第3章《数据的集中趋势和离散程度》知识讲练（教师版）

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：平均数1.算术平均数一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.细节剖析：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.2.加权平均数一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+）“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.细节剖析：（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越“重要”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.知识点01：众数和中位数1.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势.细节剖析：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.2.中位数一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数.当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.细节剖析：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.知识点02：平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势.区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•新吴区二模）已知一组数据：2019、2021、2023、2023、2024这组数据的中位数和众数分别是（）A．2022、2023 B．2022、2022 C．2023、2022 D．2023、2023解：将这组数据从小到大排列为：2019、2021、2023、2023、2024，所以中位数为2023，2023出现2次，次数最多，所以众数为2023．故选：D．2．（2分）（2023•锡山区校级三模）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022﹣2035年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）决赛成绩/分100959085人数/名1423A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，100解：∵中位数是第5个，第6个数据的平均数即＝92.5，∵95出现的次数最多，4次，∴众数为95．故选：A．3．（2分）（2023•泗洪县二模）已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．6 B．2 C．8 D．7解：∵数据6，3，8，x，7的平均数是6，∴6+3+8+x+7＝6×5，解得：x＝6，这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，6，6，7，8，则中位数为6．故选：A．4．（2分）（2022秋•太仓市期末）在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（）A．7 B．14 C．10 D．17解：由题意可知，该样本容量为7．故选：A．5．（2分）（2023•秦淮区二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定解：由折线统计图得甲同学的成绩波动较大，所以S甲2＞S乙2．故选：A．6．（2分）（2023•淮安区校级二模）超市里五种型号的书包价格分别为50，60，80，90，110（单位：元），降价促销后，每种型号书包价格都降了10元．降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是（）A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数解：降价前书包价格分别为50，60，80，90，110，中位数是80，平均数是＝78，方差是×[（78﹣50）2+（78﹣60）2+（78﹣80）2+（78﹣90）2+（78﹣110）2]＝456，没有众数，降价后书包价格分别为40，50，70，80，100，中位数是70，平均数是＝68，方差是×[（68﹣40）2+（68﹣50）2+（68﹣70）2+（68﹣80）2+（68﹣100）2]＝456，没有众数，综上可知降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是方差．故选：C．7．（2分）（2023•邗江区二模）众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④解：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是，错误；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，正确；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100，正确；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，不能推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数一定是100，错误；故选：B．8．（2分）（2023•兴化市一模）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中m、n是正整数下列结论：①当m＝n时，两组数据的平均数相等；②当m＞n时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当m＝n时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④解：①第1组平均数为：0.5；当m＝n时，第2组平均数为：＝＝0.5；∴①正确；②当m＞n时，m+n＞2n，＜0.5；∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；∴②错误；③第1组数据的中位数＝0.5；当m＜n时，若m+n为奇数，第2组数据的中位数是1，若m+n为偶数，第2组数据的中位数是1，∴当m＜n时，第2组数据的中位数是1，∴m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；∴③正确；④第1组数据的方差：＝0.25；第2组数据的方差：＝0.25；∴当m＝n时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差；∴④错误；故答案为：B．9．（2分）（2023•东海县一模）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B．10．（2分）（2022秋•亭湖区期末）随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：金额（元）203050100200a人数（人）5161065根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．16元，50元 B．30元，30元 C．30元，40元 D．30元，50元解：红包金额的众数为30元，中位数为＝40（元），故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•工业园区校级模拟）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的中位数是253．解：把数据按从小到大排列为：247，247，253，255，263，最中间的一个数为253，所以这五次成绩的中位数为253．故答案为：253．12．（2分）（2023•宝应县校级三模）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是1．​解：从统计图中得知：从星期日到星期六的每天用水量分别为：2，1，0.5，1.5，1，1.5，1（单位：t）．出现次数最多的数字是1，即可众数是1．故答案为：1．13．（2分）（2023•宿城区校级模拟）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环 2）如下表所示．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择丙．甲乙丙丁8999s20.830.81.6解：由表知乙、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数，∴从乙、丙、丁中选择一人参加竞赛，∵丙的方差较小，∴选择丙参加比赛，故答案为：丙．14．（2分）（2023•雨花台区校级模拟）上表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员146人．解：由中位数为13.5岁，可知这组数据中间的两个数为13，14，∴这个俱乐部共有学员（28+22+23）×2＝146（人）．故答案为：146．15．（2分）（2023•邗江区校级模拟）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为，则＝（填“＞”，“＝”或”＜”）解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴＝．故答案为：＝．16．（2分）（2023•海陵区校级模拟）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如右表：项目应聘者甲乙丙学历988能力768态度585公司将学历、能力、态度按20%、m%、n%（n＞20）的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是48＜m＜60．解：∵n＝80﹣m，∴甲最终得分为[9×20%+7×m%+5×（80﹣m）%]＝0.02m+5.8，乙最终得分为[8×20%+6×m%+8×（80﹣m）%]＝8﹣0.02m，丙最终得分为[8×20%+8×m%+5×（80﹣m）%]＝0.03m+5.6，∵最终丙被录取，∴，解得：48＜m＜60．故答案为：48＜m＜60．17．（2分）（2023•清江浦区校级三模）小云统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的中位数是1．解：将这周用水量按从小到大排列为：0.5，1，1，1，1.5，1.5，2，∴这周用水量的中位数是1．故答案为：1．18．（2分）（2023•广陵区校级四模）在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是10．解：∵公式，∴它的样本容量是10，故答案为：10．19．（2分）（2022•扬州模拟）某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是85．解：将这6位同学的成绩重新排列为75、75、84、86、92、99，所以这六位同学成绩的中位数是＝85，故答案为：85．20．（2分）（2022秋•玄武区期中）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分数）708090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是77分．解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×+80×+90×＝77（分），故答案为：77．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•亭湖区校级期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）八（1）班：8，8，7，8，9八（2）班：5，9，7，10，9学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：班级平均数众数中位数八（1）8bc八（2）a99根据以上信息，请解答下面的问题：（1）填空：a＝8，b＝8，c＝8．（2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．（1）解：，八（1）班：7，8，8，8，9，∵8出现的次数最多，∴众数为：8，即b＝8，c＝（8+8）÷2＝8，故答案为：8，8，8；（2）解：由（1）可知，八（2）班的平均数是8，∴方差为：＝＝＝3.2，∵3.2＞0.4，∴八（1）班成绩更稳定．（6分）（2023•广陵区校级模拟）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年泰州市从5月8日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月7日的日平均气温是这5天中第一个大于或等于22℃的，则5月7日便是2021年泰州市的“入夏日”．已知我市2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日及其前后各两天的“5天滑动平均气温”；（2）请判断2022年的“入夏日”；（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，泰州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（泰州市2021年、2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）解：（1）（℃），答：2022年5月27日及其前后各两天的“5天滑动平均气温”为22℃；（2）我市2022年的“入夏日”为5月25日；（3）不正确．因为今年的入夏时间虽然比去年迟了18天，但是今年的入春时间比去年迟了26天，所以今年的春天应该比去年还短．23．（8分）（2023•东海县二模）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷和结果描述如表：调查问卷（部分）1．你每周参加家庭劳动时间大约是_____h．如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题；2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_____（单选）．A．没时间；B．家长不舍得；C．不喜欢；D．其它中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第二组；（直接写出答案）（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数是175人；（直接写出答案）（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图．对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．解：（1）由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，故中位数落在第二组，故答案为：二；（2）（1200﹣200）×（1﹣8.7%﹣43.2%﹣30.6%）＝175（人），答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人，故答案为：175人；（3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．24．（8分）（2023•南京三模）对小明家去年8月份至今年4月份的月用水量以及当地这9个月的月平均气温进行了统计，得到如所示的统计图表．小明家去年8月份至今年4月份的月用水量统计表月份用水量（吨）832930101811101281528311413（1）求小明家去年8月份至今年4月份的月平均用水量；（2）据有关部门预计，今年5月份当地平均气温为16℃结合相关信息，估计今年5月份小明家的月用水量，并从两个不同角度说明理由．​解：（1）＝15（吨），∴小明家去年8月份至今年4月份的月平均用水量是15吨；（2）去年8月份至今年1月份月用水量逐渐减少，今年1月份至4月份月用水量逐渐增多；去年8月份至今年1月份月平均气温逐渐降低，今年1月份至4月份月平均气温逐渐升高．说明月用水量随着温度的变化而变化.5月份月平均气温约为15°C，比4月份温度高，并且温度与去年10月份，11月份接近，故估计5月份月用水量约为15吨（答案不唯一）．25．（8分）（2023•启东市二模）某校举行“疫情防控”知识问答竞赛，每班选20名同学参加比赛，根数据答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整；（2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值：a＝3.6，b＝5；班级平均数（分）中位数（分）众数（分）甲班a44乙班3.63.5b（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．解：（1）甲班得分为3分的人数为20﹣（4+8+4）＝4（人），补全图形如下：（2）a＝＝3.6，b＝5；故答案无为：3.6，5；（3）甲班成绩更好，理由如下：在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，所以甲班高分人数多于乙班，∴甲班成绩更好（答案不唯一）．26．（8分）（2023•亭湖区校级三模）为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了八、九年级部分学生的分数，过程如下：收集数据：从该校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中九年级的分数如下：818384858687878889909292939595959999100100整理、分析数据如下表：分数x80⩽x＜8585⩽x＜9090⩽x＜9595⩽x⩽100八年级人数4628九年级人数3a47年级平均数中位数众数方差八年级91899740.9九年级91bc33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a＝6，b＝91，c＝95；（2）样本数据中，八年级甲同学和九年级乙同学的分数都为90分，哪位同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前？哪个年级分数较整齐？（说明理由）（3）如果八年级共有400人参赛，求该年级分数不低于95分的学生约有多少人．解：（1）根据所给九年级的数据可得a＝6，把抽取的20名九年级学生的成绩从小到大排列排在中间的两个数为90和92，故中位数b＝＝91，抽取的20名九年级学生的成绩中95出现的次数最多，故众数c＝95；故答案为：6；91；95；（2）八年级学生分数的中位数为89，甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；九年级的学生分数的中位数为91，乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；九年级学生分数的方差小于八年级学生分数的方差，故九年级的分数较整齐．（3）（人）．答：该年级分数不