分别为A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是()A.23 B.3+23 C.6+32 D.6+10解析:由两点间距离公式,得|AB|=(2+1)2+32=32,|BC|=(2+1)2+02=3,|AC|=答案:C3.已知两点A(-3,4)和B(0,b),且|AB|=5,则b等于()A.0或8 B.0或-8 C.0或6 D.0或-6解析:由两点间距离公式,得|AB|=32+(b-4)2=答案:A4.已知两点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取最小值时,a=12解析:由两点间距离公式,得|AB|=(=(=a=2=2a所以当a=12时,|AB|取最小值5.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于25.解析:设A(x,0),B(0,y).因为AB的中点是P(2,-1),所以x2=2,y2=-1,所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|=42+6.已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).(1)判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由;(2)求△ACD的面积.解:(1)不能.理由:因为kAB=0-(-4)2-0=2,所以kAB=kBC,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点不能围成四边形.(2)因为kCD=4-14所以直线CD的方程为y-4=13(x-即y=13x+8令x=0,得y=83,即直线CD与y轴的交点为E0,83,所以S△ACD=12·|AE|·|xC-xD|=12×203×[4-(-5)]B级能力提升7.已知点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动.当|AB|最小时,点B的坐标是()A.(-1,1) B.(-1,0)C.(0,-1) D.(-2,1)解析:因为点B在直线x+y+1=0上运动,所以设点B的坐标为(x,-x-1).由两点间距离公式可知|AB|=(x-0)2+(-x-1-1)2=2x2+4x+4=答案:B8.已知两点P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则|PQ|的最大值为()A.2 B.2 C.4 D.22解析:因为P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),所以|PQ|=(=cos=2=2-因为cos(α-β)∈[-1,1],所以|PQ|∈[0,2],即|PQ|的最大值为2.答案:B9.函数y=x2-2x+10解析:因为y=x2-2x+10(x它表示x轴上的点(x,0)与点(1,-3)以及点(0,1)距离之和的最小值,所以(1,-3)与(0,1)之间的距离即为所求最小值,最小值为(0-110.求证:等腰梯形的对角线相等.证明:如图,在等腰梯形ABCD中,以AB边所在直线为x轴,以AB边的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),D(b,c),由等腰梯形的性质知B(a,0),C(-b,c).所以|AC|=(-b+a|BD|=(b-a所以|AC|=|BD|,即等腰梯形的对角线相等.11.已知点A(-3,4),B(2,3),在x轴上找一点P,使得|PA|=|PB|,并求出|PA|的值.解:设P(x,0),则|PA|=(-3-x)2+(4因为|PA|=|PB|,所以x2+6x解得x=-95,所以P-95,0,所以C级挑战创新12.多选题在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是()A.(2,0) B.(6,4)C.(4,6) D.(0,2)解析:设B(x,y),则y解得x=2,y=0或x=4,y答案:AC13.多空题已知点M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使|PM|+|PN|取得最小值,则最小值为5,此时点P的坐标为54解析:易知点M(-1,3)关于x轴的对称点是A(-1,-3).因为|PM|+|PN|=|PA|+|PN|≥|AN|=32+42=5,当且仅当A,P,N三点共线时等号成立,所以因为kAN=-3-1-1-2=43,所以直线AN的方程为y-(-3)=43[x-(-1)],即4x-3y-5=0.令y=0,14.多选题若直线l过点A(1,-1),且与已知直线l1:2x+y-6=0相交于点B,|AB|=5,则直线l的方程为()A.y=-1 B.3x+4y+1=0C.x=1 D.4x+3y+1=0.解析:当直线l的斜率不存在时,过点A(1,-1)的直线为x=1,解方程组x=1,2x+y-6=0,得点B当直线l的斜率存在时,设过点A(1,-1)的直线为y+1=k(x-1),解