特训01 整式的加减与乘法压轴题（原卷版）

特训01整式的加减与乘法压轴题一、解答题1．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则．(1)若多项式的值与x的取值无关，求a值；(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．2．记，令，我们称为这列数的“理想数”．例如：，则，，则．（1）请直接写出．（2）如果，那么．（3）已知的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”是多少？3．表格为2021年11月的日历：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数：①设中间的一个数为a，则另外的两个数为，；②若已知这三个数的和为60，则这三个数在星期．（2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b，若这9个数的和为153，求的值．4．某水果批发市场苹果的价格如下表：价

目

表购买苹果（千克）单价不超过20千克的部分7元/千克超过20千克但不超过40千克的部分6元/千克超过40千克的部分5元/千克（1）小明第一次购买10千克苹果，需要付费_________元；小明第二次购买苹果x千克（x超过20千克但不超过40千克）需要付费_______元（用含x的式子表示）（2）小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含a的式子表示）5．阅读下列材料，并解决有关问题：我们知道，|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如化简式子|x＋1|＋|x﹣2|时，可令x＋1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1、2分别为|x＋1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2.从而化简代数式|x＋1|＋|x﹣2|可分为以下3种情况：（Ⅰ）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x＋1）﹣（x﹣2）＝﹣2x＋1；（Ⅱ）当﹣1≤x＜2时，原式＝（x＋1）﹣（x﹣2）＝3；（Ⅲ）当x≥2时，原式＝（x＋1）＋（x﹣2）＝2x﹣1；综上所述：原式＝．通过以上阅读，请你类比解决以下问题：(1)填空：|x＋2|与|x﹣4|的零点值分别为；(2)化简式子|x﹣3|＋2|x＋4|．6．观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题．（1）观察下列等式：根据发现的规律，写出第5个等式是，第n个等式是；（2）根据（1）中发现的规律计算：；（3）把四张大小相同的长方形卡片（如图1），分别按如图2、图3两种放法互不重叠地放入一个大长方形内，未被长方形卡片覆盖的部分用阴影表示．已知小长方形的长为x，宽为y，请直接写出x与y之间存在的等量关系式；若大长方形的长为a，请直接用含a的整式表示图2中阴影部分的周长与图3中阴影部分的周长的差．7．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，，则：．(1)请判断是否是“差同数”．如果是，请求出的值；(2)若自然数，都是“差同数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值．8．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．(1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________；(2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；(3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________．9．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：是一个“差同数”．所以：，则：．(1)写出一个“差同数”___________(2)请判断4378是否是“差同数”．如果是，请求出的值；(3)若自然数P，Q都是“差同数”，其中，（，x，y，m，n都是整数），规定：，当能被11整除时，求k的最小值．10．7张如图1的长为，宽为b的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．

(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含的代数式表示），长方形的面积为____________（用含的代数式表示）(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，.①用含的代数式表示；②当的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么必须满足什么条件?11．阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题：(1)计算所得多项式的一次项系数为．(2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值；(3)如果，求的值．12．观察下列一组等式：(1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．①__________；②（）；③（）．(2)利用你发现的规律来计算：．13．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式的系数和是；（a+b）n展开式的系数和是．（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是；（a+b）n展开式的系数和是．14．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若，，试比较，的大小．解：设，那么看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：若，，试比较，的大小．15．图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．16．有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为（用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为．（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．①用a、b、x的代数式表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？17．阅读理解题阅读材料：

两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．

比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；

再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；

又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以

该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；

设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．

两数相乘可得：.（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）问题：

两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．

如、、等．（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________18．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；(2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；(3)若代数式参照代数式取值延后，求的值．19．阅读理解下列材料：“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．同理，图2可以得到一个等式：．根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图3可得等式：___________；(2)由图4可得等式：____________；(3)若，，，且，，求的值．①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．②根据你画的图形可得等式：______________；③利用①的结论，求的值．20．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式______；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____；（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______．（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？21．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数.小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数.延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若是的一个因式，求、的值.22．定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，