关于分段函数分段点的讨论

关于分段函数分段点的讨论

在一般数学教材中，函数在分工点的导数是一个困难。一些分析教材将作为重点内容进行了讨论。为了完全弄清分段函数在划分点的导数，有必要明确以分工函数概念为区分函数的概念。分段函数的分工点？函数在一个点的导数。因此，作者先后讨论了这三个问题。(1)分段函数是指在函数定义域内的不同部分用不同的解析式来表示的函数;(2)分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值,函数在该点与在其它部分有不同的表达式;(3)函数在某一点处的导数定义为:设函数y=f(x)在点x0及其某个邻域U内有定义,当自变量x在x0处有改变量Δx时,相应地函数就有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)(其中x0+Δx∈U).如果极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)ΔxlimΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx存在,则称函数f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f′(x0).如果上述极限不存在,则称函数f(x)在点x0处不可导.一个分段函数在分段点处是否可导以及在可导的情况下,如何求该点处的导数,都必须严格地从导数的定义出发,分三步进行讨论.第一步,求函数在分段点处的改变量Δy;第二步,计算函数的改变量与自变量的改变量的比值ΔyΔxΔyΔx;第三步,取比值ΔyΔxΔyΔx在Δx→0时的极限limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx.以下对常见的分段函数在分段点处的导数分类做了讨论.1分点两侧的函数分析这种情况的分段点可能是函数的间断点,也可能是函数的连续点.在此通过两个例题来说明函数在这种分段点处的可导性.1.1cb的间断点例1讨论函数在x=0处的可导性.解:此函数的分段点是x=0.因为即limx→0-f(x)≠limx→0+f(x)limx→0−f(x)≠limx→0+f(x),所以limx→0f(x)limx→0f(x)不存在.故x=0是函数f(x)的间断点(如图1).根据函数在某点处的导数的定义可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件.故函数f(x)在分段点x=0处不可导.1.2x的分段点例2求下列分段函数在分段点处的导数.(1)f(x)={x2‚x≥0x3‚x＜0(2)f(x)={1-x2‚|x|≤1x2-1,|x|＞1(1)f(x)={x2‚x≥0x3‚x＜0(2)f(x)={1−x2‚|x|≤1x2−1,|x|＞1解:(1)函数的分段点是x=0.因为,所以limx→0f(x)=0.而f(0)=02=0,所以limx→0f(x)=f(0).故函数f(x)在分段点x=0处连续(如图2).又因为在x=0处,有:所以limΔx→0ΔyΔx=0.故函数f(x)在分段点x=0处的导数存在,并且f′(0)=0.(2)函数的分段点是x=-1和x=1.因为limx→1-f(x)=limx→1(x2-1)=0‚limx→1+f(x)=limx→1(1-x2)=0,所以limx→-1f(x)=0.又因为limx→1-f(x)=limx→1(1-x2)=0‚limx→1+f(x)=limx→1(x2-1)=0,所以limx→1f(x)=0.而f(-1)=1-(-1)2=0,f(1)=1-12=0,所以limx→-1f(x)=f(-1),limx→1f(x)=f(1).故函数f(x)在两个分段点x=-1和x=1处都连续(如图3).又因为在x=-1处有:limΔx→0-ΔyΔx=limΔx→0(-1+Δx)2-1-[1-(-1)2]Δx=limΔx→0(-2+Δx)=-2‚limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→01-(-1+Δx)2-[1-(-1)2]Δx=limΔx→0(2-Δx)=2,所以limx→0-ΔyΔx不存在.即函数f(x)在x=-1处不可导.同理,在x=1处,有:limΔx→0-ΔyΔx=limΔx→01-(1+Δx)2-(1-12)Δx=limΔx→0(-2-Δx)=-2‚limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→0(1+Δx)2-1-(1-12)Δx=limΔx→0(2+Δx)=2.所以在x=1处,limΔx→0ΔyΔx也不存在.即函数f(x)在x=1处也不可导.故函数f(x)在两个分段点x=-1和x=1处均不可导.上述两例表明:对于分段点是函数的间断点的情况,它必然是函数的不可导点;对于分段点是函数的连续点的情况,它既可能是函数的可导点,也可能是函数的不可导点.2段点两侧的函数分析公式相同这种情形也可以分为分段点是函数的间断点与连续点两种情况.在此仍以两个具体例题来阐明函数在这种分段点处的可导性.2.1分段点x=0是函数fx的间断点例3讨论函数在x=0处的可导性.解:此函数的分段点是x=0.因为,所以limx→0f(x)不存在.故分段点x=0是函数f(x)的间断点(如图4).根据连续是可导的必要条件可知:x=0是函数f(x)的不可导点.即函数f(x)在分段点x=0处不可导.2.2分段点x=0处可导例4求下列函数在分段点处的导数.(1)f(x)={xsin1x‚x≠00‚x=0(2)f(x)={x2sin1x‚x≠00‚x=0解:(1)函数的分段点是x=0.因为limx→0f(x)=limx→0xsin1x=0,而f(0)=0,所以limx→0f(x)=f(0).故分段点x=0是函数f(x)的连续点(如图5).又因为在x=0处,有:limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(0+Δx)sin10+Δx-0Δx=limΔx→0sin1Δx.此极限不存在.所以函数f(x)在分段点x=0处不可导.(2)函数的分段点是x=0.因为limx→0f(x)=limx→0x2sin1x=0,而f(0)=0,所以limx→0f(x)=f(0).故分段点x=0是函数f(x)的连续点(如图6).又因为在x=0处,有:所以函数f(x)在分段点x=0处可导,并且f′(0)=0.上述两例仍表明:若分段点是函数的间断点,则它必定是函数的不可导点;若分段点是函数的连续点,则它既可能是函数的可导点,也可能是函数的不可导点.根据以上讨论,对分段函数在分段点处的导数做如下总结:(1)无论函数在分段点两侧的解析式是否相同,分段点可能是函数的间断点,也可能是函数的连续点.(2)只要分段点是函数的间断点,那么函数在分段点处一定不可导;如果分段点是函数的连续点,则函数在分段点处可能可导,也可能不可导.(3)分段函数在分段点的可导性与连续性的关系,与初等函数的可导性与连续性的关系是一致的,即可导必连续,但连续不一定可导.(4)求分段函数在分段点处的导数,必须从导数的定义出发,分三步求解,即:求增量Δy;做比值ΔyΔx;取极限limΔx→0ΔyΔx.需要注意的是:当函数在分段点两侧解析式不同时,应先求其左、右导数,即分别计算极限limx→0-ΔyΔx与limx→0+ΔyΔx,若此二极限都存在并且相等,则函数在分段点处可导,并且导数值