专题04 一元一次方程（中等类型）（原卷版）

04一元一次方程【专题过关】类型一、行程应用【解惑】一位外卖员骑电动车需在规定时间内把水果送到某地，若每小时骑行55km，则早到10min，若每小时骑行50km，则迟到5min，求外卖员行驶的路程．若设外卖员行驶的路程为xkm，则列方程为（

）A．B． C． D．【融会贯通】1．（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）轮船从港顺流行驶到港，比从港原路逆流返回港少用3小时，若船在静水中的速度为27千米/时，水流的速度为2千米/时，求港和港相距多少千米？设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）星期天，小明一家从家里出发去奶奶家，爸爸骑自行车先走，速度为10千米/时，30分钟后妈妈开车和小明一起出发，速度为50千米/时，结果3人同时到达奶奶家，小明家距奶奶家的路程为千米．3．（2023·陕西榆林·校考二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是．4．（2022秋·安徽淮北·七年级校考期中）如图，某公园的一个荷花塘是边长为的正方形，甲、乙两人同时从顶点A出发，甲以的速度沿正方形的边按顺时针方向慢跑，即A→D→C→B→A；乙以的速度沿正方形的边按逆时针方向慢跑，即A→B→C→D→A

(1)当他们第一次相遇时，求：①甲跑了多长时间；②他们相遇的地点离哪个点最近？求最近的距离；(2)请直接写出15min内（包含15min），他们一共相遇了次，最后一次相遇的地点离哪个顶点最近，求最近的距离．5.（2022秋·全国·七年级专题练习）一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒．求这列火车的长度．小冉根据学习解决应用问题的经验对上面问题进行了探究，下面是小冉的探究过程，请补充完成：设这列火车的长度是x米，那么（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是米，这段时间内火车的平均速度是米/秒；（3）火车经过灯下和火车通过隧道的平均速度的关系是；（4）由此可以列出方程并求解出这列火车的长度（请列方程求解）类型二、配套应用【解惑】某车间有名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓个或螺母个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1根木材可以制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有12根木材，要使制作出来的桌面和桌腿恰好都配成桌子，应利用多少根木材来制作桌面？（

）A．10 B．8 C．6 D．22．（2023秋·山东日照·七年级校考期末）用铝片做听装易拉饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底。现有150张铝片，用多少张制瓶身，多少张制瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？解：设用x张做瓶身，可列方程为。3.（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为套．4．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？5．（2023秋·贵州遵义·七年级统考期末）在“双减”政策背景下，为丰富课后延时服务，某中学开设了手工制作活动课，在活动课上，辅导老师组织兴趣小组学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒，已知该兴趣小组共有学生50人，其中女生人数比男生人数多2人，并且每名学生每节课能制作筒身8个或筒底24个．(1)该兴趣小组有男生、女生各多少人？(2)原计划男生负责制作筒底，女姓负责制作筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每节课制作的筒身与筒底配套．类型三、工程应用【解惑】某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做个就可以超额完成个，若每小时做个就可以提前完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有个，则根据题意得到的正确方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合做几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合做了天．3．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）某工程队承包了全段全长米的过江隧道任务，甲、乙两个班组分别从东西两端同时掘进，已知甲比乙平均每天多掘进，经过五天施工，两组共掘进米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进，乙组平均每天比原来多掘进，照此施工速度，能够比原来少天完成任务．4．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品．(1)求这个公司要加工新产品的件数．(2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．(1)问甲、乙两人每天各加工多少个零件？(2)现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．类型四、销售利润应用【解惑】某商品的标价为200元，若降价以九折出售仍可获利30元，则该商品的进货价是（

）A．180 B．150 C．130 D．120【融会贯通】1.（2023春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）一家玩具店售出两件商品，一件盈利，一件亏损，且两件商品的售出价格均为240元，请问：实出这两件商品，店家是(

)A．不亏不赚 B．盈利20元 C．亏损20元 D．以上均错误2．（2023春·河南周口·七年级统考阶段练习）2022天猫双11期间，某商场进行促销活动，发布两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款156元，则所购商品的标价是元．3．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）某店铺举行庆新年促销活动，将一批进价为80元/条的短裤按标价的八折出售，每条短裤的利润率为，则这批短裤每条的标价为元．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）某顾客在商场搞活动期间，分别以折和折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款元，这两种商品原价总和为元，求甲、乙两种商品的原价．5．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）已知甲、乙两超市相同商品的标价都一样，为促销，两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：

在促销活动期间：(1)当购物总额是500元时，求甲、乙两家超市实付款分别是多少元？(2)某顾客在乙超市购物实际付款490元，若该顾客在甲超市购买同样的物品应付多少元？类型五、古代应用【解惑】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有辆车，则可列方程（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023秋·河南漯河·七年级统考期末）我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆长为尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？意思是”每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，则车有辆．3．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图3是另一个三阶幻方，则的值为．

4．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？5．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，问有多少间房？多少人？类型六、方案应用【解惑】某校七年级一班分小组进行课外兴趣活动，若每组6人，则余4人，若每组7人，则不足5人，则全班的人数为（

）A．60人 B．58人 C．62人 D．59人【融会贯通】1．（2023春·浙江湖州·七年级校联考期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）已知七年级学生小张的小区、市图书馆和万达电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张周六上午带了100元现金先从小区门口乘出租车去了市图书馆，付车费8元；中午再从市图书馆乘出租车去了万达电影院，付车费元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，超过3公里后的部分按n元/公里计费．（1），；（2）乘坐出租车x公里（x超过3公里）时的车费为元．（用含x的式子表示）3．（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款元．4．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？5．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3班人数超过40人但不超过45人．(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．①问两个班级各有多少人？②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明理由．类型七、数字应用【解惑】一个两位数个位上的数是1，十位上的数是．把1与对调，新两位数比原两位数大9．根据题意列出的方程为（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2023·全国·七年级假期作业）三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数是（

）A．5 B．7 C．9 D．112．（2022秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考阶段练习）一个两位数，个位上数字是十位上数字的2倍，且这两个数字之和等于12，则这个两位数是3．（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）甲数减去乙数的差为45，且这两个数的比是，则较大的数为4．（2023秋·全国·七年级专题练习）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，求这个两位数．5．（2023·江苏·七年级假期作业）阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设，，可得方程：，解得，即．参考以上方法，解决下面的问题．(1)把化成分数．(2)把化成分数．(3)把化成分数．(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？类型八、几何应用【解惑】如图，长方形的周长为26，其内部用一些正方形铺满，则正方形的边长为(

)

A．3 B．4 C．5 D．6【融会贯通】1．（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）如图，4块相同的长方形纸板拼成了一个图案，设每块纸板的宽为，根据题意列出的方程为（

）

A． B． C． D．以上都不对2．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）如图，一个长方形恰好被分成6个正方形，已知最小的正方形A的边长为a，则这个长方形的周长为．（结果用含a的代数式表示）3．（2023秋·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图，在长方形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以的速度移动，如果同时出发，用（）表示移动的时间，那么：

（1）如图1，当时，线段的长度等于线段的长度；（2）如图2，当时，与的长度之和是长方形周长的；（3）如图3，点到达后继续运动，到达点后停止运动；到达后也继续运动，当点停止运动的同时点也停止运动，当时，线段的长度等于线段长度的一半．4．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）依次剪张正方形纸片拼成如图示意的图形，图形中正方形①的边长为1，正方形③的边长为．

(1)请用含的式子直接写出正方形⑤的边长；(2)若正方形⑥与正方形④的周长相等，求正方形②和正方形⑤的面积比．5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒的速度向B移动，到B停止移动，点Q以每秒的速度向D移动．

(1)P，Q两点出发多少秒时，四边形PBCQ的面积为；(2)是否存在某一时刻，使为正方形．若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．类型九、和差倍分应用【解惑】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现有蜘蛛和蜻蜓若干只，它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍．问蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若设蜘蛛有x只，则x满足的方程为（

）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2023·浙江宁波·校考二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题；今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡x只，根据题意，可列出的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·黑龙江绥化·六年级统考期末）甲数的与乙数的相等，如果甲数是90，则乙数是．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有本图书，根据题意，可以列出方程：．4．（2023·陕西·统考中考真题）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．5．（2023春·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）某中学六年级三个班的同学分别向贫困地区的希望小学捐款图书，已知三个班级学生捐款图书册数之比为，如果他们共捐了198册，那么这三个班级各捐多少册?类型十、电费、水费应用【解惑】小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出关